2017년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 문항에서 세 가지 경우를 나누어 원의 방정식을 능숙하게 다루는 능력을 요구하며 변별력을 확보했습니다. 전반적으로 고1 수학의 핵심인 '방정식과 함수', 그리고 '도형의 방정식' 단원에서 비중 있게 출제되었으며, 각 개념을 얼마나 깊이 있게 연결하여 사고할 수 있는지를 측정하고 있어요. 특히 16번, 21번, 28번과 같이 도형의 성질을 좌표평면으로 가져와 해석하는 문항들은 앞으로 수능 수학(수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 미적분)에서 기하학적 추론 능력의 기초가 되므로, 단순히 공식만 암기한 학생들에게는 큰 벽으로 느껴졌을 것입니다.

문항 분석

• 16번

  — AP+PB+BQ+QC라는 복잡한 식의 최솟값을 묻고 있지만, 본질은 '대칭이동을 이용한 최단거리'라는 고전적인 유형입니다. 많은 학생들이 P와 Q의 좌표를 미지수로 설정하고 거리 공식을 사용하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지게 되죠. 이 문제의 결정적 실마리는 점 P, Q가 놓인 직선 y=x를 '거울'로 생각하는 것입니다. 점 B를 y=x에 대해 대칭이동시킨 점 B'과 점 C를 y=x에 대해 대칭이동시킨 점 C'을 생각하면, 구하는 최솟값은 결국 두 점 A와 B', 그리고 B'과 C'을 잇는 직선 거리의 합과 관련이 있다는 것을 깨달아야 합니다.
  

• 19번

  — 이차함수 그래프 위의 점과 직선 사이의 최단거리를 구하고, 그 최단거리 값 자체의 최댓값을 다시 구하는 이중 구조의 문제입니다. 출제 의도는 '평행한 두 직선 사이의 거리' 개념을 이차함수와 결합할 수 있는지를 묻는 것이죠. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 포물선 위의 임의의 점 (t, t²-2at-20)을 설정하고 점과 직선 사이의 거리 공식을 써서 a와 t에 대한 복잡한 식을 만든 후 헤매는 것입니다. 이 문제의 돌파구는, 최단거리가 발생하는 지점은 주어진 직선(y=2x-12a)과 평행한 접선이 포물선에 접할 때의 '접점'이라는 사실을 이용하는 것입니다. 접선의 기울기가 2가 되는 x좌표를 a에 대한 식으로 표현하는 것이 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 원, 접선, 그리고 이등변삼각형의 성질을 좌표평면 위에서 종합적으로 활용해야 하는 기하 문제입니다. 단순히 접선의 방정식을 구하는 계산 문제로 접근하면 풀이가 매우 복잡해집니다. 이 문제의 핵심은 '삼각형 APQ가 이등변삼각형'이라는 조건을 기하학적으로 어떻게 해석하느냐에 있습니다. ∠APQ가 90도이므로, 이등변삼각형이 되려면 AP=PQ 이거나 AQ=PQ 여야 합니다. 특히 AP=PQ인 경우, 원의 중심 O, 접점 P, 그리고 점 A 사이의 관계(OA⊥AP)와 삼각형 OPQ의 모양(OP=OQ=r)을 함께 고려하면 P의 좌표에 대한 결정적인 단서를 얻을 수 있습니다.
  

• 수학 28번

  — 두 직선이 원의 넓이를 4등분한다는 조건의 의미를 정확히 파악하는 것이 관건입니다. 이는 두 직선이 서로 수직이며, 모두 원의 중심을 지나야 함을 의미합니다. 이 핵심을 놓치면 문제에 접근조차 할 수 없죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 S₁+S₂의 식을 구한 후, 복잡한 분수식의 최솟값을 구하는 과정에서 미분을 사용하려 하거나 길을 잃는 경우입니다. 두 직선의 기울기 곱이 -1이라는 점을 이용해 S₁과 S₂를 한 문자에 대해 정리한 뒤, 그 합의 형태가 '산술-기하 평균 부등식'을 적용하기에 완벽한 구조임을 간파해야 합니다.
  

• 수학 29번

  — 지수 표현, 집합, 그리고 등비수열 개념이 융합된 고난도 문항입니다. 조건 (나) '집합 A의 원소들을 작은 수부터 차례대로 배열한 수열은 등비수열이다'를 정확히 해석하는 것이 가장 중요합니다. 이는 집합 A의 원소들이 {r^k₁, r^k₂, r^k₃, ...} 형태일 때, 지수인 k₁, k₂, k₃, ... 들이 '등차수열'을 이룬다는 의미로 바꿔 생각해야 합니다. 조건 (가)에서 주어진 r¹, r³¹, r¹⁰⁰은 바로 이 등비수열의 항들이므로, 지수인 1, 31, 100이 등차수열의 일부라는 사실로부터 공차를 찾아내는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 수학 30번

  — 좌표평면 위의 세 점으로 만들어지는 직각삼각형의 개수를 세는 정수 격자점 문제입니다. 출제 의도는 직각삼각형이 될 수 있는 세 가지 경우(∠A=90°, ∠B=90°, ∠C=90°)를 빠짐없이 나누어 생각하고, 각 경우를 만족하는 점 A의 좌표를 찾는 체계적인 분석 능력을 평가하는 것입니다. 각 경우에 대해 두 선분이 수직이라는 조건을 '기울기의 곱 = -1' 또는 '벡터의 내적 = 0'으로 변환하면, 점 A(x, y)가 만족하는 '원의 방정식'이 유도됩니다. 이 문제의 함정은 각 원의 방정식 위 정수점의 개수를 셀 때, x≠0 이라는 조건을 빠뜨리거나, 세 경우에서 중복되는 점이 있는지 확인하지 않아 오답을 내는 것입니다.