2016학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

20번 생명 게임(Conway's Game of Life) 유사 문항은 많은 학생들을 당황시켰을 겁니다. 이처럼 경찰대 시험은 단순히 수능 유형만 반복해서는 안 되며, 규칙을 직접 적용하고 패턴을 추론하는 생소한 문제에 대한 적응력을 요구합니다. 전반적으로 미적분과 기하, 조합론을 결합한 12번, 18번, 25번 같은 문항들은 수능 고난도 4점 문항의 사고 과정과 매우 유사하므로, 수능 심화 학습의 좋은 자료가 될 수 있습니다. 특히 15번처럼 정적분의 정의를 직접 활용하는 문제는 평가원이 가장 선호하는 유형 중 하나이니 반드시 원리를 파악해두어야 합니다.

문항 분석

• 12번

  — 3차 함수가 극값을 갖지 않을 조건(판별식 D≤0)을 이용해 a, b의 관계식을 부등식으로 나타내는 것이 첫 단계입니다. 이 부등식이 나타내는 영역 A와, 직선 b=m(a+1)이 나타내는 집합 B의 교집합이 공집합이 아니어야 한다는(A∩B≠∅) 조건을 기하학적으로 해석해야 하죠. 즉, 점 (-1, 0)을 지나는 직선이 부등식 영역 A와 만나도록 하는 기울기 m의 범위를 찾는 문제입니다. 많은 학생들이 부등식 영역을 그려놓고도, 이 직선의 정점(-1, 0)을 활용해 접할 때의 기울기를 구하는 마지막 단계를 떠올리지 못해 헤맸을 겁니다.
  

• 15번

  — 이 문제는 정적분의 정의와 함수방정식을 융합한 고난도 문항입니다. 주어진 극한 식을 보고 ∫(6-f(x))^2 dx 형태의 정적분으로 바꾸는 것이 핵심이죠. 하지만 그 전에 f(x)가 무엇인지 알아내야 합니다. f(xy) = f(x)f(y) - x - y 라는 생소한 함수방정식에서 x=2, y=1 등을 대입하며 f(2)를 구하고, f(x)가 다항함수일 것이라 추론하여 차수를 결정하는 과정이 필요합니다. f(x)=x+1 임을 밝혀내는 것이 문제 해결의 90%를 차지하는 결정적 실마리입니다.
  

• 17번

  — 단순히 기댓값 공식을 암기한 학생들은 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제는 n번째 시행에서 게임이 끝날 확률을 정확히 구하는 것이 관건입니다. n번째에 1 또는 6이 나오려면, 그 이전 (n-1)번의 시행에서는 계속 1 또는 6이 아닌 수(2,3,4,5)가 나와야 합니다. 따라서 n회에 끝날 확률 P(X=n)은 (4/6)^(n-1) * (2/6) 이 됩니다. 받는 돈이 1000n원이므로, 기댓값 E(X) = Σ (1000n * P(X=n)) 이고, 이는 무한등비급수의 합 공식을 응용한 계산을 요구합니다. 시그마 계산에서 막히는 학생들이 많았을 것으로 보입니다.
  

• 18번

  — 삼각형 둘레의 최솟값 문제는 좌표평면 위에서의 '대칭이동'을 이용한 최단거리 문제의 대표 유형입니다. 한 꼭짓점 (a,b)를 x축에 대해 대칭이동시킨 점 P'과, 직선 y=2x에 대해 대칭이동시킨 점 P''을 구한 뒤, 두 점 P'과 P'' 사이의 거리가 바로 구하는 둘레의 최솟값이라는 사실을 떠올려야 합니다. 학생들이 가장 많이 실수하는 부분은 점 (a,b)를 직선 y=2x에 대해 대칭시킨 점의 좌표를 구하는 과정입니다. (a,b)와 대칭점의 중점이 y=2x 위에 있다는 조건과, 두 점을 잇는 직선의 기울기가 -1/2이라는 조건을 연립하여 풀어야 하는데, 계산이 복잡하여 실수가 잦습니다.
  

• 20번

  — 수능에서는 거의 볼 수 없는, 규칙 기반의 시뮬레이션 문제입니다. 각 보기 (가), (나), (다)에 대해 주어진 '생존/탄생 규칙'을 격자 하나하나에 꼼꼼하게 적용해야 합니다. 핵심은 주변 8개 칸 중 살아있는 칸의 개수를 정확히 세는 것입니다. 특히 (나)와 (다)의 경우, 한두 세대만 진행해서는 결론을 내릴 수 없습니다. (나)는 패턴이 점점 축소되다가 결국 사라지는지, (다)는 특정 모양을 유지하며 더 이상 변하지 않는 '안정된 상태'에 도달하는지를 여러 세대에 걸쳐 추적해야 합니다. 끈기와 집중력이 없으면 규칙 적용 과정에서 실수가 발생하기 매우 쉬운, 사고력과 성실함을 동시에 테스트하는 문항입니다.
  

• 25번

  — 도형과 조합이 결합된 고난도 계수 문제입니다. a_n을 구하기 위해 직접 n=2, n=3일 때 삼각형 개수를 세보며 규칙을 찾으려 하면 실패할 확률이 높습니다. 이 문제는 '전체 경우의 수에서 조건을 만족하지 않는 경우의 수를 빼는' 여사건의 원리를 이용하는 것이 가장 효율적입니다. 즉, (전체 n+1개의 점 중 3개를 선택하는 경우의 수)에서 (일직선 위에 있는 3개의 점을 선택하는 경우의 수)를 빼는 방식으로 접근해야 합니다. AB 변 위, AC 변 위, 그리고 꼭짓점 C와 AB 위의 점들을 잇는 선분들, 꼭짓점 B와 AC 위의 점들을 잇는 선분들 위에 놓인 점들이 언제 일직선을 이루는지 체계적으로 파악하고 빼주는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.