2016년 06월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 29번 미분가능성 문제에서 '두 점까지의 거리 제곱 중 크지 않은 값'으로 함수를 새롭게 정의하여, 많은 학생이 문제 해석 단계부터 어려움을 겪었을 것입니다. 전반적인 계산량은 평이했으나, 18번, 21번, 30번처럼 함수의 그래프 개형을 정확히 추론하거나 정수 조건을 꼼꼼히 따져야 하는 등 개념의 깊이를 묻는 문항들이 상위권의 변별력을 갈랐습니다. 특히 21번처럼 도함수를 통해 원함수와 그 절댓값 함수의 관계를 해석하는 유형은 수능에서도 꾸준히 출제되는 단골 킬러이므로, 다양한 조건에 따른 그래프 개형을 그려보는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 18번

  — 두 함수의 곱으로 정의된 새로운 함수 h(x)=f(x)g(x)의 극소점을 찾는 문제입니다. 출제 의도는 곱의 미분법 h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)를 정확히 적용하고, 주어진 그래프에서 f(x), g(x), f'(x)의 부호를 읽어내 h'(x)의 부호 변화를 추론할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 극점은 f'(x)=0 또는 g'(x)=0인 지점에서만 생긴다고 착각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제 해결의 실마리는 h'(x)=0이 되는 지점을 먼저 찾고, 그 지점의 좌우에서 h'(x)의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌는 곳이 바로 극소점이라는 미분법의 기본 정의를 떠올리는 것입니다.
  

• 20번

  — 항의 번호(n)가 3의 배수인지 아닌지에 따라 규칙이 달라지는 수열의 귀납적 정의(점화식) 문제입니다. a_15의 값이 주어졌을 때 첫째항 a를 역으로 추적해야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 항의 번호를 거꾸로 추적해 나갈 때 규칙을 반대로 적용하는 과정에서 계산 실수를 하는 것입니다. 특히 3의 배수 항에서 그 이전 항으로 넘어갈 때의 규칙을 주의해야 합니다. 결정적 실마리는 a_15에서 시작하여 a_14, a_13을 구하고, a_12를 구하는 식으로 3개 항을 하나의 주기로 묶어 규칙성을 파악하며 차근차근 a_1까지 거슬러 올라가는 것입니다.
  

• 21번

  — 도함수 y=f'(x)의 그래프를 보고 원함수 f(x)와 절댓값 함수 |f(x)|의 성질을 추론하는, 매우 중요한 유형의 문제입니다. 출제 의도는 도함수의 부호가 원함수의 증가/감소를, 도함수 그래프와 x축으로 둘러싸인 넓이가 원함수의 함숫값 차이를 의미함을 이해하는지 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 x축의 위치가 정해지지 않은 상태에서 f(0)과 f(2)의 부호에 따라 여러 가지 f(x) 그래프 개형을 모두 고려해야 한다는 점입니다. 문제 해결의 첫 단추는 f'(x) 그래프를 통해 f(x)가 x=0에서 극대, x=2에서 극소를 갖는다는 사실을 파악하고, 각 보기(ㄱ,ㄴ,ㄷ)의 조건에 맞는 f(x)와 |f(x)|의 그래프를 직접 그려보며 참/거짓을 판별하는 것입니다.
  

• 기하 28번

  — 벡터 합의 크기 |O₁P + O₂Q|의 최솟값을 묻는 문제입니다. P와 Q, 두 점이 모두 움직이기 때문에 좌표로 접근하면 계산이 매우 복잡해집니다. 출제 의도는 벡터의 분해와 기하학적 해석입니다. 벡터의 시점을 통일하거나 중점을 활용하는 것이 정석적인 접근법이죠. 선분 O₁O₂의 중점을 M이라 하면, O₁P = O₁M + MP, O₂Q = O₂M + MQ로 분해할 수 있습니다. 이를 대입하면 |(O₁M + O₂M) + (MP + MQ)|가 되고, O₁M + O₂M = 0 이므로 결국 |MP + MQ|의 최솟값을 구하는 문제로 단순화됩니다. 이 실마리를 잡았다면, 두 벡터 MP와 MQ가 반대 방향으로 일직선 위에 놓일 때 최소가 됨을 기하학적으로 파악할 수 있습니다.
  

• 미적분 29번

  — 함수 g(x)를 '곡선 위의 점 (x, f(x))에서 두 정점 A, B까지의 거리의 제곱 중 크지 않은 값'으로 정의하고, g(x)가 미분가능하지 않은 지점을 찾는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 g(x)의 정의를 기하학적으로 해석하는 능력입니다. g(x)는 두 거리의 제곱이 같아지는 지점에서 함수식이 바뀔 가능성이 높고, 바로 그 지점이 미분 불가능점의 후보가 됩니다. 많은 학생들이 복잡한 함수 정의에 압도되어 거리 공식을 대입한 후 복잡한 대수 계산에만 매몰되는 함정에 빠집니다. 문제 해결의 결정적 힌트는 '두 정점 A, B에서 같은 거리에 있는 점들의 자취는 선분 AB의 수직이등분선'이라는 사실을 떠올리는 것입니다. 결국 이 문제는 곡선 y=f(x)와 선분 AB의 수직이등분선의 교점을 찾는 문제로 귀결됩니다.
  

• 미적분 30번

  — 정적분으로 정의된 함수, 우함수 조건, 그리고 삼각함수가 결합된 최고난도 문항입니다. (가) 조건에서 f(x)가 우함수임을 파악하고, (나)의 정적분 식을 미분하여 f(x+a) + f(x) = cos(x+π/3) 라는 함수 방정식을 얻는 것이 첫 번째 관문입니다. 여기에 f(x)가 우함수라는 사실을 결합하여 x 대신 -x를 대입하고 두 식을 연립하면 f(x)의 주기성이나 또 다른 특징을 발견할 수 있습니다. 문제에서 주어진 f(x)의 형태(bcos(3x)+ccos(5x))를 이 함수 방정식에 직접 대입한 후, 삼각함수의 합 또는 곱 공식을 활용하여 계수비교법으로 미정계수 a, b, c를 결정하는 것이 이 문제의 정해진 풀이 경로입니다. 계산 과정이 길고 복잡하므로 삼각함수 공식에 대한 숙련도가 필수적입니다.
  

• 미적분 28번

  — 닫힌 구간 [-a, a]에서 3차함수 f(x)의 최댓값(M)과 최솟값(m)을 구하는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 구간 내에서의 최대·최소는 반드시 극값 또는 구간의 양 끝점에서 발생한다는 '최대·최소 정리'를 정확히 알고 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 자주 저지르는 실수는 f'(x)=0이 되는 극값만 구하고, 구간의 양 끝점인 f(a)와 f(-a)의 값을 비교하는 과정을 빠뜨리는 것입니다. 이 문제를 푸는 결정적 실마리는 f'(x)=0을 만족하는 x값을 a에 대한 식으로 표현한 뒤, 이 값들이 구간 [-a, a] 안에 포함되는지 확인하고, 극댓값, 극솟값, f(a), f(-a) 네 개의 값을 모두 비교하여 M과 m을 a에 대한 식으로 나타내는 것입니다.
  

• 수학 30번

  — 로그의 값이 자연수가 되도록 하는 조건을 만족시키는 미지수가 특정 범위 내에 존재할 때, 이를 만족하는 모든 n의 합을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 'log₂(X) = (자연수)'라는 조건을 'X = 2^k (k는 자연수)'로 변환하고, 주어진 부등식 조건을 활용하여 미지수 n의 범위를 추론하는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 '0 < b-a ≤ n/2인 두 실수 a, b가 존재한다'는 조건을 해석하는 것입니다. 이 조건은 na-a² = 2^k, 즉 a에 대한 이차방정식 x²-nx+2^k=0의 두 실근이 a, b이며, 두 근의 차가 n/2 이하라는 의미입니다. 문제 해결의 실마리는 판별식 D > 0 과 두 근의 차 공식 |b-a| = √D 를 이용하여 n과 k에 대한 부등식을 세우고, 20 이하의 자연수 n 각각에 대해 이 부등식을 만족하는 자연수 k가 존재하는지를 판별하는 것입니다.