2016년 10월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 10월 학력평가는 30번 경우의 수 문제에서 p와 q의 위치를 정하고 남은 원소들을 분할하는 아이디어를 떠올리지 못했다면 상당한 시간을 소요했을 시험입니다. 전반적으로 계산이 복잡하기보다는 18번, 29번처럼 벡터를 성분으로 풀지, 기하적으로 해석할지 판단하는 능력과 21번처럼 함수의 성질을 종합적으로 추론하는 능력을 요구하는 문항들이 많았습니다. 특히 도형과 벡터, 함수의 그래프를 해석하는 능력은 평가원이 수능 고난도 문항에서 꾸준히 요구하는 핵심 역량이므로, 각 조건이 어떤 기하학적, 해석학적 의미를 갖는지 깊이 있게 분석하는 연습을 해야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — 두 접선이 수직이라는 조건에서 f'(t)g'(t)=-1 이라는 관계식을 이끌어내는 것이 핵심입니다. 이 문제의 출제 의도는 복잡한 식 속에서 문자를 소거하여 특정 값에 관계없이 지나는 정점을 찾는 능력을 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 t, a, b 사이의 관계식을 연립하는 과정에서 길을 잃고 헤매는 경향이 있습니다. 결정적 힌트는 'a, b의 값에 관계없이'라는 문구입니다. 이 말은 최종적으로 식을 a에 대한 항등식으로 정리하여 계수 비교를 통해 점 Q의 좌표를 찾아야 한다는 강력한 신호입니다.
  

• 20번

  — 이 문항은 x의 값의 범위에 따라 함수 f(x)가 어떻게 정의되는지를 먼저 파악해야 합니다. |x|<1, |x|>1, x=1, x=-1 네 가지 경우로 나누어 f(x)의 그래프를 정확히 그리는 것이 문제 해결의 70%를 차지합니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 불연속점에서의 함수값을 잘못 찍거나, |x|>1 일 때의 함수 형태를 착각하는 것입니다. 그래프를 완성했다면, y=x+a 라는 직선을 위아래로 움직여보면서 교점의 개수가 변하는 '결정적인 순간들', 즉 불연속점을 지나거나 그래프의 일부에 접할 때의 a값을 찾는 것이 정답으로 가는 길입니다.
  

• 21번

  — 도함수 f'(x)의 그래프는 원함수 f(x)의 모든 비밀을 담고 있는 보물지도와 같습니다. f'(x)=0이 되는 지점에서 f(x)가 극값을 갖는다는 기본 개념을 넘어, f'(x)가 우함수인지 기함수인지(이 문제에서는 기함수) 파악하여 f(x)의 대칭성을 유추하는 것이 고득점의 열쇠입니다. f(0)=1, f(√2)=-3 이라는 두 개의 함수값은 f(x)의 그래프를 좌표평면에 고정시키는 닻의 역할을 합니다. 가장 큰 함정은 f(m)f(m+1)<0 이라는 조건을 단순히 부호가 바뀐다고만 생각하는 것입니다. 이는 m과 m+1 사이에 x축을 통과하는 실근이 존재한다는 의미이므로, √2가 약 1.414라는 것을 이용해 정수 m을 기준으로 함수값의 부호를 꼼꼼히 따져봐야 합니다.
  

• 미적분 28번

  — 삼각함수의 극한과 도형의 성질을 결합한 전형적인 고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 '선분 AD를 지름으로 하는 원이 선분 BC와 접한다'는 조건을 어떻게 수식으로 표현하느냐에 있습니다. 원의 중심(AD의 중점)에서 직선 BC까지의 거리가 반지름(AD/2)과 같다는 사실을 이용해야 합니다. 학생들은 보통 CD의 길이를 θ로 표현하는 과정에서 어떤 보조선과 삼각법칙(사인법칙, 코사인법칙)을 사용해야 할지 몰라 헤매는 경우가 많습니다. 먼저 삼각형 ABC에서 사인법칙을 이용해 변 AC의 길이를 θ로 표현하고, 그 다음 접선 조건을 활용하여 AD와 AC 사이의 관계식을 세우는 것이 풀이의 정석적인 흐름입니다.
  

• 기하 29번

  — 공간벡터의 내적 OP·AQ의 최댓값을 구하는 문제입니다. 점 P와 Q의 위치가 각각 다른 조건으로 제한되어 있어 복잡해 보입니다. 출제 의도는 벡터를 분해하고, 각 벡터의 기하학적 의미를 파악하여 내적의 최댓값을 구하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 P와 Q의 좌표를 매개변수로 설정하여 대수적으로 풀려고 하지만, 이는 매우 비효율적입니다. 결정적인 실마리는 AQ 벡터를 AO + OQ로 분해하는 것입니다. 그러면 OP·AQ = OP·AO + OP·OQ가 되는데, 조건 (가)에서 OA·OP=0이므로 결국 OP·OQ의 최댓값을 구하는 문제로 귀결됩니다. 점 P는 xy평면 위의 원 위를 움직이고, 점 Q는 점 B를 중심으로 하는 구면 위를 움직이므로, 두 벡터 OP와 OQ가 이루는 각과 크기를 고려하여 기하학적으로 최댓값을 찾는 것이 가장 효율적인 접근법입니다.
  

• 확률과 통계 30번

  — 주어진 조건을 만족하는 순열의 수를 세는 고난도 경우의 수 문제입니다. 조건 (가), (나), (다)는 수열 a_i가 '증가-감소-증가' 형태의 개형을 갖는다는 것을 의미합니다. a_1=2, a_p=8이라는 구체적인 값이 주어졌기 때문에, 나머지 숫자들 {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}를 어떻게 배열할지 결정하는 문제입니다. 이 문제의 핵심 아이디어는 '분할과 분배'입니다. 먼저 p와 q의 값이 될 수 있는 경우를 나누고, 각 경우마다 남은 7개의 숫자를 세 그룹(1~p-1 구간, p~q-1 구간, q~9 구간)에 들어갈 집합으로 나누는 것입니다. 일단 각 그룹에 들어갈 숫자들의 '집합'이 결정되면, 증가 또는 감소 조건에 의해 배열 방법은 단 한 가지로 고정됩니다. 따라서 이 문제는 복잡한 순열 문제가 아니라, '조합(Combination)'을 이용한 집합의 분할 문제로 전환하여 생각하는 것이 결정적 실마리입니다.
  

• 수학 나형 28번

  — 같은 색 공은 구별하지 않고, 바구니는 구별하는 전형적인 중복조합 문제처럼 보이지만, (가)와 (나) 조건이 결합되어 매우 까다로운 케이스 분류 문제로 변모했습니다. 출제 의도는 여러 제약 조건 하에서 중복과 누락 없이 모든 경우를 셀 수 있는지를 묻는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 빨간 공과 파란 공을 나누어 생각한 뒤 단순히 곱해버리는 것입니다. 이는 (가)의 '총 공의 개수' 조건을 무시하는 치명적인 실수입니다. 이 문제의 실마리는 제약이 더 강한 빨간 공부터 배열하는 것입니다. (나) 조건에 따라 빨간 공 3개는 서로 다른 바구니 3개에 1개씩 들어가야 합니다(5C3). 그 후, 남은 파란 공 6개를 각 바구니의 남은 공간(최대 3개)과 전체 조건을 고려하여 분배하는 방식으로 접근해야 합니다.
  

• 수학 나형 29번

  — 명제 '어떤 x, y에 대하여 p이면 q이다'가 참이라는 것은, 조건 p를 만족하는 영역과 조건 q를 만족하는 영역의 교집합이 공집합이 아니라는, 즉 '두 영역이 적어도 한 점에서 만난다'는 의미로 해석하는 것이 핵심입니다. 많은 학생들이 '어떤'이라는 단어의 의미를 '모든'과 혼동하여 p의 영역이 q의 영역에 포함되어야 한다고 잘못 생각합니다. p는 위로 볼록한 포물선의 아래 영역, q는 원의 내부 영역입니다. 두 영역이 만나기 위한 경계 조건은 포물선이 원과 접하거나 통과하는 상황이므로, 원의 가장 높은 점(0, 20+√2)이 포물선 y=k-x² 위에 있거나 그 아래에 있을 조건을 생각하면 k의 최솟값을 구할 수 있습니다.
  

• 수학 나형 30번

  — 이 문제는 수능 최고난도 문항의 단골 소재인 '복잡한 조건의 좌석 배정' 문제입니다. (가), (나), (다) 세 가지 조건을 동시에 만족시키는 경우를 체계적으로 세는 능력을 측정합니다. 섣불리 여사건을 생각하거나 곱의 법칙을 적용하려 하면 경우의 수가 얽혀서 반드시 실패하게 됩니다. 이 문제의 유일한 해법은 가장 영향력이 큰 조건을 기준으로 케이스를 나누는 것입니다. 학생들을 1분단과 2분단으로 나누는 '분할'을 먼저 생각하는 것이 좋습니다. 예를 들어, A학급 3명을 (2명, 1명)으로 분할하여 각 분단에 배치하는 경우, (3명, 0명)으로 배치하는 경우 등으로 큰 틀을 잡고, 그 안에서 (가), (나), (다) 조건을 만족시키도록 배열하는 하향식(Top-down) 접근이 필수적입니다.