2016년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

19번 합성함수 문제에서 f(x)=t로 치환 후 t값을 구하고 만족감에 답을 착각한 학생들이 많았을 겁니다. 이번 시험은 복잡한 계산보다는 각 단원의 핵심 개념을 정확히 이해하고, 이를 다른 개념과 융합하여 적용할 수 있는지를 묻는 문항들이 다수 포진해 있습니다. 특히 함수 그래프의 성질을 이용한 방정식/부등식 풀이 능력이 고득점의 관건이었습니다. 이러한 유형은 수능에서 함수의 개형을 추론하거나, 여러 조건을 종합해 정답을 찾아가는 고난도 문항의 기본기를 다지는 데 매우 중요하므로, 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어 개념의 시각적, 논리적 연결고리를 만드는 훈련이 필요합니다.

문항 분석

• 19번

  — 이 문항은 이차함수 그래프와 합성함수 방정식의 실근 관계를 시각적으로 파악할 수 있는지 평가하는 것이 핵심 출제 의도입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 `f(f(x)) = -5`를 풀기 위해 `f(x) = t`로 치환하여 `f(t) = -5`를 만족하는 `t`값을 구한 뒤, 그 `t`값 자체를 최종 답과 연관 짓거나 `x`의 개수만 세는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 먼저 `y=f(x)`의 식을 꼭짓점 (2, -9)와 점 (0, -5)를 이용해 구하고, `y=f(t)`와 `y=-5`의 교점을 찾아 `t`값을 확정하는 것입니다. 그 후, `y=f(x)` 그래프와 `y=t`라는 수평선의 교점들의 `x`좌표를 찾고, 이차함수의 대칭성을 이용하면 모든 실근의 합을 간단히 구할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 '임의의 실수 x'에 대해 항상 성립하는 이차부등식, 즉 절대부등식의 개념을 판별식과 연계하여 이해하고 있는지를 묻고 있습니다. 많은 학생들이 `f(x) > g(x)`를 `x^2 - 2ax - b > 0`으로 정리하고 판별식 `D < 0`을 적용하는 것까지는 성공하지만, 그 결과로 나온 `a`와 `b`에 대한 부등식(`a^2 + b < 0`)을 제대로 해석하지 못해 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참거짓 판별에 실패합니다. 이 문제를 풀어낼 힌트는 ㄱ에서 얻은 `a^2 < -b`라는 관계식입니다. `a^2`은 항상 0 이상이므로, 이 부등식이 성립하려면 `-b`는 반드시 양수여야 한다는 논리적 추론을 통해 ㄴ이 참임을 밝혀낼 수 있고, ㄷ은 `f(x)`의 꼭짓점 y좌표와 `g(x)`의 y절편의 대소 관계를 이 부등식을 이용해 증명해야 합니다.
  

• 21번

  — 이 문항의 출제 의도는 주어진 조건을 만족하는 정수 순서쌍의 개수에서 규칙을 찾아 일반항 `a_n`을 정의하고, 그 수열의 합을 계산하는 통합적 문제 해결 능력을 평가하는 것입니다. 흔히 저지르는 실수는 `x>0, y>0`인 경우와 `x<0, y<0`인 경우를 나누어 개수를 세어야 하는데, 한쪽 경우만 고려하거나 두 경우의 부등식 조건(`xy ≤ 2^n` vs `xy > 2^n`)을 혼동하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 `n=1`일 때를 직접 손으로 세어보며 문제의 구조를 파악하는 것입니다. `x>0, y>0`일 때와 `x<0, y<0`일 때의 개수를 각각 구하여 더하면 `a_n`이 되는데, 전체 격자점 개수에서 한쪽 경우를 빼는 여사건의 아이디어를 활용하면 규칙을 더 쉽게 찾을 수 있습니다. `a_n`이 `n`에 대한 식으로 정리되면, `S_5`는 등차수열과 등비수열의 합 공식을 이용해 계산할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 이 문제는 집합, 함수, 나머지, 그리고 역함수의 존재 조건(일대일 대응)이라는 여러 개념을 복합적으로 이해하고 논리적 추론을 통해 답을 찾아야 하는 고난도 문항입니다. 학생들이 가장 먼저 막히는 부분은 '역함수가 존재한다'는 조건을 '함수 f가 일대일 대응이어야 한다'로 해석하지 못하는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 함수 f가 일대일 대응이 되려면, 정의역 X에 속한 서로 다른 두 원소의 함숫값(7로 나눈 나머지)이 달라야 한다는 점을 파악하는 것입니다. 따라서 집합 S의 원소(1부터 100까지의 9의 배수)들을 7로 나눈 나머지에 따라 7개의 그룹으로 분류하고, 각 그룹에서 원소를 최대 한 개씩만 선택하여 집합 X를 구성하는 경우의 수를 계산해야 합니다.
  

• 30번

  — 이 문항은 좌표평면 위에서 도형의 넓이를 등분하는 직선의 성질을 이해하고, 여러 변수가 얽힌 식의 최댓값과 최솟값을 구하는 해석기하학적 능력을 종합적으로 평가합니다. 가장 큰 함정은 세 직선 l, m, n이 모두 점 (9, 9)를 지난다는 사실을 간과하고 복잡한 계산에 빠지는 것입니다. 문제 해결의 핵심은 정사각형 넓이를 6등분한다는 조건, 즉 각 직선이 만드는 영역의 넓이가 `18*18 / 6 = 54`라는 것을 이용하는 것입니다. 직선 l의 x절편을 `a`라 두고, 이 직선이 만드는 사다리꼴의 넓이가 54임을 이용해 다른 교점의 좌표를 `a`로 표현하고, 같은 방식으로 직선 m과 n의 기울기를 `a`에 대한 식으로 나타내야 합니다. 최종적으로 두 기울기의 곱을 `a`에 대한 함수로 보고, 주어진 `a`의 범위(`6 ≤ a ≤ 10`) 내에서 이 함수의 최댓값과 최솟값을 찾아내면 됩니다.