2018년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 21번 문항에서 원과 직선의 위치 관계를 단순히 판별식으로만 접근하려던 학생들에게 'm이 홀수'라는 조건을 통해 깊이 있는 해석을 요구하며 변별력을 확보했습니다. 고1 수학(상), (하) 전 범위에 걸쳐 개념의 정확한 이해와 응용을 측정하는 문항들이 균형 있게 출제되었으며, 특히 도형의 방정식과 함수 단원에서 사고력을 요하는 문제들이 눈에 띕니다. 이 시험에서 다루는 좌표평면 위에서의 해석, 함수 추론 능력은 향후 수능 수학의 핵심인 수1, 수2의 근간이 되므로, 틀린 문항을 복습할 때 관련 개념을 완벽히 자기 것으로 만드는 학습이 필수적입니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문제는 두 직선의 교점과 좌표축 위의 점들을 이용해 삼각형의 넓이를 구하고, 넓이가 같다는 조건을 활용하는 전형적인 해석기하 문항입니다. 출제 의도는 좌표를 정확히 구하고, 밑변과 높이를 설정하여 넓이를 식으로 표현하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 교점 C의 좌표를 구하는 과정에서 계산 실수를 하거나, 삼각형 ABD의 밑변을 선분 BD로 설정한 뒤 높이를 찾는 데서 어려움을 겪습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 삼각형 ABC의 넓이를 신발끈 공식을 이용하거나, 혹은 밑변을 y축 위의 선분 AO로 보고 높이를 점 C의 x좌표로 설정하여 먼저 간단히 구해내는 것입니다.
  

• 19번

  — 좌표평면 위 여러 점을 거쳐 가는 경로의 최단거리를 묻는 문제로, 핵심 출제 의도는 '대칭이동'을 통해 꺾인 선분을 일직선으로 만드는 원리를 이해하고 있는가입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 점 P, Q, R의 좌표를 변수로 설정하고 거리 공식을 이용해 복잡한 식을 세우려 시도하는 것입니다. 이는 계산이 불가능에 가깝죠. 문제 해결의 첫 단추는 경로가 꺾이는 경계선(x축, 직선 y=1)에 대해 점을 대칭이동시키는 것입니다. 점 A를 x축에 대해 대칭시킨 점 A', 점 B를 직선 y=1에 대해 대칭시킨 점 B'를 잡으면, 구하고자 하는 최단거리는 결국 선분 A'B'의 길이와 같아진다는 사실을 떠올리는 것이 핵심입니다.
  

• 21번

  — 이차함수 그래프 위의 점을 중심으로 하는 원이 특정 직선과 접할 때의 상황을 분석하는, 여러 개념이 융합된 고난도 문항입니다. 출제 의도는 원과 직선의 위치 관계를 '원의 중심과 직선 사이의 거리(d)가 반지름(r)과 같다'는 성질(d=r)을 이용하여 식으로 표현하고, 그 식의 해의 개수를 해석하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 d=r 공식을 세워 나온 x에 대한 방정식의 '실근의 개수'가 곧 m 또는 n이라고 착각하는 것입니다. 특히 'm이 홀수'라는 조건은 이 방정식의 해가 하나만 존재해야 함을 의미하며, 이는 곧 판별식 D=0으로 연결됩니다. 이 논리적 연결고리를 찾아내는 것이 문제 해결의 관건입니다.
  

• 28번

  — 유한집합 X에서 X로의 함수 f에 대한 여러 조건을 만족시키는 특정 함숫값을 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 (가) 치역의 원소가 7개라는 조건과 (나), (다) 조건을 종합하여 어떤 두 정의역 원소가 같은 함숫값 n을 갖는지를 밝혀내는 것입니다. 많은 학생들이 (나) 조건의 f(1)부터 f(8)까지의 합이 42라는 것을 보고, 집합 X의 모든 원소의 합(1~8의 합=36)과 비교하여 치역에 없는 원소와 중복되는 원소 사이의 관계를 추론해야 한다는 사실을 놓칩니다. 힌트는 치역에 속하지 않는 원소를 y, 중복되어 함숫값이 되는 원소를 n이라고 할 때, (치역의 합) = (전체 원소의 합) - y 이고, (함숫값의 총합) = (치역의 합) + n 이라는 관계식을 세우는 것입니다. 이로부터 n-y=6이라는 결정적인 단서를 얻을 수 있습니다.
  

• 29번

  — 이차함수와 직선의 교점을 이용해 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 빈칸 추론 형식으로 제시한 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 좌표와 식을 문자를 이용하여 일반화하고, 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 논리적으로 따라갈 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (가)와 (나)에 들어갈 식을 직접 유도하는 과정입니다. 특히 삼각형 OAB의 넓이를 구하기 위해 선분 AA'의 길이를 밑변으로 활용하는 아이디어를 떠올리기가 쉽지 않습니다. 이 문제의 실마리는 점 A의 좌표를 (n/2, n^2/2)로 설정하고, 점 A'는 점 A와 x좌표가 같고 직선 y=(n+2)x 위에 있다는 사실을 이용해 y좌표의 차를 구하는 것입니다. 삼각형 OAB의 넓이는 삼각형 OAA'와 삼각형 OBA'의 넓이 차로도 구할 수 있다는 점을 이용하면 (나)를 쉽게 유도할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 역함수가 존재하는 일대일대응 함수에 대해, 함성함수와 역함수가 섞인 복잡한 조건을 해석하여 특정 함숫값을 구하는 최고난도 추론 문제입니다. 출제 의도는 항등식의 성질과 일대일대응이라는 조건을 활용하여, 제한된 정보만으로 함수의 대응 관계를 퍼즐처럼 맞춰나가는 논리적 사고력을 측정하는 것입니다. (가) 조건 (f◦f)(x)+f⁻¹(x)=2x 는 x=1, 2, 6에 대해서만 성립하는 조건부 항등식으로, 여기에 각 값을 대입하여 f(1), f(2), f(6)에 대한 관계식을 얻어내는 것이 첫 단계입니다. 학생들이 가장 막히는 부분은 f(6)≠6이라는 조건과 (나) 조건을 결합하여 가능한 대응 관계의 경우의 수를 좁혀나가는 과정입니다. 결정적 힌트는 (가) 식에 x=6을 대입한 식과 x=f(6)을 대입한 식을 연립하여 모순을 찾아내거나 가능한 쌍을 확정하는 것입니다. 일대일대응이므로 각 함숫값은 1~7 사이의 서로 다른 값이어야 한다는 제약조건을 계속해서 상기해야 실수를 줄일 수 있습니다.