2015년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 원의 대칭이동과 영역 문제가 학생들의 발목을 잡았을 가능성이 높습니다. 전반적으로 고1 수학(상), (하)의 핵심 개념, 특히 이차함수, 원의 방정식, 직선의 방정식 등 '도형과 함수' 영역에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 문항들이 다수 출제되었어요. 계산 자체는 복잡하지 않지만, 여러 개념을 복합적으로 사고하고 기하학적 상황을 좌표평면으로 옮겨 해석하는 능력을 집중적으로 테스트하고 있습니다. 고1 때 다루는 이 도형의 방정식과 함수 개념은 결국 수능 미적분, 기하 문제에서 가장 기본적인 '언어'로 사용되므로, 각 단원의 정의와 공식을 완벽하게 체화하는 것이 무엇보다 중요합니다.

문항 분석

• 18번

  — 선분의 외분점 공식을 정확히 알고 있는지, 그리고 좌표평면 위에서 삼각형의 넓이를 효율적으로 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 많은 학생들이 m:n 외분 공식에서 부호를 헷갈리거나, 외분점 Q의 좌표를 구한 뒤 삼각형 OAQ의 넓이를 밑변과 높이를 직접 찾아 구하려다 시간을 허비하는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 꼭짓점 중 하나가 원점(O)이라는 점이에요. 이럴 땐 복잡하게 밑변, 높이 찾지 말고, 나머지 두 점 A(x₁, y₁)과 Q(x₂, y₂)의 좌표를 이용해 신발끈 공식(1/2 |x₁y₂ - x₂y₁|)을 쓰는 것이 압도적으로 빠르고 정확합니다.
  

• 20번

  — 정사각형에 내접하는 원과 직선이 만나는 현의 길이를 묻는, 전형적인 좌표기하 문제입니다. 출제 의도는 '기하학적 상황을 어떻게 좌표로 설정하고, 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용할 것인가'입니다. 대부분의 학생들이 선분 AP의 방정식을 구하고 원의 방정식과 연립해서 교점 Q, R을 직접 찾으려고 시도하는데, 이는 계산이 매우 복잡해지고 실수할 확률이 높습니다. 이 문제의 핵심은 원의 중심에서 현(QR)에 내린 수선은 그 현을 수직이등분한다는 성질을 이용하는 것입니다. 원의 중심과 직선 AP 사이의 거리(d), 그리고 원의 반지름(r)을 이용해 피타고라스 정리를 쓰면 현의 길이의 절반(l/2)을 간단히 구할 수 있습니다. 즉, (l/2)² + d² = r² 이 공식을 떠올리는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 21번

  — 이차함수의 꼭짓점, 축의 방정식, 그리고 근과 계수의 관계를 종합적으로 이해해야 풀 수 있는 준킬러 문항입니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 문제에 주어진 α, β를 f(x)=0의 근으로 착각하는 것입니다. 문제에서 α, β는 f(x) = kx+5, 즉 y=f(x)와 y=kx+5의 교점의 x좌표입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 '축의 방정식'에 있습니다. f(x)의 축이 x = (α+β)/2 - 1/4 라고 주어졌는데, f(x) - (kx+5) = 0 이라는 새로운 이차방정식의 두 근이 α, β이므로 근과 계수의 관계에서 α+β를 f(x)의 계수로 표현할 수 있습니다. 이를 축의 방정식에 대입하면 함수 f(x)의 형태를 특정할 수 있게 됩니다.
  

• 단답형 29번

  — 원의 접선의 방정식과 시그마(Σ) 계산 능력을 동시에 측정하는 문제입니다. 이 문항은 OCR 과정에서 'x절편'이 'y절편'으로 잘못 인식되었을 가능성이 매우 높습니다. 만약 y절편으로 문제를 풀면 고교 과정에서 계산할 수 없는 무리수들의 합이 나오게 됩니다. 출제 의도는 원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선 공식 x₁x + y₁y = r²을 이용하여 x절편 an을 n에 대한 식으로 간단히 표현하고, 그 식을 Σ에 넣어 계산하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 Pn의 좌표가 (n, √(100-n²))임을 파악하고 접선의 방정식을 세운 뒤, x절편(y=0일 때의 x값)을 구하는 것입니다. 그러면 an = 100/n 이라는 매우 간단한 식이 나오고, Σ(100/an)은 결국 Σn 이 되어 등차수열의 합 공식으로 깔끔하게 마무리됩니다.
  

• 단답형 30번

  — 이 시험지에서 가장 난도가 높은 문항으로, 원의 대칭이동, 원과 직선의 위치 관계, 그리고 부등식의 영역에서의 최대·최소를 종합적으로 다룹니다. 출제 의도는 두 원이 모두 특정 직선과 만나기 위한 조건을 부등식으로 표현하고, 그 부등식이 나타내는 영역 내에서 다른 직선의 y절편(혹은 x절편)이 최대가 되는 순간을 찾는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 원의 중심 (a,b)와 직선 사이의 거리 공식을 세운 뒤, 그 복잡한 두 부등식을 연립하여 풀려고만 하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 2b-3a의 최댓값을 구하라는 것을 'k = 2b-3a'로 놓고, 이 식을 b에 대해 정리한 직선 'b = (3/2)a + k/2'가 (a,b)가 존재할 수 있는 영역을 지나면서 y절편(k/2)이 가장 커지는 순간을 찾는 기하학적 접근입니다. 즉, 두 개의 원과 직선의 위치 관계로부터 얻어낸 a,b에 대한 부등식 영역의 경계와 직선 b=(3/2)a+k/2가 접하거나 꼭짓점을 지날 때 최댓값이 발생한다는 것을 간파해야 합니다.