2019년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학평은 30번 문항에서 수심(orthocenter)과 원주각을 결합한 고난도 기하 문제가 출제되어 중등 기하 심화가 부족했던 학생들에게 큰 벽이 되었을 겁니다. 계산량을 요구하는 16번, 18번 같은 문항들이 시간 안배의 중요성을 일깨워주었고, 21번, 29번처럼 중등 기하의 다양한 정리를 깊이 있게 이해하고 있는지를 묻는 문항들이 상위권을 가르는 기준이 되었습니다. 이러한 기하 문제 해결 능력과 복잡한 좌표 해석 능력은 결국 수능 수학에서 고득점을 받기 위한 필수적인 역량이므로, 이번 시험을 계기로 자신의 약점을 정확히 파악하고 보완하는 학습 전략이 필요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문항의 출제 의도는 좌표평면 위에서 두 직선의 교점과 절편을 구해 삼각형의 넓이를 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 점 D의 좌표를 구하기 위해 연립방정식을 푸는 과정에서 계산 실수를 범하는 경향이 있습니다. 삼각형의 넓이를 구할 때, 밑변을 x축 위의 선분 BC로 설정하는 것이 가장 효율적인 접근법입니다. 점 C의 좌표(x절편)를 먼저 구하고, 두 직선의 교점인 점 D의 y좌표가 바로 삼각형의 높이가 된다는 사실을 이용하는 것이 이 문제를 빠르고 정확하게 풀어내는 결정적 실마리입니다.
  

• 18번

  — 원의 일부인 호와 내접하는 직사각형의 넓이를 묻는 이 문제는 피타고라스 정리를 좌표평면 위에서 응용하는 능력을 측정합니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 도형을 좌표평면에 어떻게 설정할지 몰라 시간을 허비하는 것입니다. 이 문제의 핵심 실마리는 점 B를 원점(0,0)으로 설정하는 것입니다. 그 후, 호 MA 위의 점 G의 좌표를 (x, y)로 두면 x²+y²=2²이라는 관계식을 얻을 수 있습니다. 여기에 문제 조건인 EG:GH=1:2를 좌표를 이용해 식으로 표현하여 연립하면, 복잡해 보이는 도형 문제를 간단한 방정식 문제로 전환시킬 수 있습니다.
  

• 20번

  — 두 이차함수 그래프 위의 점으로 구성된 삼각형이 정삼각형이 될 조건을 추론하는 과정 중심의 문항입니다. 이 문제의 핵심은 '정삼각형의 한 꼭짓점에서 마주 보는 변에 내린 수선은 그 변을 수직이등분한다'는 성질을 좌표평면에서 어떻게 활용하는가에 있습니다. 대부분의 학생들이 세 변의 길이가 같다는 조건을 무작정 거리 공식에 대입하여 복잡한 계산의 늪에 빠지곤 합니다. 하지만 선분 AB가 직선 x=t 위에 있다는 점에 착안하여, 직선 CD가 선분 AB의 수직이등분선이 되어야 한다는 조건, 즉 AD=BD에서 풀이를 시작하는 것이 이 문제를 꿰뚫는 가장 중요한 아이디어입니다.
  

• 21번

  — 원의 접선과 할선, 그리고 삼각형의 닮음 등 중등 기하의 여러 핵심 개념을 종합적으로 이해하고 있는지를 묻는 고난도 문항입니다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 진위 판별 문제는 각 보기가 독립적인 동시에 서로에게 힌트가 되기도 해 논리적 연결고리를 찾는 것이 중요합니다. 특히 학생들이 가장 어려워하는 부분은 AP:CP의 비율을 구하기 위해 어떤 삼각형의 닮음을 이용해야 할지, 그리고 BP의 길이를 구하기 위해 방멱 정리(Power of a Point Theorem)를 어떻게 적용할지 판단하는 것입니다. 힌트는 △PAC와 △PBA가 닮음 관계에 있다는 사실을 증명하는 것에서 시작됩니다. 이 관계를 이용하면 길이의 비를 쉽게 유도할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 삼각형 내부의 여러 선분이 교차하며 만들어내는 선분들의 길이 비를 묻는 이 문제는 메네라우스의 정리(Menelaus's Theorem)를 알고 있는지에 따라 체감 난이도가 극명하게 갈립니다. 이 정리를 모른다면 좌표평면을 도입하거나 벡터를 이용해야 하는데, 계산 과정이 매우 길고 복잡해집니다. 이 문제의 함정은 어떤 삼각형과 어떤 직선에 대해 정리를 적용해야 할지 한 번에 보이지 않는다는 점입니다. 결정적 실마리는 점 P와 점 Q를 분리해서 생각하는 것입니다. 먼저 삼각형 AMC와 직선 BPD에 대해 메네라우스의 정리를 적용하여 AP:PM의 비를 구하고, 다음으로 다른 삼각형과 직선 조합을 찾아 AQ:QM의 비를 구하면 문제가 해결됩니다.
  

• 30번

  — 외접원, 수선의 발, 그리고 수심(Orthocenter)의 성질을 삼각비와 융합한 최고난도 기하 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 흩어져 있는 기하학적 정보들을 엮어 논리적으로 추론하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 점 F가 삼각형 ABC의 수심이라는 사실을 파악하지 못해 첫 단추를 끼우지 못하는 경우가 많습니다. 이 문제를 푸는 결정적 열쇠는 '수심과 관련된 각의 성질(∠BFC = 180° - ∠A)'과 '원에 내접하는 사각형의 성질'을 이용하는 것입니다. 이 성질들을 사인 법칙과 결합하면 외접원의 반지름을 구할 수 있고, 이를 통해 다른 변들의 길이를 차례로 알아낼 수 있습니다.