2018년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 29번 원과 직선 문제에서 '활꼴의 넓이가 같다'는 조건을 '현의 길이가 같다'는 기하학적 성질로 바꿔 해석하는 능력이 있는지 없는지에 따라 풀이 시간과 정답률이 크게 갈렸을 것입니다. 다항식부터 도형의 방정식까지 1학기 전 범위를 충실하게 다루면서도, 특히 좌표평면 위에서 도형의 성질을 대수적 식으로 변환하고 최적화하는 문제(21, 30번)에 높은 배점을 부여하여 변별력을 확보했습니다. 이러한 기하와 대수의 융합적 사고는 수능 수학의 고난도 문항을 해결하는 핵심 역량이므로, 이번 시험에서 틀린 도형 문항들은 반드시 그 아이디어를 자신의 것으로 만들어야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문제는 등변사다리꼴이라는 도형의 성질과 삼각비, 그리고 부등식 영역을 종합적으로 활용해야 하는 복합 문항입니다. 핵심 출제 의도는 주어진 기하학적 상황을 변수(d)를 이용한 대수적 관계로 표현하고, 주어진 2가지 조건(길이, 넓이)을 모두 만족하는 해의 범위를 찾는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 ∠BAC=120°라는 조건에서 코사인 법칙을 적용해야 한다는 점을 떠올리지 못하거나, 사다리꼴의 넓이를 d에 대한 식으로 표현하는 과정에서 계산 실수에 빠지기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 점 A에서 밑변 CD에 수선의 발을 내려 직각삼각형을 만들고, 피타고라스 정리와 삼각비를 이용해 사다리꼴의 높이와 다른 변의 길이를 d로 표현하는 것입니다.
  

• 19번

  — 전형적인 빈칸 추론 문제로, 풀이의 논리적 흐름을 따라가는 능력을 측정합니다. 출제 의도는 원의 방정식, 두 직선의 수직/평행 조건, 그리고 삼각형의 넓이가 같다는 조건을 어떻게 기하학적으로 해석하는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 '두 삼각형 OAB와 OPB의 넓이가 같다'는 문장을 보고 밑변과 높이를 어떻게 설정해야 할지 몰라 당황하는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 밑변을 공유하지 않을 때 넓이가 같으려면, 한 직선(OA)을 기준으로 나머지 두 꼭짓점(B, P)이 같은 거리에 있어야 한다는 사실을 이용하는 것입니다. 이는 곧 점 A를 지나고 직선 OB와 평행한 직선 위에 점 P가 존재함을 의미하며, 이것이 (나)를 구하는 열쇠가 됩니다.
  

• 20번

  — 이차함수의 성질에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는, 보기(ㄱ,ㄴ,ㄷ)형 고난도 문항입니다. 출제 의도는 근과 계수의 관계, 그래프의 대칭성, 그리고 두 점을 잇는 직선의 기울기 등 여러 개념을 유기적으로 연결하여 추론하는 능력을 평가하는 데 있습니다. 학생들은 보통 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 별개의 문제로 접근하여 시간을 낭비하는 경향이 있습니다. 하지만 이 문제의 핵심은 점 Q의 좌표를 구하는 과정이 ㄴ과 ㄷ을 해결하는 데 직접적으로 사용된다는 점을 파악하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 이차함수 f(x)를 두 근 1, a를 이용하여 f(x)=(x-1)(x-a)로 설정하는 것입니다. 그 후, 직선 PB와 직선 AQ가 평행하다는 조건(기울기가 같다)을 이용해 점 Q의 x좌표를 a에 대한 식으로 표현하는 것이 문제 전체를 관통하는 실마리입니다.
  

• 21번

  — 좌표평면 위에 주어진 직각이등변삼각형의 성질을 이용하여 특정 선분의 길이의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 기하학적 조건을 좌표와 대수적 관계로 완벽하게 변환하고, 이를 통해 만들어진 이차함수의 제한된 범위 내에서의 최대·최소를 구할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 점 C의 좌표를 미지수로 설정한 뒤, 'AC=BC'라는 길이 조건과 '두 직선 AC와 BC가 수직'이라는 기울기 조건을 모두 사용해야 하는데 하나를 누락하는 것입니다. 또한, a의 범위(-1≤a≤2)를 마지막에 고려하지 않아 답을 틀리는 경우도 많습니다. 이 문제를 풀어낼 결정적 실마리는 점 C의 좌표를 (x, y)로 두고, AC²=BC²과 (AC 기울기)×(BC 기울기)=-1을 연립하여 x, y를 a에 대한 식으로 정리하는 것입니다. 그러면 OC²이 a에 대한 이차식으로 표현되어 최댓값과 최솟값을 쉽게 찾을 수 있습니다.
  

• 29번

  — 원과 직선, 그리고 넓이에 대한 기하학적 통찰력을 요구하는 최고난도 문항 중 하나입니다. 출제 의도는 '두 활꼴의 넓이가 같다'는 복잡한 조건을 '두 현의 길이가 같다'는 단순한 기하학적 조건으로 치환하여 해석할 수 있는지를 묻는 것입니다. 대부분의 학생들은 S₁과 S₂의 넓이를 적분이나 복잡한 부채꼴 공식을 이용해 직접 m에 대한 식으로 표현하려다 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 이것이 가장 치명적인 함정입니다. 이 문제의 유일하고 결정적인 실마리는 '넓이가 같은 활꼴은 현의 길이도 같다'는 성질을 간파하는 것입니다. 즉, S₁=S₂라는 조건은 곧 선분 PQ의 길이와 선분 OQ의 길이가 같다는 것을 의미합니다. 이 관계식을 이용하면 점과 직선 사이의 거리 공식 등을 활용하여 m에 대한 방정식을 훨씬 수월하게 세울 수 있습니다.
  

• 30번

  — 도형 내부에서 특정 조건을 만족하는 또 다른 도형의 넓이의 최댓값을 구하는, 전형적인 킬러 문항입니다. 출제 의도는 움직이는 점 P의 좌표를 미지수 t로 설정하고, 나머지 점들의 좌표와 사다리꼴의 넓이를 모두 t에 대한 함수로 표현한 뒤, 이차함수의 최대·최소 개념을 적용하는 종합적인 문제 해결 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 빠지기 쉬운 함정은 점 P, Q, R, S의 좌표를 t로 표현하는 과정이 복잡하여 계산 실수를 하거나, 'AP < PC'라는 조건을 통해 t의 범위를 제한해야 한다는 사실을 놓치는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 선분 AC 위의 점 P의 좌표를 (t, f(t)) 형태로 두는 것입니다. 이후 평행 조건을 이용하여 나머지 점들의 좌표를 순차적으로 t로 표현하고, 사다리꼴의 넓이 공식을 적용하여 t에 대한 이차식을 완성하는 것이 정석적인 풀이 경로입니다.