2016년 07월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 7월 학력평가 가형은 21번 급수 문제가 가장 큰 변수였을 겁니다. 복잡한 도형의 넓이를 삼각함수로 표현하고 이를 다시 정적분으로 바꾸는 과정에서 계산 실수나 시간 부족을 겪은 학생들이 많았을 거예요. 전반적으로 미적분, 기하, 확률과 통계의 주요 개념들을 충실히 물어보면서도, 28번 포물선 문제나 29번 공간도형 문제처럼 기하학적 정의와 성질을 깊이 있게 파고드는 문항들이 상위권을 변별하는 역할을 했습니다. 이러한 기하와 미적분의 융합적 사고를 요구하는 문항들은 수능에서도 킬러 문항으로 자주 등장하는 패턴이므로, 단순히 공식을 외우기보다 개념이 도형에 어떻게 적용되는지 시각적으로 이해하는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 15번

  — 전형적인 무한등비급수 도형 문제입니다. 첫째항(초항)과 공비를 찾아 S = a / (1-r) 공식에 대입하는 것이 핵심이죠. 많은 학생들이 공비를 구할 때, 길이의 비를 구하고 제곱하여 넓이의 비를 구하는 것을 잊는 실수를 합니다. 이 문제의 첫째항은 큰 도형 E1의 넓이에서 작은 도형 F1의 넓이를 빼서 구해야 하는데, 이 과정에서 계산 실수가 발생하기 쉬우니 주의해야 합니다. 힌트는 공비를 찾기 위해 가장 큰 정사각형(A₁B₁C₁D₁)과 그 안에서 두 번째로 만들어지는 정사각형(P₁Q₁R₁S₁)의 닮음비를 이용하는 것입니다.
  

• 16번

  — 방정식의 실근 개수를 그래프의 교점으로 해석하는 능력을 묻는 문제입니다. 핵심은 f(x) = sinx - xcosx 로 두고 이 함수의 그래프 개형을 그리는 것이죠. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 f'(x)를 구할 때 곱의 미분법에서 부호 실수를 하거나, f'(x) = xsinx 의 부호 변화를 [0, 2π] 구간에서 정확히 판단하지 못해 극대, 극소점을 잘못 찾는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 f'(x) = 0 이 되는 지점, 즉 x=π를 기준으로 증감을 정확히 파악하여 극댓값을 구하고, y=k 직선을 움직여가며 교점 개수를 세는 것입니다.
  

• 18번

  — 두 도함수 그래프의 관계를 통해 원래 함수의 차이로 정의된 새로운 함수 h(x)의 개형을 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 h'(x) = f'(x) - g'(x)의 부호를 통해 h(x)의 증가와 감소, 극대/극소를 파악할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 보기 ㄴ에서 h(b)=0이고 x=b에서 극소라는 사실만으로 실근이 2개라고 단정하는 것입니다. x>b 이후 함수가 다시 x축과 만나는지 여부까지 따져봐야 합니다. 결정적 실마리는 f'(x)와 g'(x)가 만나는 교점 a, b에서 h'(x)=0이 된다는 사실을 이용하여 h(x)의 증감표를 그려보는 것입니다.
  

• 21번

  — 조건을 만족하는 자연수의 개수를 세는 까다로운 경우의 수 문제입니다. '1끼리는 이웃하지 않는다'는 조건 때문에 전체 경우에서 여사건을 빼는 방식은 매우 복잡하고 오류 가능성이 높습니다. 이 문제의 핵심은 '1'의 개수를 기준으로 케이스를 나누어 접근하는 것입니다. 0개, 1개, 2개, 3개... 의 '1'이 사용된 경우로 나누어 생각하는 것이 가장 효율적입니다. 힌트를 주자면, '1'이 2개 이상 사용되는 경우, '1'이 아닌 다른 숫자들(0, 2)을 먼저 배열한 뒤 그 사이사이에 '1'을 끼워 넣는 '칸막이' 아이디어를 적용하면 이웃하지 않는다는 조건을 쉽게 만족시킬 수 있습니다. 맨 앞자리에 0이 올 수 없다는 조건도 절대 잊으면 안 됩니다.
  

• 27번

  — 극한으로 정의된 함수 f(x)와 이차함수 g(x)의 곱 f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이 될 조건을 묻는 문제입니다. f(x)는 x의 범위에 따라 다르게 정의되므로, |x|=1, 즉 x=1과 x=-1에서 불연속이 됩니다. 이 문제의 출제 의도는 '불연속 함수와 연속 함수의 곱이 연속이 될 조건'을 알고 있는지 확인하는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 x=1에서만 연속성을 확인하고 x=-1을 놓치는 것입니다. 결정적인 해결의 실마리는, 함수 f(x)가 특정 지점(a)에서 불연속일 때, 곱함수 f(x)g(x)가 그 지점에서 연속이 되려면 g(a)=0이어야 한다는 핵심 개념입니다. 따라서 g(1)=0, g(-1)=0 이라는 두 가지 조건을 모두 만족해야 합니다.
  

• 29번

  — 도형의 넓이를 n에 대한 식으로 표현하고 극한값을 구하는 문제입니다. 정삼각형, 원, 평행선 등 다양한 도형의 성질을 종합적으로 활용해야 하므로 기하학적 통찰력이 필요합니다. 이 문제를 푸는 가장 큰 장벽은 점 Qn의 위치를 n에 대한 식으로 정확히 표현하는 것입니다. 좌표평면을 도입하여 각 점의 좌표를 설정하는 것이 가장 체계적인 접근법입니다. 힌트를 드리자면, 점 B를 원점(0,0)으로, 직선 BC를 x축으로 설정해 보세요. 그 다음 직선 AB의 방정식과 중심 On의 좌표를 n을 이용해 구하면, 직선 OnPn의 방정식을 세워 점 Qn의 y좌표, 즉 삼각형 BOQn의 높이를 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 주어진 여러 조건을 종합하여 4차 다항함수 f(x)를 결정하고 정적분 값을 구하는 최고난도 문항입니다. (가) 조건에서 f(x)의 최고차항을, (나) 조건에서 f(1)과 f'(1)의 값을 알 수 있습니다. 이 문제의 핵심은 구간별로 정의된 함수 g(x)가 열린구간 (-1, 5)에서 '미분가능'하다는 조건을 어떻게 해석하느냐에 있습니다. g(x)가 정수점 x=0, 1, 2, 3, 4에서 미분가능하려면, 해당 지점에서 연속이면서 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 이 조건을 식으로 풀어내면 f(x)의 계수들에 대한 여러 관계식을 얻을 수 있습니다. 결정적 실마리는 g(x)의 미분가능성 조건에서 f'(0) = f'(1) 이라는 중요한 관계를 이끌어내는 것입니다. 이 관계와 (나) 조건을 결합하면 f(x)를 완전히 결정할 수 있습니다.
  

• 기하 28번

  — 포물선의 정의와 삼각형의 무게중심이라는 두 가지 핵심 개념을 융합한 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '무게중심이 초점 F와 일치한다'는 조건을 어떻게 활용하느냐에 있습니다. 학생들은 보통 점 A의 좌표를 구하기 위해 포물선과 직선의 방정식을 연립하여 복잡한 계산의 늪에 빠지곤 합니다. 하지만 결정적 힌트는 포물선의 정의, 즉 '포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같다'는 성질을 이용하는 것입니다. AF의 길이를 좌표로 구하는 대신, 점 A에서 준선 x=-p에 내린 수선의 발까지의 거리로 대체하면 문제가 훨씬 간결해집니다. 무게중심 공식을 이용해 점 A, B, C의 좌표와 초점 F의 좌표 사이의 관계식을 세우고, 이를 포물선의 정의와 결합하면 AF+BF의 값을 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 기하 29번

  — 공간지각 능력과 이면각의 정의를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 전형적인 공간도형 킬러 문항입니다. 출제 의도는 두 평면 APB와 APQ가 이루는 각의 크기를 구하는 것으로, 이를 위해선 각 평면의 법선벡터를 찾거나 정사영을 이용해야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 주어진 조건만으로 공간좌표를 설정하고 점들의 좌표를 구하는 과정입니다. 이 문제의 실마리는 구의 중심을 원점 (0,0,0)으로 설정하는 것입니다. 그 후, AB와 PQ가 각각 특정 평면 위에 놓인 현이라는 점을 이용해 A, B, P, Q 점들의 좌표를 미지수를 사용해 표현하고, 주어진 길이 조건과 ∠ABQ=π/2 조건을 활용하여 미지수를 확정해야 합니다. 두 평면의 법선벡터를 외적을 통해 구한 뒤, 두 벡터가 이루는 각을 구하는 것이 가장 정석적인 풀이법입니다.
  

• 미적분 30번

  — 곡선에 접하는 두 평행선 사이의 거리의 최댓값을 정적분으로 계산하는, 미적분의 종합판 같은 문제입니다. 핵심 출제 의도는 '두 직선 사이의 거리' f(θ)를 θ에 대한 함수로 표현하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 f(θ)를 구하는 단계에서 헤매는데, 두 평행한 접선의 기울기가 tanθ로 주어졌다는 것이 결정적 힌트입니다. 원의 미분법 또는 음함수 미분법을 이용해 접선의 기울기가 tanθ가 되는 두 접점의 좌표를 찾아야 합니다. 그 후 두 접점에서의 접선의 방정식(y=tan(θ)x + n)을 구하고, 두 직선의 y절편 차이를 이용하여 두 직선 사이의 거리 공식 |n₁-n₂|/√(m²+1)을 적용하면 f(θ)를 θ에 대한 식으로 정리할 수 있습니다. 이 과정을 통과하면 남은 것은 삼각함수의 제곱에 대한 적분 계산입니다.