2016년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학평은 30번 원과 닮음 문항에서 중등 기하의 깊이를 제대로 보여주며 상위권 변별을 시도했습니다. 단순 계산 위주의 초반부와 달리, 16번, 21번, 29번 등 중후반부 문항들은 여러 개념을 복합적으로 활용하거나, 주어진 조건에서 데이터를 역추적하는 논리적 사고력을 요구했습니다. 특히 중등 도형의 성질을 자유자재로 활용하는 능력은 고교 과정의 삼각함수, 공간도형 파트와 직결되므로, 이번 시험에서 약점이 드러난 학생들은 반드시 관련 개념을 복습하고 넘어가야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 정삼각형의 성질과 원의 성질을 복합적으로 이해해야 풀 수 있는, 기하 실력을 측정하는 좋은 문항입니다. 많은 학생들이 좌표평면을 도입하려다 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 M, N이 중점이라는 조건에서 '삼각형의 중점연결정리'를 떠올리고, 원과 직선이 만나는 상황에서 '방べき의 정리(Power of a Point Theorem)'를 적용하는 것입니다. 이 두 가지 핵심 개념을 연결하면 계산을 최소화하며 답을 도출할 수 있습니다.
  

• 18번

  — 3차원 공간에 대한 이해와 삼각비 활용 능력을 동시에 묻는 문항입니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 입체적인 그림에 현혹되어 직각삼각형을 제대로 찾아내지 못하는 것입니다. 문제 해결의 핵심은 공간을 평면으로 분리해서 생각하는 것입니다. 먼저 삼각형 AEG에 집중하여 AG의 길이를 구하고, 그 다음 삼각형 ABG에서 삼각비를 이용해 BG의 길이를 구하는 2단계 접근이 필요합니다. 각도 45°와 30°가 주어진 것은 탄젠트 값을 활용하라는 명백한 힌트입니다.
  

• 20번

  — 이차함수 y=x²-ax+a의 성질을 파라미터 'a'의 변화에 따라 추론하는, 개념 이해도를 측정하는 전형적인 합답형 문항입니다. 'ㄱ'은 단순 대입이지만, 'ㄴ'과 'ㄷ'에서 변별력이 갈립니다. 특히 'ㄴ'에서 x축 방향 평행이동 후 y축 대칭이 된다는 것은, 꼭짓점의 x좌표가 0이 된다는 의미임을 간파해야 합니다. 'ㄷ'에서는 꼭짓점이 x축 위에 있다는 조건을 판별식 D=0으로 해석하는 것이 정석이지만, 완전제곱식으로 변형하여 꼭짓점의 y좌표가 0이 되는 조건을 찾는 것이 더 직관적일 수 있습니다. a에 대한 이차방정식의 근의 개수를 정확히 세는 것이 관건입니다.
  

• 21번

  — 격자점 위에서 특정 길이를 갖는 도형의 개수를 세는, 창의적 사고를 요구하는 신유형 문제에 가깝습니다. 이 문제의 함정은 '모양이 같아도 위치가 다르면 다른 도형'이라는 조건을 놓치고, 회전이나 대칭으로 같은 경우를 중복해서 빼버리는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 길이가 √2와 √5가 되는 점의 위치 관계를 파악하는 것입니다. √2는 가로 1, 세로 1의 대각선이고, √5는 가로 1, 세로 2 또는 가로 2, 세로 1의 대각선임을 이용하여, 기준점을 하나 잡고 가능한 모든 경우를 체계적으로, 빠짐없이 세는 꼼꼼함이 요구됩니다.
  

• 단답형 29번

  — 평균, 중앙값, 최빈값이라는 통계량의 정의를 역으로 이용하여 전체 데이터 집합을 추론해야 하는 문제입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 흩어져 있는 조건들을 어떻게 유기적으로 연결하여 미지의 값들을 확정할지 막막해하는 것입니다. 이 문제의 돌파구는 가장 강력한 조건인 '최빈값은 6뿐'이라는 것에서 시작하는 것입니다. (가) 조건에서 이미 1~6이 한 번씩 나왔으므로, 추가되는 3개의 숫자 중 최소 2개는 6이어야 함을 추론할 수 있습니다. 그 후 중앙값과 평균이 모두 4라는 조건을 연립하여 마지막 남은 하나의 값을 확정하면, 전체 데이터를 완성하고 분산을 계산할 수 있습니다.
  

• 단답형 30번

  — 중등 기하의 모든 것을 집대성한 최고난도 문항입니다. 원, 직각삼각형, 닮음, 수선의 발 등 수많은 개념이 얽혀 있어 어디서부터 시작해야 할지 파악하기 어렵습니다. 가장 중요한 첫 번째 실마리는 'AC가 지름'이라는 조건에서 원주각의 성질에 의해 ∠ABC = 90°임을 즉시 파악하는 것입니다. 이를 통해 피타고라스 정리로 BC의 길이를 구할 수 있습니다. 그 다음 핵심은 복잡한 그림 속에서 닮음인 삼각형 쌍(예: △EFC와 △EDA)을 찾아내는 것입니다. E에서 내린 수선의 발 F와 G의 관계를 파악하는 과정에서 기하학적 통찰력이 요구되며, 닮음비를 정확히 세우는 것이 문제 해결의 관건입니다.