2015년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 모의고사는 21번 원과 내접사각형 문항처럼 중학 도형의 심화 개념을 복합적으로 활용해야 하는 문제에서 등급이 갈렸을 것으로 보입니다. 전반적으로 새로운 개념보다는 중학교 과정, 특히 도형 파트의 개념을 얼마나 탄탄하게 쌓았는지를 확인하는 진단 평가의 성격이 강했어요. 여기서 발견된 도형에 대한 약점은 고2, 고3 과정의 기하, 미적분 킬러 문항과 직결되므로, 단순히 공식을 암기하는 수준을 넘어 각 도형의 성질이 왜 성립하는지 증명하며 복습하는 과정이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문제는 빈칸 추론 유형으로, 삼각형의 성질을 논리적으로 따라가는 능력을 평가합니다. 출제 의도는 이등변삼각형의 성질과 각의 이등분선 정리를 순차적으로 적용할 수 있는지를 확인하는 것이죠. 많은 학생들이 (나) 빈칸에서 삼각형 BCD와 선분 CA의 관계를 파악하지 못하고 헤매는 경우가 많습니다. ∠ACB = ∠ACD라는 조건이 삼각형 BCD 입장에서 '외각의 이등분선'임을 깨닫는 것이 문제 해결의 결정적 실마리(Hint)입니다.
  

• 20번

  — 평행사변형과 평행선을 이용한 선분의 길이의 비를 묻는, 닮음의 종합판 같은 문제입니다. 출제 의도는 여러 개의 닮음 삼각형을 찾아내고, 그 관계를 유기적으로 연결하여 원하는 선분의 비를 구하는 능력을 측정하는 데 있습니다. 학생들은 흔히 눈에 보이는 모래시계 모양의 닮음(△GFC와 △GDA)에만 집중하여 필요한 길이를 구하지 못하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 첫 단추는 △EBF와 △EDA의 닮음을 먼저 활용하여 선분 BF의 길이를 알아내는 것입니다.
  

• 21번

  — 원, 직각이등변삼각형, 특수각 등 다양한 기하학적 요소가 결합된 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 조건들을 통해 숨겨진 도형의 성질을 얼마나 많이 발견해 내는가에 있습니다. 대부분의 학생들은 QR의 길이를 직접 구하려다 복잡한 계산에 빠지거나, 보조선을 잘못 그어 시간을 허비합니다. 결정적 힌트는 사각형 CQPD 또한 원에 내접한다는 사실을 간파하는 것입니다. 이를 통해 새로운 각의 관계를 찾아내고, 삼각형의 닮음을 이용하면 문제가 의외로 간단하게 풀립니다.
  

• 27번

  — 도형의 넓이를 문자를 이용해 식으로 표현하고 방정식을 풀어내는 능력을 평가하는 문제입니다. 출제 의도는 단순히 공식을 아는지를 넘어, 구하고자 하는 값을 미지수로 설정하고 문제 상황을 방정식으로 모델링하는 능력을 보는 것입니다. 많은 학생들이 오각형 ABCFE의 넓이를 직접 구하려고 시도하다가 계산이 복잡해지는 함정에 빠집니다. 전체 정사각형의 넓이에서 불필요한 부분인 삼각형 FDE의 넓이를 빼는 방식으로 접근하는 것이 이 문제를 풀어내는 가장 효율적인 열쇠입니다.
  

• 29번

  — 평균, 최빈값, 분산 등 통계의 기본 개념에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 문제입니다. 출제 의도는 주어진 조건들을 종합하여 5개의 자료를 모두 확정하고, 이를 바탕으로 분산을 정확히 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 '최빈값이 8'이라는 조건을 '8이 하나 있다'고 오해하거나, 8이 두 개 이상이라는 점은 알지만 다른 조건과 결합하여 자료를 확정 짓지 못하는 경우입니다. 5개 자료의 총합이 50(평균 10 x 5)이라는 점과 최빈값, 최소-최대값 조건을 모두 만족하는 유일한 숫자 조합을 찾아내는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  

• 30번

  — 공간도형에 대한 이해와 피타고라스 정리의 활용 능력을 측정하는 고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 3차원 도형을 2차원 단면으로 잘라내어 해석하는 능력입니다. 학생들이 가장 흔하게 저지르는 실수는 '넓이의 비'를 '반지름의 비'로 착각하는 것입니다. 넓이의 비가 41:14라는 것은 반지름 '제곱'의 비가 41:14임을 의미합니다. 구의 중심, 원뿔의 높이, 밑면의 반지름을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형을 그려 피타고라스 정리를 적용하는 것이 이 문제를 풀어낼 결정적인 실마리가 됩니다.