2016년 03월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학평 가형은 30번 문항에서 학생들의 멘탈이 많이 흔들렸을 겁니다. 함수의 극대점에서 새롭게 정의된 함수 g(t)의 불연속성이 발생한다는 사실을 직관적으로 파악하지 못했다면 상당한 시간을 소요했을 문제였죠. 전반적으로 지수로그, 삼각함수의 미분과 적분 계산을 정확하고 신속하게 해내는 기본기를 점검하면서도, 21번과 30번처럼 그래프의 특징을 해석하고 응용하는 능력을 요구하는 문항들이 변별력을 확보했습니다. 이러한 유형은 수능에서도 최상위권 등급을 결정하는 핵심적인 역할을 하므로, 단순히 문제 풀이 기술을 익히는 것을 넘어 함수의 그래프를 깊이 있게 탐구하는 학습이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 15번

  — 시트지를 창문에 붙이는 이 문제는 전형적인 경우의 수 문제처럼 보이지만, '어떻게 분류할 것인가'에서 첫 단추를 잘못 꿰면 헤어나올 수 없는 함정 문항입니다. 핵심은 '기준'을 잡는 것인데, 색이 같은 정사각형 시트지 2장을 먼저 네 개의 창문 중 어디에 붙일지 결정하는 것(₄C₂)이 가장 효율적인 시작점입니다. 많은 학생들이 직각이등변삼각형 시트지 4장이 모두 색이 다르다는 점에 현혹되어 처음부터 복잡한 순열을 고려하다가 중복 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 정사각형 시트지로 기준을 잡고 나면, 남은 두 창문에 4개의 다른 삼각형 시트지를 배치하는 경우의 수를 세는 문제로 단순화되니, 항상 기준 설정을 먼저 고민하는 습관을 들이세요.
  

• 16번

  — x의 거듭제곱을 포함한 함수의 극한으로 f(x)가 정의될 때, |x|의 범위를 1 기준으로 나누는 것은 이제 국민 공식이죠. 하지만 이 문제의 진짜 의도는 그렇게 구한 조각난 함수 f(x)를 가지고 g(x)라는 정적분 함수를 다시 해석하는 데 있습니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 g(-2)와 g(2)를 계산할 때, 적분 구간 내에 f(x)의 정의가 바뀌는 지점(x=-1, 1)이 포함된다는 사실을 간과하는 것입니다. 따라서 g(-2) + g(2)를 계산하기 위해 ∫f(t)dt를 계산할 때, -2부터 2까지의 구간을 |t|<1과 |t|>1인 부분으로 반드시 나누어 계산해야 정답에 도달할 수 있습니다.
  

• 18번

  — 이 문항은 전형적인 프랙탈 도형에서의 등비급수 문제입니다. 출제 의도는 닮음을 이용하여 첫째항(l₁)과 공비(r)를 정확히 찾아낼 수 있는지를 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 공비를 구할 때, 길이의 비가 아닌 넓이의 비를 착각해서 구하는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 큰 정사각형의 한 변의 길이(4)와 그 안에 내접하는 두 원, 그리고 작은 정사각형 R₁의 관계를 좌표평면이나 닮음비를 통해 식으로 표현하는 것입니다. R₁의 한 변의 길이를 l₁이라 두고, 원의 중심과 접점을 이용해 l₁에 대한 방정식을 세우는 것이 첫 단추입니다.
  

• 19번

  — 합성함수 방정식 (f∘f)(x) = -3의 실근을 묻는, 고난도 문항의 단골 소재입니다. 이 문제를 (f(x))를 직접 대입하여 4차 방정식으로 풀려고 시도하는 순간, 복잡한 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 출제 의도는 치환을 통해 문제를 단계적으로 해결하는 능력을 보는 것입니다. 가장 결정적인 아이디어는 f(x) = t로 치환하는 것입니다. 먼저 f(t) = -3을 만족하는 t의 값을 구하고, 그 다음 각 t값에 대해 f(x) = t를 만족하는 x의 개수를 이차함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=t의 교점 개수로 파악해야 합니다. 조건 (나)를 통해 이차함수 f(x)의 식을 정확히 결정하는 것이 우선입니다.
  

• 21번

  — 집합의 조건이 '공집합'이 되도록 하는 자연수 a를 수열로 정의한, 매우 생소한 유형의 문제입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 '공집합이 된다'는 조건의 의미를 반대로 해석하거나, 부등식 x²-1 < a < x²+2x에서 변수가 x인지 a인지 헷갈리는 것입니다. 문제 해결의 핵심은 자연수 x=1, 2, 3, ...을 차례로 대입하며 a가 존재할 수 있는 구간들을 나열해 보는 것입니다. 예를 들어 x=1일 때 (0, 3), x=2일 때 (3, 8), x=3일 때 (8, 15) ... 이 구간들에 포함되지 '않는' 자연수 a가 바로 a₁, a₂, a₃, ...가 됩니다. 이 수열의 규칙성을 파악하는 것이 관건입니다.
  

• 미적분 29번

  — 함수의 개수를 세는 문제는 조건을 꼼꼼히 해석하는 능력이 관건입니다. (가) 조건 |f(x)+f(-x)|=1은 x와 -x가 쌍으로 묶여 함숫값의 합이 1 또는 -1이 되어야 함을 의미합니다. 여기서 핵심은 (나) 조건, 즉 x>0이면 f(x)>0이라는 강력한 제약입니다. 이 조건 덕분에 우리는 정의역의 양수 부분 {1, 2, 3}에서 출발할 수 있습니다. f(1), f(2), f(3)은 공역의 양수 부분 {1, 2, 3}으로 가는 일대일 대응이므로, 여기서 3! = 6가지 경우가 나옵니다. 그 다음이 중요한데, f(1) 값이 하나로 결정되면, (가) 조건에 의해 f(-1)이 될 수 있는 값은 단 두 가지로 좁혀집니다. 이 논리를 f(2), f(3)에도 똑같이 적용하면 되므로, 최종 답은 (양수 부분 함수 결정 경우의 수) × 2 × 2 × 2 가 됩니다.
  

• 미적분 30번

  — 이 문제는 f(x) ≥ t를 만족하는 '최대 x'를 g(t)로 정의한 부분에서 출제자의 의도가 명확히 드러납니다. 함수 g(t)가 불연속이 되는 지점은, 수평선 y=t가 움직일 때 '최대 x'값이 갑자기 점프하는 순간입니다. 이런 현상은 오직 y=t가 함수 f(x)의 '극대점'에 접할 때 발생합니다. 이 사실을 간파했다면, f(x)를 미분해서 극대점을 찾고, 그 극댓값이 문제에서 주어진 불연속점의 t값인 16/e²과 같다고 식을 세우면 a값을 구할 수 있습니다. 많은 학생들이 g(t)의 정의 자체를 이해하는 데 어려움을 겪거나, 불연속이 발생하는 지점이 왜 극대점인지 연결하지 못해 시간을 허비했을 것입니다. 그래프를 그려보며 y=t를 위아래로 움직여보는 시뮬레이션이 문제 해결의 결정적 열쇠입니다.
  

• 수학 28번

  — 합성함수 (g∘f)(x)의 치역을 묻는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 '안쪽 함수 f(x)의 치역이 바깥 함수 g(x)의 정의역이 된다'는 합성함수의 기본 원리를 제대로 이해하고 있는지 확인하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 x<0일 때 이차함수 f(x)의 최솟값을 꼭짓점의 y좌표라고 단정하는 것입니다. 제한된 정의역(x<0) 안에서 최솟값이 어디서 발생하는지 반드시 따져봐야 합니다. 문제의 결정적 힌트는 최종 치역이 {y|y≥0}이라는 점입니다. g(x)=x+10이므로, g(f(x))의 치역이 y≥0이 되려면 f(x)의 치역이 t≥-10이어야 한다는 결론을 이끌어내는 것이 문제를 푸는 열쇠입니다.
  

• 수학 29번

  — 여러 개의 조건을 동시에 만족하는 집합 P의 원소를 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건들을 유기적으로 연결하여 경우의 수를 효과적으로 줄여나가는 논리적 사고력을 평가하는 것입니다. 가장 강력한 조건은 (나) P-B=∅인데, 이는 P⊂B를 의미합니다. 이 조건을 놓치면 가능한 경우의 수가 너무 많아져 길을 잃기 쉽습니다. 해결의 실마리는 P가 집합 B={1, 2, ..., 8}의 부분집합이라는 것을 먼저 확정한 뒤, (가) 조건에 따라 P는 A={1,2,3,4}의 원소 중 2개를, B-A={5,6,7,8}의 원소 중 일부를 갖는다는 구조를 파악하는 것입니다. 그 후 (다) 조건의 합이 28이라는 것을 이용해 방정식을 세워 원소의 조합을 찾아내야 합니다.
  

• 수학 30번

  — 유리함수로 정의된 수열 {an}의 합을 구하는 문제입니다. 이 문제를 m의 값을 일일이 대입하며 풀려고 하면 절대 시간 내에 풀 수 없습니다. 출제 의도는 유리함수의 '대칭성'이라는 핵심 성질을 간파하여 복잡한 합 계산을 간단하게 처리할 수 있는지를 묻는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 함수 f(x) = 8x / (2x-15)를 f(x) = 4 + 60/(2x-15) 꼴로 변형하는 것입니다. 이 식을 통해 함수 y=f(x)의 그래프가 점 (7.5, 4)에 대해 점대칭임을 알 수 있습니다. 이 대칭성 때문에 a_n + a_{15-n} = f(n) + f(15-n) = 8 이라는 규칙이 성립하며, 이를 이용하면 Σa_n의 값을 매우 효율적으로 계산할 수 있습니다.