2016년 09월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 미적분 문항은 4차 함수와 절댓값, 삼각함수가 융합된 역대급 난이도로, 이계도함수의 연속성까지 파고들어 많은 최상위권 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 준킬러 문항인 21번 역시 정적분으로 정의된 함수를 해석하고 미분하는 과정이 복잡해 시간 관리에 실패한 학생들이 많았을 것이고, 기하 29번은 공간지각 능력과 정사영 개념을 정확히 꿰뚫고 있어야 풀 수 있는 까다로운 문제였습니다. 이처럼 여러 개념을 융합하여 새로운 문제에 적용하는 능력을 평가하려는 평가원의 의도가 명확히 드러나므로, 남은 기간 동안 기출 킬러 문항을 분석하며 문제 해결의 논리적 흐름을 체화하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 도형의 닮음을 이용해 등비급수의 공비를 찾는 전형적인 프랙탈 문제입니다. 출제 의도는 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 계산할 수 있는지를 평가하는 것이죠. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 두 번째 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 과정에서 복잡한 도형 관계를 잘못 해석하는 것입니다. 결정적 실마리는 첫 번째 사분원의 중심 A₁에서 점 C₂까지의 거리가 반지름 1과 같다는 점을 이용해, 두 번째 정사각형의 대각선 길이를 구하는 것입니다. 이로부터 닮음비를 찾아내면 공비는 쉽게 해결됩니다.
  

• 17번

  — 이 문제는 확률변수의 기댓값을 구하는 과정을 조합 기호를 이용하여 증명 형식으로 채워나가는 문항입니다. 핵심은 (가)에 들어갈 식과 k를 곱한 값을 (나)를 포함한 식으로 변형하는 과정에서, 문제에 주어진 조합 항등식 'kC_r = k/r * (k-1)C_(r-1)'을 정확히 활용하는 것입니다. 많은 학생들이 이 항등식을 어떻게 적용해야 할지 몰라 헤매거나, 시그마(Σ) 계산에서 막히는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 k * (k-1)C_3 을 주어진 항등식을 이용해 4 * kC_4 꼴로 바꾸는 데 있으며, 이를 통해 복잡한 시그마 계산을 간단한 조합 기호의 합으로 바꿀 수 있습니다.
  

• 18번

  — 기댓값 E(X)를 조합 기호를 이용하여 증명하는 과정을 빈칸 추론으로 제시한 문항입니다. 이 문제의 핵심은 이항계수의 성질, 특히 'k * kCr = k * (k-1)Cr-1'과 같은 공식을 이해하고 적용하는 능력입니다. 많은 학생들이 (나) 빈칸을 채울 때 시그마 뒤의 식을 어떻게 변형해야 할지 막막해합니다. 힌트는 바로 앞 줄에 제시된 'k * (가) = 4 * (나)'라는 등식입니다. (가)에 해당하는 식 k-1C₃를 대입하고 이항계수 성질을 적용하면 (나)에 해당하는 kC₄를 자연스럽게 유도할 수 있습니다. 단순히 빈칸 앞뒤만 보지 말고, 증명의 전체적인 흐름을 파악하는 것이 중요합니다.
  

• 20번

  — 삼차함수 f(x)의 도함수인 이차함수 f'(x)의 성질을 추론하는 문제입니다. (가) 조건에서 x=-2가 극댓값임을 알려주었고, (나) 조건 f'(-3)=f'(3)은 도함수 f'(x)의 대칭축이 y축, 즉 x=0임을 알려줍니다. 이 두 가지 정보를 종합하면 f'(x)의 식을 바로 특정할 수 있죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 'ㄴ' 보기에서 f(x)=f(2)의 근을 판별할 때, f(x)의 그래프를 정확하게 그리지 않고 어림짐작으로 판단하는 것입니다. 극댓값과 극솟값의 위치를 정확히 파악하고 x=2에서의 함숫값과 비교하는 그래프 개형 추론이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 21번

  — 두 함수 중 크지 않은 값을 따르는 새로운 함수 g(x)가 '실수 전체에서 미분가능'하다는 조건이 이 문제의 모든 것을 담고 있습니다. 출제 의도는 함수의 그래프가 만나는 지점에서의 미분가능성 조건을 깊이 있게 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. g(x)가 미분가능하려면, f(x)와 |x(x-2)(x-3)|의 그래프가 만나는 점에서 두 함수의 함숫값과 미분계수가 모두 같아야 합니다. 즉, 두 그래프는 만나는 점에서 '접해야' 합니다. 결정적 실마리는 y=|x(x-2)(x-3)|의 그래프를 먼저 그린 후, (가) 조건에 따라 0, 2, 3을 근으로 갖는 사차함수 f(x)가 이 그래프와 어떻게 접해야 모든 조건을 만족하는지 경우의 수를 따져보는 것입니다. 특히 x=2에서 접할 때의 상황을 놓치기 쉽습니다.
  

• 기하 29번

  — 꼬인 위치에 있는 두 선분과 두 평면이 이루는 각 등 복합적인 요소가 포함된 사면체의 부피를 구하는 공간도형 문제입니다. 이 문제의 핵심은 사면체의 부피를 구하기 위해 밑면의 넓이와 높이를 설정하고, 주어진 조건들을 이용해 그 값들을 구해내는 것입니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 '직선 AB와 평면 β가 이루는 각'을 '두 평면 α와 β가 이루는 이면각'으로 착각하는 것입니다. 문제 해결의 결정적 단서는 점 A에서 평면 β에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 선분 AH의 길이가 두 평면 사이의 거리가 되며, 삼각형 ABH가 직각삼각형을 이룬다는 사실을 이용하는 것입니다. 이를 통해 사면체의 높이를 구하고, 밑면인 삼각형 ACD의 넓이를 구하여 부피를 계산할 수 있습니다.
  

• 미적분 30번

  — 최고차항 계수가 1인 사차함수 f(x)와 절댓값이 포함된 삼각함수 g(x)의 합성함수 h(x)=f(g(x))의 이계도함수 h''(x)가 실수 전체에서 연속일 조건을 찾는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 합성함수 미분법을 두 번 적용하고, 절댓값과 구간별로 정의된 함수가 포함된 g(x)의 미분 불가능점을 f(x)가 어떻게 상쇄하여 h''(x)를 연속으로 만드는지 추론하는 능력입니다. 학생들은 g(x)가 x=0에서 미분 불가능하고, g'(x)가 불연속인 지점들을 찾아내야 하며, 이 지점들에서 h''(x)의 좌우 극한값이 같아지도록 하는 f'(k)와 f''(k)의 값을 찾아야 합니다. 가장 결정적인 실마리는 h''(x) = f''(g(x))(g'(x))² + f'(g(x))g''(x) 식에서, g'(x)가 불연속인 x=0에서 h''(x)의 연속성을 보장하기 위해서는 f'(g(0))=0 이어야 한다는 조건을 발견하는 것입니다. 이와 유사한 논리를 g(x)의 다른 극점들에도 적용하여 f(x)의 조건을 구체화해야 합니다.
  

• 미적분 29번

  — 정적분으로 정의된 함수의 최솟값을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 적분 구간에 변수 a와 a+4가 모두 포함되어 있다는 점을 인지하고, a의 값에 따라 피적분함수 f(x)의 형태가 어떻게 변하는지를 파악하는 것입니다. 주어진 함수 f(x)는 x=4를 기준으로 식이 달라지므로, 적분 구간 [a, a+4]가 4를 포함하는지 여부에 따라 적분식을 다르게 세워야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 a의 범위를 0≤a≤4로 한정하고, 이 범위 내에서 정적분 값 S(a)를 a에 대한 함수로 표현하는 과정입니다. S(a)를 구한 뒤에는 미분을 통해 최솟값을 찾는 전형적인 미분법 활용 문제로 귀결됩니다.
  

• 수학II 30번

  — 주어진 부등식 영역에 포함되는 특정 조건을 만족하는 정사각형의 개수를 세는, 소위 '격자점' 유형의 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 복잡한 조건 속에서 규칙성을 발견하고, 이를 일반화하여 함수 f(n)을 식으로 표현하는 능력입니다. (가), (나) 조건을 만족하는 정사각형은 한 변의 길이가 1, 2, √2, √5인 네 가지 경우가 있습니다. 각 경우에 대해 정사각형의 왼쪽 아래 꼭짓점 (k, l)이 어떤 조건을 만족해야 하는지 부등식으로 정리하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 특히 한 변의 길이가 √5인 정사각형(가로1, 세로2 또는 가로2, 세로1)의 개수를 셀 때 누락하거나 중복하기 쉬우니 각별한 주의가 필요합니다. f(n)≤400을 만족하는 n의 최댓값을 찾아야 하므로, f(n)을 n에 대한 식으로 근사적으로 표현하고 부등식을 푸는 과정이 최종 관문입니다.