2015학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 2015년 경찰대 시험은 19번 문항처럼 기하학적 상황을 시간(t)에 대한 함수로 표현하고 그 함수의 극값을 분석하는, 소위 '움직이는 기하' 문제에서 많은 학생들의 발목을 잡았을 겁니다. 전반적으로 단순 개념 확인보다는 깊이 있는 이해와 상당한 계산량을 요구하는 문항들이 많아 시간 관리가 관건이었죠. 특히 18번의 이계도함수까지 고려해야 하는 미분가능성 조건이나 25번의 공통접선 문제는, 평가원 수능 킬러 문항에서 요구하는 다단계 추론 능력과 매우 유사한 사고 과정을 요구하므로 수능 고난도 문항 대비용으로도 훌륭한 자료가 됩니다.

문항 분석

• 13번

  — 이 문제는 '어느 두 수도 3 이상 차이가 난다'는 조건을 어떻게 수학적 모델로 바꾸느냐가 관건입니다. 단순히 15개 숫자 중 4개를 뽑는 조합(15C4)으로 접근하면 당연히 틀리게 되죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 조건을 만족하는 숫자들을 일일이 세려고 하다가 중복이나 누락으로 실수를 하는 것입니다. 결정적 실마리는 뽑힌 4개의 수를 a < b < c < d 라고 할 때, b-a ≥ 3, c-b ≥ 3, d-c ≥ 3 이라는 부등식 조건을 활용하여 이를 중복조합 문제로 변환하는 아이디어에 있습니다. 즉, 숫자 사이의 '간격'을 새로운 변수로 설정하여 푸는 것이 가장 효율적입니다.
  

• 14번

  — 합성함수의 극한, 특히 f(f(...f(x)...)) 형태의 수열의 극한을 다루는 문제입니다. 출제 의도는 고정점(fixed point) 개념의 이해도를 묻는 것이죠. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 ㄴ에서 lim f_n(x)가 수렴한다면 그 극한값 L은 f(L)=L을 만족한다는 사실만으로 성급하게 수렴한다고 단정하는 것입니다. 수렴 여부는 초기값 x와 고정점 주변에서 함수의 기울기를 함께 따져봐야 합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 y=f(x)와 y=x의 그래프를 그려서 수열 f_n(x)의 값이 고정점인 2를 향해 어떻게 움직이는지 시각적으로 추적해보는 것입니다. 이를 통해 x ≥ 3/2 라는 조건이 왜 주어졌는지 파악할 수 있습니다.
  

• 18번

  — 미분가능성 문제의 '끝판왕' 격으로, 함수 f(x)뿐만 아니라 그 도함수인 g(x)=f'(x)마저 x=1에서 미분가능해야 한다는 조건이 핵심입니다. 대부분의 학생들은 f(x)가 x=1에서 연속이고 미분계수가 같다는 조건만 사용하고 넘어가는데, 이는 출제자가 파놓은 명백한 함정입니다. g(x)가 미분가능하려면 g(x)가 연속이고(즉, f'(x)가 연속), g'(x)의 좌우 극한이 같아야(즉, f''(x)가 연속) 합니다. 따라서 이 문제는 x=1에서 f의 연속성, f'의 연속성, f''의 연속성까지 총 3단계의 조건을 모두 확인해야만 풀리는, 매우 깊이 있는 이해를 요구하는 문항입니다.
  

• 19번

  — 움직이는 두 점 P, Q로 인해 시시각각 변하는 삼각형의 넓이를 t에 대한 함수 f(t)로 표현하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 가장 큰 함정은 점 P와 Q의 위치가 선분 BC, CD, DA 위를 옮겨 다님에 따라 좌표를 나타내는 식이 바뀐다는 점입니다. 이 때문에 넓이 함수 f(t)는 구간에 따라 다르게 정의되는 '조각 함수(piecewise function)'가 되죠. 각 구간별로 P와 Q의 좌표를 t에 대해 정확히 설정하고, 신발끈 공식 등을 이용해 f(t)를 구한 뒤, 각 구간의 경계점에서 미분가능성을 따지고 증감을 분석해야만 극대, 극소를 정확히 찾을 수 있습니다. 시간 분배 실패를 유도하는 전형적인 킬러 문항입니다.
  

• 20번

  — 정삼각형 내부의 한 점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 주어졌을 때 변의 길이를 구하는, 고전적이면서도 까다로운 기하 문제입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 길이 4, 2, 2√3을 한 삼각형의 세 변으로 모으는 보조선을 긋는 것입니다. 가장 효율적인 방법은 삼각형 APB를 점 B를 중심으로 60도 회전시켜 새로운 점 P'을 만드는 것입니다. 이렇게 하면 삼각형 PBP'은 정삼각형이 되고, 삼각형 CP'P의 세 변의 길이를 모두 알 수 있게 되어 코사인 법칙을 적용할 수 있는 결정적인 구조가 만들어집니다. 좌표평면을 도입하여 해결할 수도 있지만, 계산이 매우 복잡해지므로 도형의 회전 변환을 떠올리는 것이 실마리입니다.
  

• 25번

  — 하나의 직선이 삼차함수 그래프와 서로 다른 두 점에서 동시에 접하는, 소위 '공통접선' 문제입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 한 점에서의 접선이 다른 점을 지난다고만 생각하는 것인데, '접한다'는 것은 그 점에서의 미분계수까지 같아야 함을 의미합니다. 문제 해결의 결정적 아이디어는 두 접점의 x좌표를 α, β라 둘 때, (1) 두 점을 잇는 직선의 기울기와 각 점에서의 미분계수가 모두 같다, 즉 (f(β)-f(α))/(β-α) = f'(α) = f'(β) 라는 연립 방정식을 세우는 것입니다. 특히 f'(α) = f'(β) 라는 조건에서 α와 β 사이의 관계식을 먼저 구하면 문제가 쉽게 풀리기 시작합니다. 이후 넓이는 정적분 공식을 활용하여 계산하면 됩니다.