2013학년도 경찰대학교 입시 수학 기출문제, 정답 및 해설

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

20번 가우스 함수 방정식은 많은 수험생의 발목을 잡았을 것이고, 14번 적분방정식은 주어진 조건들 사이에 모순이 있어 최상위권 학생들마저 혼란에 빠뜨렸을 문제입니다. 전반적으로 단순 개념 확인보다는 문제 해결을 위한 아이디어나 깊이 있는 대수적 조작 능력을 요구하는 문항들이 다수 포진해 있습니다. 특히 16번, 19번, 25번처럼 표준적인 풀이에서 벗어난 접근을 요구하는 문제들은 수능 준킬러 및 킬러 문항을 대비하는 데 좋은 훈련이 될 것입니다.

문항 분석

• 14번

  — 이 문항은 정적분으로 정의된 함수를 다루는 전형적인 유형처럼 보이지만, 결정적인 함정이 있습니다. 주어진 식에 x=1을 대입하여 얻는 a값과, 양변을 미분한 후 x=1을 대입하여 얻는 a값이 서로 다르게 나옵니다. 이는 문제 자체의 조건 설정 오류로, 수험생 입장에서는 풀이 과정에서 심각한 혼란을 겪을 수밖에 없는 킬러 문항입니다. 출제 의도는 미분을 통해 f(x)의 형태를 찾고 초기 조건으로 미정계수를 결정하는 능력을 평가하려는 것이었겠으나, 조건의 불일치로 인해 정상적인 풀이가 불가능합니다.
  

• 16번

  — 시그마 안의 시그마 형태를 띠는 복잡한 수열의 합 문제입니다. k값에 따라 안쪽 합의 항이 변하기 때문에 직접 계산하려는 시도는 실패하기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 합의 순서를 바꾸는 것입니다. 즉, k를 기준으로 더하는 것이 아니라, 각 분수 항(1/j)이 총 몇 번 더해지는지를 파악하여 1/j의 계수를 찾는 방식으로 접근해야 합니다. 이 관점의 전환이 이루어지면 복잡했던 식이 간단한 다항식의 합으로 바뀌는 것을 발견할 수 있습니다.
  

• 17번

  — 다변수 함수의 최솟값을 구하는 문제로, 많은 학생들이 산술-기하 평균을 떠올리기 쉽습니다. 하지만 식을 (x-1)²과 (x²+y²+1) + 4/(x²+y²+1)의 합으로 분리하여 접근하면, 각 부분이 최소가 되는 (x,y) 조건이 동시에 만족되지 않아 잘못된 답으로 이어질 수 있습니다. 이 문제의 핵심은 편미분을 이용하여 극값을 찾는 것입니다. ∂F/∂y = 0 조건에서 y=0 또는 x²+y²+1=2라는 두 가지 경우를 얻고, 이를 ∂F/∂x = 0에 대입하면 임계점을 정확히 찾을 수 있습니다.
  

• 19번

  — 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건을 묻는 문제입니다. 판별식이나 극값의 곱(f(α)f(β)<0)을 이용한 풀이는 계산이 매우 복잡합니다. 이 문제의 해결을 위한 결정적 아이디어는 방정식을 x³-x²-3 = ax 꼴로 변형하여, 삼차함수 y=x³-x²-3의 그래프와 원점을 지나는 직선 y=ax의 교점이 3개가 될 조건을 찾는 것입니다. 이는 결국 원점에서 삼차함수에 그은 접선의 기울기를 경계로 문제 상황이 바뀐다는 기하학적 해석으로 이어집니다.
  

• 20번

  — 가우스 기호([x])가 포함된 방정식으로, 최고난도 문항 중 하나입니다. 핵심은 [x]=n (정수)로 치환하고 x=n+f (0≤f<1)로 분리하여 접근하는 것입니다. 식을 정리하면 nf에 대한 관계식이 나오는데, 여기서 결정적인 실마리는 'nf가 정수여야 한다'는 사실을 간파하는 것입니다. nf=j (0≤j≤n-1, 정수)로 놓으면 f=j/n이 되고, 원래 방정식은 n과 j에 대한 간단한 정수 방정식으로 바뀌어 해결의 실마리를 찾을 수 있습니다.
  

• 25번

  — 제한된 삼각형 영역 내에서 정의된 대칭성을 띤 다변수 함수의 성질을 파악하는 문제입니다. <보기>의 ㄱ, ㄴ은 주어진 함수 A가 경계(특히 a+b=3)에서 최댓값을 가질 가능성을 암시합니다. 실제로 a의 값을 고정하고 b에 대한 함수로 분석하거나, a+b+c=3 (a,b,c≥0) 조건 하에서 a²b+b²c+c²a의 최댓값이 4라는 유명한 부등식(a=2, b=1, c=0 및 그 순열일 때 성립)을 알고 있다면 ㄷ을 매우 빠르게 해결할 수 있습니다. 이처럼 경계에서의 함수 값과 알려진 부등식을 활용하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.