2018년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 다항식 인수분해 문제는 1학년 학생들에게는 거의 정수론에 가까운 사고력을 요구했을 겁니다. 전반적으로 다항식의 연산, 인수분해, 나머지정리 등 고등수학 (상)의 핵심 대수 파트 개념을 깊이 있게 물어보는 문항들이 많았고, 특히 21번, 29번처럼 주어진 항등식을 변형하여 다항식을 추론하는 유형은 변별력을 가르는 핵심이었습니다. 이러한 다항식 추론 능력은 향후 수능의 고난도 미적분, 수2 문항을 해결하는 데 있어 가장 기본적인 역량이 되므로, 이번 시험을 계기로 철저히 다져두어야 합니다.

문항 분석

• 19번

  — 기하학적 상황을 대수적 관계로 번역하는 능력을 묻는 문항입니다. 많은 학생들이 두 반원 Q1, Q2의 교점을 어떻게 처리해야 할지 몰라 당황했을 텐데, 이 교점이 선분 P1P2를 지름으로 하는 더 큰 반원 위에 있다는 사실을 간파하는 것이 문제 해결의 전부입니다. 이 점을 깨닫는 순간, 지름에 대한 원주각이 90도라는 성질을 이용해 피타고라스 정리를 적용할 수 있는 직각삼각형이 보이게 되고, 복잡해 보이던 도형 문제가 간단한 이차방정식으로 바뀌게 됩니다.
  

• 20번

  — 삼차방정식의 인수정리, 근과 계수의 관계, 그리고 피타고라스 정리라는 세 가지 개념을 엮은 종합선물세트 같은 문제입니다. 출제 의도는 학생들이 주어진 삼차방정식에 x=1이라는 쉬운 근이 있음을 발견하고, 인수분해를 통해 이차방정식을 도출할 수 있는지를 확인하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 빗변의 길이가 무엇인지 경우를 나누지 않는 것입니다. 빗변이 1일 경우와 α일 경우를 모두 따져봐야 하며, 각 경우에서 얻어진 이차방정식의 두 근이 삼각형의 변이 될 수 있는 조건(실근, 양수)을 판별식과 근과 계수의 관계로 꼼꼼히 확인해야 정답에 이를 수 있습니다.
  

• 21번

  — P(x)와 Q(x)를 직접 구하려고 덤비면 계산의 늪에 빠지게 되는, 발상의 전환을 요구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 P(x)와 Q(x)를 두 근으로 갖는 새로운 변수 T에 대한 이차방정식을 만드는 것입니다. (가) 조건에서 두 근의 합(P+Q=4)을, (나) 조건과 곱셈공식 변형 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)을 이용해 두 근의 곱(PQ)을 구해낼 수 있습니다. 즉, T²-(P+Q)T+PQ=0 이라는 방정식을 세우면 P(x)와 Q(x)가 이 방정식의 두 근이므로, 근의 공식을 통해 P(x)와 Q(x)를 x에 대한 식으로 깔끔하게 표현할 수 있습니다. 이 결정적 아이디어를 떠올리지 못하면 해결이 매우 어렵습니다.
  

• 28번

  — 입체도형의 겉넓이 계산 문제로, '더하고 빼는' 부분에 대한 정확한 공간지각 능력이 필요합니다. 출제 의도는 학생들이 구멍을 뚫었을 때 겉넓이가 어떻게 변하는지를 이해하는지 평가하는 것입니다. 흔히 하는 실수는 정육면체 겉넓이에 원기둥 겉넓이를 그냥 더하는 것인데, 실제로는 정육면체의 윗면과 아랫면에서 원 넓이만큼이 빠지고, 그 대신 원기둥의 옆넓이가 새로 추가되는 것입니다. 따라서 (정육면체 겉넓이) - 2×(원의 넓이) + (원기둥의 옆넓이) 라는 정확한 식을 세우는 것이 첫 단추이며, 그 결과가 216+16π 라는 것을 이용해 유리수 부분과 무리수(π) 부분을 각각 비교하면 a와 b에 대한 연립방정식을 얻을 수 있습니다.
  

• 29번

  — 주어진 항등식이 '어떤 식의 제곱' 형태라는 점에 착안해야 하는 고난도 항등식 문제입니다. {P(x)+x}² 이 (x-a)(x+a)(x²+5)+9 와 같다는 것은, 우변을 전개한 x⁴+(5-a²)x²-5a²+9 라는 사차식이 완전제곱식이라는 의미입니다. 사차식이 완전제곱식이 되려면 (x²+k)² 꼴이어야 하므로, 이를 전개한 x⁴+2kx²+k² 과 계수를 비교하면 a와 k 값을 모두 구할 수 있습니다. 이 실마리만 찾으면 P(x)+x = ±(x²+k) 라는 관계를 얻게 되고, P(x)의 최고차항 계수가 음수라는 조건을 이용해 P(x)를 확정할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 인수정리, 보기차식의 인수분해, 그리고 정수 조건이라는 까다로운 요소들이 결합된 최고난도 문항입니다. P(x)가 x-a를 인수로 가지므로 P(a)=0 이라는 사실로부터 b=a⁴-290a² 이라는 관계식을 얻는 것이 첫걸음입니다. 이를 P(x)에 대입하면 P(x)=x⁴-290x²+a⁴-290a² = (x²-a²)(x²-(290-a²))으로 인수분해됩니다. 여기서 '서로 다른 세 개의 다항식'으로 인수분해되려면, x²-(290-a²) 항이 추가로 인수분해되어야 합니다. 즉, 290-a²이 어떤 정수의 제곱(m²)이 되어야 한다는 것이 이 문제의 결정적 힌트입니다. a²+m²=290을 만족하는 자연수 (a, m) 쌍을 찾고, 각 경우에 대해 인수들이 서로 다른지 확인하여 b의 최댓값을 구해야 하는, 정수론적 사고가 필요한 문제입니다.