2012학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

16번 상용로그 문제에서 최고 자리 숫자를 묻는 순간, 이 시험이 단순 계산을 넘어 수학적 사고의 깊이를 측정하려 한다는 의도가 명확히 드러납니다. 전반적으로 수능의 정형화된 유형을 살짝 비틀거나, 22번 팩토리얼 문제처럼 아예 발상 자체를 새롭게 해야 하는 문항들을 배치하여 상위권 변별력을 확보하고 있어요. 경찰대학 시험의 특징인 정수론, 조합론적 아이디어를 요구하는 문제들이 곳곳에 포진해 있어, 수능 수학만 공부한 학생들에게는 사고의 유연성을 테스트하는 좋은 경험이 될 것입니다. 특히 25번처럼 점화식의 극한값이 정수가 될 조건을 약수의 개수와 연결하는 문제는, 개념 간의 유기적인 연결고리를 파악하는 훈련이 얼마나 중요한지 보여주는 대표적인 사례라 할 수 있습니다.

문항 분석

• 14번

  — 주어진 점화식은 `a_{n+1} + 3a_n = n(-1)^n` 꼴로, 일반항을 직접 구하기는 매우 까다롭습니다. 이 문제의 출제 의도는 일반항을 구하는 계산 능력이 아니라, `a_1 = a_{2012} + 2`라는 특이한 조건을 활용해 합의 규칙성을 찾는 데 있습니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 점화식을 풀려고만 매달리다가 시간을 낭비하는 것입니다. 결정적 실마리는 항을 몇 개 나열하여 `a_n`과 `a_{n+2}` 사이의 관계를 찾거나, `Σ(a_{n+1} + 3a_n)`의 값을 두 가지 방식으로 표현하여 전체 합에 대한 단서를 얻는 것입니다. 주어진 조건은 시작과 끝을 연결하는 고리 역할을 합니다.
  

• 16번

  — 두 수의 '최고 자리 숫자'가 같다는 조건을 수학적으로 어떻게 표현할지가 이 문제의 전부입니다. 핵심 개념은 상용로그의 소수 부분(가수)이 수의 배열을 결정한다는 사실입니다. 많은 학생들이 `log(2^n)`과 `log(5^n)`의 소수 부분이 같다고 오해하지만, 정확히는 두 값의 소수 부분이 `log(a)`와 `log(a+1)` 사이라는 동일한 범위에 속해야 합니다. 문제 해결의 첫 단추는 `log(2^n) = n log2`와 `log(5^n) = n(1-log2)`를 각각 정수 부분과 소수 부분으로 분리하고, 두 소수 부분에 대한 부등식을 세워 동시에 만족하는 자연수 `n`과 `a`의 존재 가능성을 탐색하는 것입니다.
  

• 17번

  — 이 문제는 두 부등식의 영역의 교집합 넓이를 구하는 문제로, 출제 의도는 복잡해 보이는 식의 기하학적 관계를 파악하는 능력에 있습니다. 영역 B의 경계인 `y = -4x^2 - 2px + 9`는 영역 A의 경계 `y = 4x^2 + 2px - 9`를 원점에 대해 대칭이동한 곡선이 아닙니다. `y <= -f(-x)` 꼴이죠. 여기서 학생들이 `p` 때문에 교점 계산이 복잡할 것이라 지레 겁먹고 포기하는 경우가 많습니다. 하지만 두 경계 `y = 4x^2 + 2px - 9`와 `y = -(-4(-x)^2 + 2p(-x) + 9)`의 교점의 x좌표를 구해보면 `p`가 소거되면서 매우 간단한 값이 나옵니다. 이 사실을 발견하는 것이 문제 해결의 결정적 열쇠이며, 그 후에는 정적분 계산만 남게 됩니다.
  

• 20번

  — 이차방정식의 근의 위치(근의 분리)와 정수 조건을 결합한 고난도 문항입니다. 출제 의도는 여러 제한 조건을 종합하여 미지수의 범위를 좁히고, 그 범위 내에서 최솟값을 찾는 논리적 추론 능력을 평가하는 것입니다. 학생들은 `x^2 - (10+a)x - (5+b) = 0`이 두 '양의' 실근을 갖는다는 조건(판별식, 두 근의 합, 두 근의 곱)을 `a, b`에 대한 부등식으로 정리해야 합니다. 가장 큰 함정은 정수 `a`의 최솟값 `p`를 구한 뒤, `α²+β²`을 `a, b`로 표현한 식에서 `a=p`를 대입하고 `b`의 범위에 따른 최솟값을 찾아야 하는데, 이 과정을 누락하고 `a`가 실수인 것처럼 접근하는 것입니다. 정수 조건이 문제의 난이도를 결정하는 핵심 요소입니다.
  

• 22번

  — 전형적인 풀이법이 존재하지 않는, 순수하게 수학적 추론과 논리력으로 해결해야 하는 정수론 문제입니다. 출제 의도는 팩토리얼 값의 증가율과 자릿수의 증가율을 비교하여 가능한 수의 범위를 극적으로 좁혀나가는 능력을 보는 것입니다. 대부분의 학생들은 숫자를 일일이 대입해보려다 막막함을 느끼게 됩니다. 이 문제의 실마리는 '자릿수'를 기준으로 범위를 설정하는 것입니다. `k`자리 자연수 `N`은 `10^(k-1)` 이상인데, 각 자릿수의 팩토리얼 합의 최댓값은 `k × 9!`를 넘을 수 없습니다. `10^(k-1) ≤ N ≤ k × 9!`라는 부등식을 세워보면, `k`가 8 이상이 되면 부등식이 성립하지 않음을 발견할 수 있습니다. 이 발견을 통해 탐색해야 할 범위가 대폭 줄어들고, 문제 해결의 길이 보이게 됩니다.
  

• 25번

  — 수열의 극한과 정수론적 아이디어가 결합된 최고난도 킬러 문항입니다. 출제 의도는 3항 점화식의 일반항과 극한값을 구하고, 그 극한값이 정수가 되게 하는 미지수 `t`의 개수를 통해 역으로 초기 조건을 추론하는 복합적인 사고 능력을 측정하는 것입니다. 학생들은 `x_{n+2} = (1-t)x_{n+1} + tx_n` 형태의 점화식을 보고 일반항을 구하려다 좌절하기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 특성방정식 `r^2 - (1-t)r - t = 0`의 두 근이 `1`과 `-t`라는 것을 파악하는 것입니다. 이를 통해 일반항 `x_n`을 구하고, `0<t<1` 조건 하에 극한값 `lim x_n`을 `a`와 `t`에 대한 식으로 표현할 수 있습니다. 그 극한값이 정수가 되게 하는 `t`의 개수가 11개라는 것은, 그 식이 `(정수)/(a와 관련된 식)` 꼴일 때 분모의 약수의 개수가 11개라는 의미로 해석해야 합니다.