2019년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 문항에서 함수의 그래프와 원의 위치 관계를 복합적으로 해석하는 능력을 요구하며 변별력을 확보했습니다. 전반적으로 교과서의 핵심 개념을 충실히 다루면서도, 20번처럼 조건을 통해 이차함수를 추론하거나 21번처럼 집합의 정의를 꼼꼼히 해석해야 하는 문항들이 상위권 학생들의 발목을 잡았을 것입니다. 이러한 문제 해결 경험은 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 조건 해석과 그래프 추론 능력이 중요해지는 수능 수학의 방향성을 명확히 보여주므로 오답 분석에 각별히 신경 써야 합니다.

문항 분석

• 19번

  — 이 문제는 y=x 대칭이동, 사다리꼴 넓이 계산 등 여러 개념을 순차적으로 적용해야 합니다. 출제 의도는 좌표평면 위에서 도형의 성질을 식으로 표현하고 방정식을 푸는 종합적인 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 점 B의 좌표를 (t², t)로 정확히 구하고도, 사다리꼴 ABDC의 높이 DC의 길이를 t-t²가 아닌 t²-t로 잘못 설정하여 계산 실수를 하는 경우입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 사다리꼴의 넓이 공식을 이용하여 [(윗변)+(아랫변)]×(높이)/2 = 1/8 이라는 t에 대한 방정식을 세우는 것입니다.
  

• 20번

  — 이차함수의 성질을 깊이 있게 추론하는 문항으로, 조건 (나)가 이 문제의 핵심입니다. 모든 실수 x에 대해 f(x) ≤ f(-2)라는 것은 꼭짓점의 x좌표, 즉 대칭축이 x=-2임을 알려주는 결정적 힌트입니다. 많은 학생들이 조건 (가) f(-4)=0만 보고 함수식을 설정하려다 막히는데, 대칭축을 먼저 파악하면 f(0)=0이라는 사실까지 자연스럽게 유도할 수 있습니다. <보기> ㄷ을 판단할 때, p≤x≤p+2라는 움직이는 구간에서의 최솟값 g(p)의 그래프를 대칭축을 기준으로 나누어 그려보는 것이 문제 해결의 관건입니다.
  

• 21번

  — 조건으로 제시된 집합을 정확히 해석하는 능력이 관건인 문제입니다. 집합 A_k는 x(y-k)=30을 만족하는 x, 즉 30의 약수들의 집합임을 파악하는 것이 첫 단계입니다. 가장 큰 함정은 n(A_k ∩ B^c) = 1 이라는 조건을 n(A_k) - n(A_k ∩ B) = 1로 잘못 해석하는 것입니다. 이 조건은 A_k의 원소 중에서 B에 속하지 않는 원소가 단 하나뿐이라는 의미, 즉 A_k - B = {원소 1개}를 뜻합니다. 따라서 30의 약수들을 나열하고, 집합 B의 원소가 될 수 있는 값들을 체크해가며 A_k의 원소 중 단 하나만 남게 만드는 k값을 찾아야 합니다.
  

• 단답형 28번

  — 합성함수 문제 중에서도 미지수 a의 값에 따라 함수식이 달라지는, 경우를 나누어 풀어야 하는 고난도 유형입니다. 출제 의도는 변수 a의 범위에 따라 달라지는 함수값을 정확히 계산하고 조건을 만족하는 a를 찾는 논리적 사고력을 측정하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 a의 범위를 나누지 않고 (g∘f)(1)과 (f∘g)(4)를 하나의 식으로만 계산하려는 것입니다. 이 문제의 실마리는 (g∘f)(1) = g(1+a)와 (f∘g)(4)를 계산할 때, 1+a가 a보다 작은지 큰지, 그리고 4가 a보다 작은지 크거나 같은지에 따라 g(x)에 대입할 식이 달라진다는 점을 인지하고 케이스를 3가지(a>4, 1<a≤4, a≤1)로 나누어 접근하는 것입니다.
  

• 단답형 29번

  — 좌표평면 위에서 도형의 넓이와 직선의 기울기라는 두 가지 조건을 연립하여 미지수를 구하는 복합적인 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '사각형 OAEF의 넓이가 사각형 BCFD의 넓이보다 4만큼 크다'는 조건을 어떻게 식으로 변환하느냐에 있습니다. 전체 사각형 OABC의 넓이가 20임을 이용하여, Area(OAEF) + Area(BCFD) = 20 과 Area(OAEF) - Area(BCFD) = 4 를 연립하면 Area(OAEF) = 12 라는 결정적인 단서를 얻을 수 있습니다. 이 단서를 점 F(a,b)의 좌표를 이용한 넓이 공식(신발끈 공식 또는 삼각형 두 개로 쪼개기)과 연결하고, 두 직선 OD와 CE의 기울기의 곱에 대한 식과 연립하면 답을 구할 수 있습니다.
  

• 단답형 30번

  — 함수의 그래프, 원의 방정식, 그리고 위치 관계에 대한 깊은 이해를 요구하는 최고난도 킬러 문항입니다. 함수 g(t)는 중심이 (t, f(t))이고 반지름이 t인 원과 직선 y=k의 교점 개수입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 중심과 반지름이 모두 변수 t에 따라 동시에 변하는 원의 움직임을 상상하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 조건 (가) g(2)=1과 (나) g(4)×g(6)=2를 해석하는 것입니다. g(2)=1은 t=2일 때 원과 직선 y=k가 '접한다'는 의미이며, 이를 통해 k값이 될 수 있는 후보들을 추려낼 수 있습니다. 이후 각 k 후보에 대해 g(4)와 g(6) 값을 계산하여 조건 (나)를 만족하는 유일한 k값을 확정하는 것이 문제 풀이의 핵심 경로입니다.