2017년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 21번 평면도형 문제에서 보조선과 정리 활용에 따라 체감 난이도가 크게 갈렸을 것입니다. 전반적으로 계산이 복잡하기보다는 도형의 방정식, 이차함수 등 고1 핵심 단원의 개념을 정확히 이해하고 적용하는 능력을 중점적으로 평가했습니다. 특히 16번, 20번, 30번처럼 좌표평면 위에서 기하학적 상황을 해석하는 문항의 비중이 높았는데, 이는 향후 수1, 수2의 함수 해석 및 미적분 문제 해결의 기초 체력이 되므로 이번 시험에서 드러난 약점은 반드시 보완해야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문항의 출제 의도는 실생활 소재를 좌표평면으로 옮겨와 해석하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 '서쪽으로 30cm, 북쪽으로 20cm'와 같은 표현을 좌표로 변환하는 첫 단계에서부터 막히는 경향이 있습니다. 결정적 실마리는 레이더의 위치를 원점 (0,0)으로 설정하는 것입니다. 이 설정을 마치면 본부, A, B 지점의 좌표가 명확해지고, 문제는 '한 점(본부)에서 직선(물체의 이동 경로)까지의 최단 거리를 구하는' 전형적인 점과 직선 사이의 거리 문제로 바뀌게 됩니다.
  

• 20번

  — 무게중심, 원, 직선의 개념을 복합적으로 엮은 고난도 문항입니다. 핵심 출제 의도는 '움직이는 점 P에 따라 함께 움직이는 무게중심 G의 자취'를 추론할 수 있는지 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 최소일 때를 구하려는 것인데, 문제에서 요구하는 것은 무게중심 G와 직선 AB 사이의 거리입니다. 힌트는 무게중심 공식 G = (A+B+P)/3 을 이용하여 점 P(x, y)가 원 C 위를 움직일 때, 점 G가 그리는 도형 역시 원이라는 사실을 파악하는 것입니다. G의 자취인 새로운 원의 중심과 반지름을 구하면 문제는 '원 밖의 한 직선까지의 거리의 최솟값' 문제로 단순화됩니다.
  

• 21번

  — 복잡한 그림에 여러 기하학적 정리가 얽혀 있어 시각적 압박감이 큰 문제입니다. 출제 의도는 각의 이등분선 정리와 삼각형의 넓이비를 능숙하게 사용할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 어떤 삼각형에 어떤 정리를 적용해야 할지 순서를 정하는 것입니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 가장 큰 삼각형인 △ABC에서 각 C의 이등분선 CE에 대해 각의 이등분선 정리를 적용하여 AE:EB의 비율을 구하는 것입니다. 이후 △APE, △PQC 등 작은 삼각형들로 시야를 좁혀가며 비율을 연쇄적으로 적용하면 넓이비를 식으로 표현할 수 있습니다.
  

• 수학 29번

  — 변수인 대칭축을 갖는 이차함수의 제한된 범위 내에서의 최소 문제로, 고1 내신과 모의고사에서 모두 최상위권 변별 문항으로 자주 출제되는 유형입니다. 출제 의도는 대칭축의 위치에 따라 최솟값이 달라지는 것을 케이스 분류를 통해 논리적으로 분석할 수 있는지를 확인하는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 대칭축 x=2a가 범위 [2, 4] 안에 들어오는 경우만 생각하고 꼭짓점의 y좌표를 최솟값으로 단정 짓는 것입니다. 이 문제를 완벽히 풀기 위해서는 (1) 2a < 2, (2) 2 ≤ 2a ≤ 4, (3) 2a > 4 세 가지 경우로 나누어 각 케이스별 최솟값을 구하고, 그 값이 4가 되도록 하는 a, b의 관계식을 찾아 최종적으로 2a+b의 최댓값을 구해야 합니다.
  

• 수학 30번

  — 두 원 위를 움직이는 두 점 P, Q의 관계식을 통해 선분 PQ가 그리는 도형의 넓이를 구하는, 최상위권 변별력을 위한 자취 문제의 결정판입니다. 이 문제의 핵심은 조건 (가)와 (나)를 기하학적으로, 그리고 대수적으로 어떻게 해석하느냐에 달려 있습니다. 특히 (가)의 `(2*x1 + x2) / 3 = 2` 라는 식은 선분 P(x1, y1)와 Q(x2, y2)를 1:2로 내분하는 점의 x좌표가 항상 2라는 것을 의미합니다. 이 결정적 실마리를 파악하면, 점 P와 Q의 움직임이 서로 독립적이지 않고 강하게 연관되어 있음을 알 수 있습니다. 점 P의 x좌표 x1의 범위가 [0, 1]로 제한되어 있으므로, 이 범위 내에서 P와 Q가 움직일 수 있는 영역을 추적하여 선분 PQ가 그리는 전체 도형의 모양을 파악하고 넓이를 계산해야 합니다.