2014학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 2014년 경찰대 시험은 25번 문항에서 이항정리를 미분하여 특정 기댓값을 구하는, 사실상 대학 과정의 통계학 개념을 묻는 문제가 출제되어 최상위권 변별력을 확실히 했습니다. 전반적으로 미적분과 확률통계에서 고난도 문항이 집중되었고, 17번의 합성곱(convolution) 형태의 급수나 19번처럼 로그와 확률을 엮은 신유형은 학생들의 깊이 있는 개념 응용력을 시험하는 낯선 문제였을 겁니다. 단순히 수능 기출 유형만 반복하는 학습을 넘어, 각 개념이 어떻게 유도되고 다른 단원과 융합될 수 있는지 깊이 있게 파고드는 학습이 경찰대와 같은 상위권 대학 입시의 성패를 가를 것입니다.

문항 분석

• 17번

  — 두 수열의 일반항이 등비수열 형태인 점에 착안하여, 각 수열을 계수로 갖는 두 무한등비급수의 곱을 생각하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 많은 학생들이 이중합(double summation) 기호에 압도되어 내부 합부터 직접 계산하려다 수렁에 빠지기 쉽습니다. 이 문제는 두 급수의 곱의 n번째 항의 계수가 바로 주어진 식의 내부 합과 같다는 '합성곱(convolution)'의 원리를 이해하고 있는지를 묻는, 교육과정을 넘어서는 수준의 문제입니다.
  

• 18번

  — 주어진 식을 대수적으로 풀려고 y=2x-2를 대입하여 미분하는 순간, 계산 지옥에 빠지게 됩니다. 이 문제의 핵심은 주어진 식이 직선 2x-y=2 위의 한 점 (x,y)에서 두 정점 (0, -1)과 (0, 3)까지의 거리의 합임을 기하학적으로 해석하는 것입니다. 두 정점 중 하나를 직선에 대해 대칭이동시킨 후, 새로운 점과 나머지 정점 사이의 직선 거리를 구하는 것이 최솟값이라는 원리를 떠올려야 합니다. 대칭점의 좌표를 구하는 공식만 안다면 계산은 매우 간단해집니다.
  

• 19번

  — S(p)라는 낯선 함수 정의에 당황하지 않고, 주어진 관계식을 통해 그 성질을 추론하는 것이 관건입니다. 특히 S(p) = log₂(C/p) 라는 식에서 로그의 성질 log(AB) = logA + logB를 활용하면, 독립사건 A, B에 대해 S(P(A)P(B)) = S(P(A)) + S(P(B)) 라는 중요한 관계를 유도할 수 있습니다. 많은 학생들이 이 관계를 떠올리지 못하고, 단순히 주어진 값들을 대입하여 연립방정식을 풀려고 시도하다가 길을 잃기 쉽습니다. S(1/2)=1 조건을 이용해 상수 C를 먼저 구하고, 독립사건의 확률 곱셈정리를 로그의 성질과 연결하는 것이 핵심입니다.
  

• 20번

  — 세 집합의 포함-배제의 원리 공식을 단순히 암기해서 적용하면 함정에 빠지기 쉬운 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '최솟값'을 구하라는 조건에 있습니다. 세 과목을 모두 합격한 학생 수(|K∩E∩M|)가 최소가 되려면, 세 과목의 합집합(|K∪E∪M|)의 원소 개수가 최대가 되어야 합니다. 즉, 어느 과목도 합격하지 못한 학생이 0명일 때를 가정해야 합니다. 전체 학생 수가 110명이라는 상한선이 존재하므로, |K∪E∪M| ≤ 110 이라는 부등식을 세우고 포함-배제의 원리 공식에 대입하여 |K∩E∩M|의 최솟값을 구해야 합니다.
  

• 24번

  — 3^x = t 로 치환하여 이차방정식을 만드는 것까지는 대부분의 학생들이 접근합니다. 하지만 결정적인 함정은 '서로 다른 두 양의 실근'이라는 x의 조건을 t의 조건으로 정확히 변환하지 못하는 데 있습니다. x > 0 이면 t = 3^x > 3^0 = 1 이므로, 문제는 't에 대한 이차방정식이 1보다 큰 서로 다른 두 실근을 가질 조건'으로 바뀌게 됩니다. 판별식 > 0, (두 근의 합) > 2, (두 근의 곱) > 1 이라는 근의 분리 조건을 체계적으로 적용해야만 정답에 도달할 수 있습니다.
  

• 25번

  — 이 문제는 고교 과정에서 배운 단순한 조합 계산이 아니라, 이항분포의 '적률(moment)'과 관련된 심화 개념을 묻고 있습니다. 정석적인 풀이는 이항정리 (p+q)^n = Σ nCk p^k q^(n-k) 가 아니라, 변수 x를 포함한 항등식 (1+x)^n = Σ nCk x^k 에서 출발하는 것입니다. 이 식의 양변을 x에 대해 세 번 미분한 후, x = p/(1-p)를 대입하고 식을 정리하면 문제에서 요구하는 합의 형태를 만들 수 있습니다. 미분 과정에서 k, k-1, k-2 인수가 차례로 앞으로 나오는 것을 관찰하는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.