2015년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 29번 오메가(ω) 활용 문제에서 많은 학생들이 시간을 뺏겼을 것으로 보입니다. 전반적으로 다항식, 방정식과 부등식, 도형의 방정식 등 고1 1학기 핵심 단원들을 충실하게 점검하는 문항들로 구성되었어요. 특히 14번, 21번처럼 함수의 그래프를 해석하고 이를 다른 개념(부등식, 거리)과 결합하는 통합형 문항의 비중이 높았는데, 이는 수능에서 고차함수를 다룰 때 필요한 기본기를 다지는 중요한 과정이므로 반드시 복습해야 합니다. 단순히 공식을 암기하기보다 각 개념이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 깊이 있게 파고드는 학습이 앞으로의 수학 실력 향상에 결정적인 영향을 미칠 것입니다.

문항 분석

• 14번

  — 이 문제는 이차함수 f(x)와 직선 g(x)의 관계를 부등식으로 해석하는 능력을 묻고 있습니다. 출제 의도는 f(x) - g(x) ≤ 0 이라는 부등식의 해가 두 함수의 그래프가 만나는 교점의 x좌표 사이 범위라는 것을 기하학적으로 파악하는 것입니다. 많은 학생들이 두 함수의 식을 직접 연립하여 f(x) - g(x)라는 새로운 이차식을 세우고 복잡하게 계산하려다 시간을 낭비하는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 두 그래프의 교점의 x좌표가 바로 부등식의 해의 경계값이 된다는 사실을 이용하는 것입니다. 이 아이디어는 수2에서 함수의 대소 관계를 적분으로 연결하는 문제의 기초가 되므로 반드시 익혀둬야 합니다.
  

• 19번

  — 다항식의 나눗셈과 나머지정리에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 문제입니다. 핵심은 f(x)를 (x-a)(x-b)로 나눈 나머지가 R(x)라는 것을 f(x) = Q(x)(x-a)(x-b) + R(x) 라는 항등식으로 표현하는 것입니다. ㄱ보기에서 f(a) = R(a)라는 당연한 사실을 확인시킨 후, ㄴ, ㄷ 보기에서 이를 응용하도록 유도하고 있죠. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 ㄴ, ㄷ 보기를 보고 f(x)와 R(x)의 식을 구체적으로 구하려고 시도하는 것입니다. 이 문제는 식을 구하는 것이 아니라, 나머지정리의 기본 원리인 'f(a)=R(a)'와 'f(b)=R(b)'라는 두 항등식만을 이용하여 참/거짓을 논리적으로 증명하는 문제입니다.
  

• 21번

  — 이차함수 그래프 위의 한 점을 중심으로 하고 특정 직선에 접하는 원의 넓이를 다루는, 복합적인 문제입니다. 출제 의도는 '원의 넓이가 최대가 되려면 반지름이 최대여야 하고, 그 반지름은 원의 중심에서 접선까지의 거리와 같다'는 사실을 이용하는 것입니다. 즉, 포물선 위의 점 C(a, b)에서 직선 y=2x+9 까지의 거리 d가 최대가 되는 순간을 찾는 문제로 귀결됩니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 점 C의 좌표 (a, b)를 그대로 두고 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용해 a와 b에 대한 복잡한 식을 만드는 것입니다. 결정적 힌트는 점 C가 포물선 위의 점이므로 b = a²-2a-3 으로 바꿔서 거리를 a에 대한 함수로 표현하는 것입니다. 그러면 이 문제는 결국 a에 대한 이차함수의 최댓값을 구하는 문제로 바뀌게 됩니다.
  

• 28번

  — 선분의 내분점, 외분점 개념과 삼각형의 넓이 비를 결합한 좌표기하 문제입니다. 이 문제의 핵심은 밑변의 길이 비가 삼각형의 넓이 비와 같다는 성질을 능숙하게 활용하는 것입니다. 예를 들어, 삼각형 FEB와 삼각형 ABD의 관계를 직접 찾기 어려우므로, 공통 꼭짓점이나 공통 밑변을 갖는 다른 삼각형들을 매개체로 삼아야 합니다. 많은 학생들이 내분점, 외분점 공식을 이용해 모든 점의 좌표를 구하려고 시도하는데, 이는 계산이 매우 복잡해지고 실수할 가능성이 높습니다. 문제 해결의 실마리는 점 A, B, C를 간단한 좌표(예: B를 원점)로 설정하거나, 좌표 없이 순수하게 '넓이 비 = 밑변 비' 관계를 연쇄적으로 적용하여 S(△FEB)가 S(△ABD)의 몇 배인지 추적해 나가는 것입니다.
  

• 29번

  — 이차방정식 x²+x+1=0의 허근, 즉 오메가(ω)의 성질을 이차함수와 결합한 고난도 문항입니다. 출제 의도는 α, β가 x²+x+1=0의 두 근이라는 조건에서 α²+α+1=0, β²+β+1=0, α³=1, β³=1, α+β=-1, αβ=1 이라는 성질들을 유추하고, 이를 f(x)에 대한 조건식에 대입하여 식을 간단히 만드는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 f(α²) = -4α 라는 조건에서 α²을 어떻게 처리할지 막막해하는 것입니다. 결정적 실마리는 α² = -α-1 이라는 관계식을 이용해 f(-α-1) = -4α 로 변형하는 것입니다. 이 식을 정리하면 f(-x-1)+4x 라는 새로운 다항식이 x=α, x=β를 근으로 가짐을 알 수 있고, 이를 통해 f(x)의 계수 p, q를 결정할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 직각삼각형의 세 변에 모두 접하는 원들의 반지름 사이의 관계를 묻는 기하 문제입니다. 이 문제는 내접원(O₁) 뿐만 아니라, 한 변에는 안에서 접하고 나머지 두 변의 연장선에 접하는 방접원(O₂, O₃, O₄)의 성질까지 알아야 해결할 수 있습니다. 핵심 개념은 삼각형의 넓이(S)와 내접원/방접원 반지름(r) 사이의 관계입니다. (예: S = rs, S = r_a(s-a) 등, 여기서 s는 둘레의 절반). 학생들이 흔히 빠지는 함정은 그림의 복잡함에 압도되어 각 원의 중심 좌표를 구하려고 시도하는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 직각삼각형의 넓이가 15/2라는 정보와 r₁=1이라는 정보를 이용해 세 변의 길이에 대한 관계식을 찾는 것입니다. 이후 각 방접원의 반지름을 세 변의 길이로 표현하는 공식을 적용하면 r₂+r₃+r₄의 값을 구할 수 있습니다.