2017년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의고사는 20번, 30번 문항에서 고난도 도형과 다항식 추론 능력을 집중적으로 점검하며 상위권 변별을 시도한 점이 눈에 띕니다. 단순 계산 문제보다는 주어진 조건을 해석하여 식을 세우고, 여러 개념을 복합적으로 활용해야 하는 문항들이 다수 포진해 있어 체감 난이도가 높았을 수 있습니다. 특히 21번처럼 변수를 포함한 부등식의 해를 추론하거나 28번처럼 실생활 문제를 수학적으로 모델링하는 능력은 수능에서도 꾸준히 요구되는 역량이므로, 이번 시험을 계기로 관련 유형에 대한 깊이 있는 학습이 필요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 직선 위의 점 P(a, b)에 대해 a²+8b라는 식의 최솟값을 묻고 있습니다. 출제 의도는 변수가 2개인 식을 한 문자에 대한 이차식으로 변환하고, 제한된 범위(선분)에서 이차함수의 최솟값을 구할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 b = -1/4*a + 1을 대입하여 a에 대한 이차식을 만든 후, 무작정 꼭짓점의 y좌표를 답으로 쓰는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 P가 점 A에서 B까지만 움직인다는 '선분' 조건이므로, a의 범위를 먼저 구하고 그 범위 내에서 이차함수의 최솟값을 찾아야 한다는 점입니다.
  

• 20번

  — 복잡한 도형에서 여러 원의 넓이의 합의 최솟값을 구하는, 전형적인 상위권 변별 문항입니다. 출제 의도는 피타고라스 정리, 원의 성질 등 여러 기하학적 개념을 종합적으로 이용하여 식을 세우고, 최종적으로 이를 이차함수의 최적화 문제로 귀결시키는 능력을 측정하는 것입니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 각 원의 반지름을 개별적으로 구하려다 길을 잃는 것입니다. 이 문제의 실마리는 (가), (나), (다) 빈칸 채우기 흐름을 따라가는 데 있습니다. 특히 (나)에서 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질을 이용하는 부분이 핵심이며, 최종적으로 모든 변수를 a+b=t로 치환하여 t에 대한 이차함수로 표현하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 21번

  — 미지수 a를 포함한 연립부등식을 만족하는 정수 x가 단 1개만 존재하도록 하는 a값들의 합을 구하는 문제입니다. 정수 해의 개수 조건 문제는 수능에서도 자주 활용되는 고난도 유형의 기본기입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 두 번째 부등식 x²-4ax+4a²-1<0을 인수분해하지 못하거나, 해의 구간 (2a-1, 2a+1)의 길이가 2라는 사실을 간과하는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 힌트는 해의 구간 길이가 2라는 점에서 출발합니다. 이 구간 안에는 정수가 최대 2개(양 끝이 정수가 아닐 때) 또는 1개(한쪽 끝이 정수일 때)만 들어갈 수 있다는 사실을 파악하고, 첫 번째 부등식의 해와 겹치는 부분을 수직선 위에 그려보며 경우를 나누어 분석해야 합니다.
  

• 28번

  — 길이가 정해진 철사를 세 조각으로 잘라 삼각형을 만드는 상황을 주고, 변의 길이 차이에 대한 조건을 해석하여 식을 구하는 문제입니다. 문장제 문제를 수학적 언어로 번역하는 능력이 핵심입니다. 가장 큰 함정은 (가), (나) 조건인 '두 변의 길이의 차의 최댓값/최솟값'을 식으로 옮기는 과정입니다. a<b<c라는 순서가 정해져 있으므로, 가능한 길이의 차는 b-a, c-b, c-a 세 가지뿐입니다. 최댓값은 당연히 c-a=16이 되지만, 최솟값이 b-a인지 c-b인지 판단하는 과정에서 실수가 발생하기 쉽습니다. 문제 해결의 첫 단추는 a+b+c=60과 삼각형 결정 조건(a+b>c)을 기본으로 설정하고, (가), (나) 조건을 연립하여 미지수 a, b, c를 구하는 것입니다.
  

• 29번

  — 일명 '아르키메데스의 구두장이 칼'이라 불리는 도형(Arbelos)의 넓이에 관한 문제입니다. 출제 의도는 복잡해 보이는 도형의 넓이를 미지수를 이용해 간단한 식으로 표현하고, 주어진 조건들을 연립하여 해결하는 능력입니다. 학생들은 보통 PQ의 길이를 구하려고 애쓰거나 복잡한 기하학적 성질을 떠올리려다 시간을 낭비하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 실마리는 매우 간단합니다. AQ=x, QB=y로 설정하고, S1과 S2를 각각 x와 y에 대한 식으로 표현하는 것입니다. S1-S2=2π 라는 조건과 AQ-QB=8√3 이라는 두 조건은 x, y에 대한 간단한 연립방정식을 제공하며, 이를 통해 문제에서 요구하는 AB의 길이(x+y)를 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 여러 조건을 만족하는 모든 이차다항식 P(x)의 합 Q(x)를 구하는, 다항식 추론의 끝판왕 격인 문제입니다. 최고난도 문항답게 인수정리와 나머지정리에 대한 깊이 있는 이해를 요구합니다. 학생들이 가장 헤매는 부분은 (나) 조건, 즉 P(x){P(x)-3}이 x(x-3)으로 나누어 떨어진다는 것을 어떻게 활용할지 막막해하는 것입니다. 이 조건의 핵심은 P(0)의 값이 0 또는 3이어야 하고, P(3)의 값 역시 0 또는 3이어야 한다는 사실을 추론해내는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 (가) 조건 P(1)=0 또는 P(2)=0과 (나)에서 얻어낸 P(0)∈{0,3}, P(3)∈{0,3}을 조합하여 가능한 P(x)의 케이스들을 모두 찾아내는 것입니다. 예를 들어 P(1)=0, P(0)=0, P(3)=3 이라는 세 점을 지나는 이차함수를 결정하는 식으로 모든 경우의 수를 체계적으로 따져야 합니다.