2019년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의고사는 19번과 30번처럼 꼼꼼한 경우의 수 분석을 요구하는 문항에서 등급이 갈렸을 겁니다. 전반적으로 고1 1학기 중간고사 범위의 핵심인 다항식의 연산, 나머지정리, 그리고 이차함수와 이차방정식/부등식의 관계를 깊이 있게 물어보는 문항들이 다수 출제되었습니다. 특히 이차함수의 대칭성과 근과 계수의 관계를 복합적으로 활용하는 문제 해결 능력은 앞으로 배울 고등수학 전반의 기초 체력이 되므로, 이번 시험에서 틀린 문항들은 반드시 개념부터 다시 점검하고 넘어가야 수능까지 흔들리지 않는 실력을 쌓을 수 있습니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문제는 도형의 넓이를 문자를 이용해 식으로 표현하고, 주어진 관계를 통해 연립방정식을 세워 해결하는 능력을 평가합니다. 많은 학생들이 그림에 주어진 길이 관계(EB=1, AF=5)를 'a'와 'b'에 대한 식으로 변환하는 첫 단추를 끼우지 못해 헤맸을 가능성이 높습니다. 결정적 실마리는 선분 AF의 길이를 다른 선분들의 합(AF = AE + EB + BF)으로 표현하고, AE와 BF를 각각 a와 b로 나타내어 a와 b 사이의 추가적인 관계식을 찾아내는 것입니다. 이 관계식과 넓이 조건을 연립하면 어렵지 않게 답을 구할 수 있습니다.
  

• 19번

  — 주어진 4차 방정식이 두 개의 이차식의 곱으로 인수분해된다는 점을 파악하는 것이 시작입니다. '서로 다른 허근이 2개'라는 조건을 만족하는 경우를 빠짐없이 따지는 것이 이 문제의 핵심 출제 의도입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 '한쪽 이차방정식은 허근, 다른 쪽은 실근'을 갖는 경우만 생각하고, '두 이차방정식이 동일한 허근'을 갖는 경우(a=1)를 놓치는 것입니다. 각 이차식의 판별식(D) 부호를 기준으로 경우를 나누고(D₁<0, D₂≥0 또는 D₁≥0, D₂<0), 각 경우에 해당하는 a의 범위를 정확히 구하는 훈련이 필요합니다.
  

• 21번

  — 두 이차함수 f(x), g(x)에 대한 종합적인 이해를 묻는 문항입니다. 출제 의도는 조건 (가), (나)를 해석하여 두 상수 a, b 사이의 관계식을 유도하고, 이를 바탕으로 <보기>의 진위 여부를 판별하는 것입니다. 학생들이 가장 먼저 해야 할 일은 f(x)=g(x)라는 방정식을 세워 두 그래프 교점의 x좌표인 α, β를 근으로 하는 새로운 이차방정식을 만드는 것입니다. 이 방정식에서 근과 계수의 관계를 이용해 α+β와 αβ를 a, b에 대한 식으로 표현하고, 이를 (나) 조건인 (β-α)² = (α+β)²-4αβ = 4에 대입하는 것이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다.
  

• 28번

  — 다항식의 성질을 깊이 있게 이해하고 있는지를 묻는, 매우 잘 설계된 문제입니다. 조건 (가)에서 Q(x) = -2P(x)라는 관계를 즉시 파악하고, 이를 조건 (나)에 대입하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다. 대입하면 P(x)Q(x) = -2{P(x)}²이 되는데, 이 식이 x²-3x+2, 즉 (x-1)(x-2)로 나누어떨어진다는 것은 {P(x)}²이 (x-1)과 (x-2)를 인수로 갖는다는 의미입니다. 여기서 P(x)가 다항식이므로 P(x) 역시 (x-1)과 (x-2)를 인수로 가져야 한다는 논리적 추론이 이 문제의 핵심입니다. 따라서 P(x) = k(x-1)(x-2)로 설정하고 P(0)=-4 조건을 이용하면 모든 것이 해결됩니다.
  

• 29번

  — 이차함수의 대칭성과 절댓값 기호를 포함한 방정식 해석 능력을 동시에 측정하는 고난도 문항입니다. f(0)=f(4) 조건에서 대칭축이 x=2임을 바로 파악해야 합니다. 가장 까다로운 부분은 f(-1)+|f(4)|=0 조건의 해석인데, |f(4)|≥0 이므로 f(-1)≤0 임을 알 수 있습니다. 여기서 f(4)의 부호에 따라 두 가지 경우(f(4)≥0, f(4)<0)로 나누어 접근하는 것이 결정적 실마리입니다. 각 경우에 대해 f(x)의 식을 세우고 최솟값 -19 조건을 활용하면, 문제의 조건을 만족하는 유일한 상황을 찾아낼 수 있습니다. 대칭축을 기준으로 함숫값의 대소 관계를 판단하는 것이 흔한 오답을 피하는 길입니다.
  

• 30번

  — 이차부등식의 해가 문자로 주어졌을 때, 정수 해의 개수 조건을 만족하는 미지수의 값을 찾는 최고난도 문항입니다. 부등식의 해는 두 값 (a²-2a)/2 와 3a/2 사이인데, a의 값에 따라 둘의 대소 관계가 바뀐다는 점이 첫 번째 함정입니다. a²-5a=0, 즉 a=0, 5를 기준으로 a의 범위를 나누어 각 경우의 해(α, β)를 구해야 합니다. 그 후, 조건 (가) 'β-α는 자연수'와 (나) '정수 x의 개수는 3개'를 동시에 만족시키는 a의 범위를 수직선 위에서 찾아내야 합니다. 이 과정에서 경계값을 포함하는지 여부를 꼼꼼히 따지는 세심함이 정답과 오답을 가릅니다.