2016년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의고사는 30번 문항에서 등급이 갈렸을 가능성이 매우 높습니다. 좌표평면 위에 삼각형을 설정하고 대칭이동을 활용해 둘레의 최솟값을 구하는 이 문제는, 단순히 공식을 아는 것을 넘어 각의 크기(45º)를 발견하고 좌표를 설정하는 기하학적 통찰력을 요구했기 때문이죠. 전반적으로 '도형의 방정식' 단원에 힘을 실어, 점과 직선, 이차함수, 원의 성질을 복합적으로 활용하는 문항들이 다수 출제되었습니다. 고1 과정의 도형 파트는 향후 수능 수학의 미적분, 기하 과목에서 복잡한 함수나 도형을 해석하는 기본기가 되므로, 각 공식의 증명 과정과 기하학적 의미를 깊이 있게 파고드는 학습이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 14번

  — 이차함수의 꼭짓점과 지나는 점을 이용해 식을 세우는 것은 기본입니다. 출제 의도는 '원점을 지나는 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하는 조건'을 알고 있는지 묻는 것입니다. 많은 학생들이 이등분선을 어떻게 구해야 할지 몰라 헤매거나, 복잡한 정적분 계산을 시도하는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 원점을 지나는 직선이 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하려면 반드시 변 AB의 '중점'을 지나야 한다는 사실을 떠올리는 것입니다.
  

• 19번

  — 빈칸 추론 형태이지만, 사실상 점과 직선 사이의 거리 공식을 세 번 정확하게 사용할 수 있는지를 묻는 계산 문제입니다. y축 대칭이동으로 직선 m의 방정식을 구하는 것이 첫 단추이며, 점 P(a, b)에서 각 직선(y=√3x, y=-√3x)까지의 거리 공식을 적용할 때 절댓값과 부호를 처리하는 과정에서 실수가 잦습니다. 이 문제의 힌트는 마지막에 PA²+PB²+PC²을 정리할 때, 점 P가 원 위의 점이라는 조건(a²+b²=r²)을 활용하여 식을 간단히 만드는 데 있습니다.
  

• 20번

  — ㄱ, ㄴ, ㄷ 진위 판정 문항으로, 직선의 방정식에 대한 깊은 이해를 요구합니다. 'ㄷ' 보기가 핵심인데, '직선 위의 모든 점 (x, y)에 대하여 부등식 y ≤ ax²이 성립한다'는 문장을 해석하는 것이 관건입니다. 이는 직선이 포물선 y=ax²의 아래쪽에 있거나 접해야 함을 의미합니다. 학생들이 흔히 특정 점 몇 개를 대입해보는 방식으로 접근하려 하지만, 이는 논리적 비약입니다. 이 문제 해결의 실마리는 직선과 포물선이 '접할 때'가 경계가 된다는 점을 인지하고, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0을 이용해 a의 최솟값을 구하는 것입니다.
  

• 21번

  — 두 이차함수와 하나의 직선이 동시에 등장하여 관계를 추상적으로 제시하는, 상당히 난도 높은 문항입니다. 출제 의도는 '두 함수의 그래프가 접한다'는 조건을 '두 식을 뺀 함수 = 완전제곱식' 형태로 변환할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 f(x), g(x), h(x)를 각각 구하려고 시도하는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 f(x)-h(x) = (x-α)² 이고 g(x)-h(x) = 4(x-β)² 라는 관계식을 설정하는 데 있습니다. 그 후 f(x)=g(x)를 풀면 t를 α에 대한 식으로 간단히 표현할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 삼각형의 '각의 이등분선'의 성질을 좌표평면에서 활용하는 문제입니다. 많은 학생들이 각의 이등분선 정리를 (AB:AC = BD:CD) 형태로만 암기하여, 원점을 지나는 상황에 적용하지 못하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 핵심은 각 ACB의 이등분선이 원점 O를 지난다는 조건으로부터 '점 C는 AO:BO = AC:BC를 만족하는 점들의 자취(아폴로니우스의 원) 위에 있다'는 사실을 추론하는 것입니다. 점 C의 자취인 원의 방정식과 직선 AB의 방정식을 구한 뒤, 원의 중심에서 직선 AB까지의 거리에 반지름을 더할 때 거리의 최댓값 m이 나옵니다.
  

• 30번

  — 대칭이동을 이용한 둘레 길이의 최솟값을 구하는 고난도 문제입니다. 이 문제의 출제 의도는 주어진 변의 길이를 보고 삼각형의 특수한 각(∠B=45°)을 발견하여 좌표평면에 쉽게 올릴 수 있는지를 먼저 테스트합니다. 그 후, 삼각형 DEF 둘레 최소화 문제의 정석 풀이법인 '한 꼭짓점을 두 변에 대해 각각 대칭이동시켜 일직선으로 만드는' 아이디어를 적용해야 합니다. 결정적 실마리는 ∠B=45°임을 이용하여 B를 원점, C를 x축 위에 두어 A(3,3)으로 좌표를 설정하는 것입니다. 그 후, 점 A를 두 변 AB, BC에 대해 대칭이동시킨 두 점 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 둘레의 최솟값이 됩니다.