2016년 04월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 4월 학평 가형은 21번과 30번에서 그래프를 얼마나 집요하게 분석하고 해석하는 능력이 있는지를 여실히 보여준 시험입니다. 단순히 공식만 암기한 학생들은 21번의 타원과 직선의 교점 개수 변화, 30번의 부등식 영역 내 정사각형의 움직임에서 길을 잃었을 가능성이 높습니다. 전반적으로 계산량은 많지 않았지만, 28번처럼 조합론에 정수론적 아이디어를 결합하거나 29번처럼 복잡한 도형에서 극한을 설정하는 등 개념의 깊이를 요구하는 문항들이 상위권을 변별했을 것으로 보입니다. 이러한 기하학적 직관과 함수 해석 능력은 수능 고난도 문항의 핵심 역량이므로, 이번 시험을 통해 자신의 약점을 명확히 파악하고 보완하는 계기로 삼아야 합니다.

문항 분석

• 19번

  — 복잡한 조건의 집합 문제는 벤다이어그램을 활용하는 것이 가장 직관적이고 실수를 줄이는 길입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 A-B={5}, B-C={2}, C-A={4,6} 등의 조건을 보고 각 원소가 어느 영역에 '유일하게' 속하는지 확정하는 단계에서 혼란을 겪는 것입니다. 힌트는 이처럼 차집합으로 명확하게 주어진 원소들을 벤다이어그램의 해당 영역에 먼저 배치하고, 그 다음 B⊂A, A∪C 같은 전체적인 포함 관계를 이용해 나머지 원소들의 위치를 추론해 나가는 것입니다.
  

• 20번

  — 프랙탈 도형의 등비급수 문제는 첫째항(S₁)과 공비(r)만 정확히 구하면 끝나는, 풀이법이 정형화된 유형입니다. 하지만 많은 학생들이 공비를 구할 때 길이의 비와 넓이의 비를 혼동하여 오답을 냅니다. 이 문제의 핵심은 첫 번째 정사각형과 두 번째 정사각형의 '닮음비'를 찾는 것입니다. 점 A₁, B₁을 3:1로 내분하는 점을 이용해 두 번째 정사각형의 한 변의 길이를 구하고, 이를 첫 번째 정사각형의 변의 길이(4)와 비교하여 닮음비를 구한 뒤, 반드시 '제곱'하여 넓이의 비인 공비를 찾아야 합니다.
  

• 21번

  — 이 문제는 '두 원소의 차가 2n보다 크다'는 생소한 조건을 식으로 표현하는 능력이 관건입니다. 집합 S_n의 원소 중 두 개(x, y, 단 x < y)를 뽑을 때, y - x > 2n, 즉 y > x + 2n을 만족하는 순서쌍의 개수 a_n을 구해야 합니다. 학생들은 보통 이 부등식을 어떻게 처리해야 할지 몰라 시작부터 막힙니다. 결정적 실마리는 x에 1, 2, 3, ...을 차례로 대입하며 가능한 y의 개수를 세어 규칙을 찾는 것입니다. 예를 들어 x=1일 때 y는 2n+2부터 3n까지 가능하므로 (3n) - (2n+2) + 1 = n-1개입니다. 이 과정을 반복하면 a_n이 n에 대한 이차식의 합으로 표현됨을 알 수 있습니다.
  

• 미적분 27번

  — 주기함수의 정적분 문제로, 주어진 단서를 조합해 한 주기 내의 함수를 완성하는 추론 능력을 평가합니다. 핵심 출제 의도는 (가)의 주기성과 (나), (다)의 단서를 이용해 구간 [1, 2]에서 f(x)의 정적분 값을 알아내는 것입니다. 학생들은 보통 [1, 2] 구간의 함수식을 직접 구하려고 하다가 막히는 경우가 많습니다. 하지만 이 문제의 힌트는 f(x)가 연속함수라는 점과 주기성을 이용하는 것입니다. f(1) = sin(1)+1 이고, f(2)=f(0)=sin(0)+1=1 이라는 사실, 그리고 [1, 2]에서 f'(x)≥0 (증가) 한다는 조건을 이용하면 f(x) 그래프의 개형을 추론할 수 있고, 이를 통해 적분 값을 직접 구하지 않고도 넓이의 부등식 관계를 이용해 p와 q를 결정할 수 있습니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 중복조합 문제에 '3으로 나눈 나머지'라는 정수론적 필터를 씌운, 매우 세련된 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건을 만족하는 변수들의 구조를 먼저 파악하고, 그 구조에 맞게 중복조합을 적용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 가장 큰 함정은 4개의 변수 x, y, z, w 중 어떤 2개가 나머지가 1이고, 어떤 2개가 나머지가 2가 될지를 결정하는 경우의 수(₄C₂)를 빠뜨리는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 이 ₄C₂=6가지의 케이스 분류를 먼저 하는 것입니다. 그 후, 각 변수를 x=3x'+1, y=3y'+2 같은 형태로 치환하여 x', y', z', w'에 대한 새로운 방정식을 만들고, 음이 아닌 정수해의 개수를 구하는 중복조합 공식을 적용하면 됩니다.
  

• 미적분 29번

  — 복잡한 도형에서 두 원의 넓이를 삼각함수로 표현하고 극한값을 구하는, 소위 '도형 극한'의 끝판왕 격인 문제입니다. 이 문제의 핵심은 S(θ)와 T(θ)의 반지름을 θ에 대한 식으로 얼마나 효율적으로 표현하느냐에 있습니다. 특히 선분 PB와 호 PB에 동시에 접하는 원 S(θ)의 반지름을 구하는 과정이 가장 큰 고비입니다. 학생들은 보통 복잡한 도형에 압도되어 좌표를 도입할지, 순수 기하로 풀지 고민하다 시간을 허비합니다. 결정적 실마리는 T(θ)는 삼각형 ABQ의 넓이와 둘레를 이용해 반지름을 구하고, S(θ)는 원의 중심에서 각 접점까지의 거리가 반지름으로 같다는 성질을 이용해 기하학적 관계식을 세우는 것입니다. 모든 길이를 sinθ, cosθ로 표현한 뒤 θ→0+ 극한을 취하면 문제가 풀립니다.
  

• 미적분 30번

  — 부등식으로 주어진 영역과 그 안에서 움직이는 정사각형의 위치를 해석하여 새로운 함수 f(t)를 정의하고, 그 함수의 미분계수를 구하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 조건에 맞는 상황을 시각화하고, 변수 t의 변화에 따라 최솟값이 어떻게 결정되는지를 함수 관계로 파악하는 능력입니다. 학생들이 겪는 가장 큰 어려움은 f(t)의 의미, 즉 '정사각형 두 대각선 교점의 y좌표의 최솟값'을 직관적으로 이해하는 것입니다. 문제 해결의 결정적 힌트는 정사각형이 영역 D에 포함되려면, 정사각형의 밑변이 y=|e^x-2| 그래프의 아래쪽 V자 모양 부분과 접하거나 두 점에서 만나는 상황을 고려해야 한다는 점입니다. t값(정사각형의 한 변 길이)에 따라 정사각형의 위치가 어떻게 제약되는지를 분석하여 f(t)에 대한 식을 구하고, 이를 미분하여 ln2와 ln5를 대입하면 됩니다.
  

• 단답형 28번

  — 여러 변수에 대한 정수해 문제는 '분류'가 핵심입니다. 조건 (나)에서 x, y, z, w 중 2개는 3으로 나눈 나머지가 1, 2개는 2라고 했으므로, 가장 먼저 해야 할 일은 18 이하의 자연수를 나머지에 따라 세 그룹 {3k-2}, {3k-1}, {3k}로 나누는 것입니다. 그 다음, 네 변수 x, y, z, w 중 어느 두 변수가 '나머지 1' 그룹에 속할지 고르는 경우의 수(₄C₂)를 계산해야 합니다. 이 분류 작업만 성공적으로 마치면, 각 변수를 3k-2 또는 3k-1 형태로 치환하여 합이 18이 되는 새로운 부정방정식을 푸는 문제로 바뀌게 되어 해결의 실마리를 잡을 수 있습니다.
  

• 단답형 29번

  — 격자점 개수를 세는 문제는 좌표를 정확히 구하는 것이 풀이의 90%를 차지합니다. 특히 이 문제는 직선이 원에 접하는 조건, 그리고 여러 점들의 관계가 n으로 표현되어 계산 실수를 유발하기 쉽습니다. 가장 큰 함정은 점 C_n의 좌표를 구하는 과정입니다. 점 A_n을 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식을 세워 y절편을 찾아야 하는데, A_n의 좌표부터 정확히 구해야 합니다. 힌트는 원 x²+y²=n²/2와 직선 y=x+k가 접할 때, 원의 중심(0,0)에서 직선까지의 거리가 반지름(n/√2)과 같다는 점을 이용해 y절편을 찾는 것입니다. 세 꼭짓점 A_n, B_n, C_n의 좌표를 n에 대한 식으로 모두 구했다면, x좌표를 기준으로 범위를 나누어 각 x값에 해당하는 정수 y의 개수를 세어 더하는 방식으로 접근해야 합니다.
  

• 단답형 30번

  — 함수의 연속성, 특히 '곱의 연속성'에 대한 깊은 이해를 묻는 킬러 문항입니다. 조건 (나)에서 f(x)g(x)가 x=a에서 연속이라는 사실이 핵심입니다. g(x)는 x=a에서 불연속일 가능성이 있으므로, (불연속 함수) × (함수)가 연속이 될 조건은 바로 그 지점에서 곱해지는 함수 f(x)의 함숫값이 0, 즉 f(a)=0이어야 한다는 것입니다. 이 실마리를 잡지 못하면 문제를 풀 수 없습니다. 따라서 f(a) = a²-8a+a = 0 이라는 식을 얻게 되고, 이를 조건 (가) 'f(x)=0이 (0, 2)에서 실근을 갖는다'와 결합하여 가능한 a값의 범위를 좁혀나가야 합니다. 이차함수 f(x)의 그래프를 그려 축의 위치와 경계에서의 함숫값 부호를 따지는 '근의 분리' 개념을 적용해야 최종 답을 구할 수 있습니다.