2015년 6월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의고사는 21번 직각삼각형 문항처럼 도형의 성질을 능숙하게 식으로 변환하고, 그 식을 연립하여 풀어내는 대수적 처리 능력을 강조한 점이 눈에 띕니다. 전반적으로 다항식의 연산, 나머지정리, 이차함수와 방정식/부등식 등 고1 1학기 중간고사 범위의 핵심 개념들을 충실하게 물어보면서도, 19번, 30번과 같이 함수나 도형을 활용한 최대/최소, 최단거리 문제로 변별력을 확보하려는 의도가 보입니다. 특히 이차함수의 그래프를 해석하고 대칭성을 활용하는 능력은 앞으로 배우게 될 수1, 수2 및 수능 수학의 가장 중요한 기초 체력이 되므로, 이번 시험을 계기로 그래프와 식을 자유자재로 넘나드는 훈련을 시작해야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문제는 좌표평면 위 삼각형의 넓이를 구하는 과정을 논리적으로 서술하는 능력을 평가합니다. 출제 의도는 단순히 공식을 암기해서 푸는 것이 아니라, 점 B를 지나고 y축에 평행한 선분을 보조선으로 활용하여 넓이를 구하는 원리를 이해하는지 확인하는 것입니다. 많은 학생들이 (가), (나), (다) 빈칸 채우기 유형에 익숙하지 않아 당황하거나, 복잡한 좌표 계산 과정에서 실수를 하곤 합니다. 결정적 실마리는 점 M이 선분 PA의 중점이라는 사실을 이용하여 M의 좌표를 a에 대한 식으로 정확히 표현하는 것에서부터 시작됩니다. 이 좌표만 구하면 나머지 빈칸은 문제의 흐름에 따라 자연스럽게 채워집니다.
  

• 19번

  — 두 이차함수로 둘러싸인 내접 직사각형의 둘레가 최대가 되는 상황을 묻는, 전형적인 함수 활용 문제입니다. 핵심 출제 의도는 문제 상황을 하나의 변수(a)에 대한 함수로 표현하고, 주어진 범위 내에서 최댓값을 구하는 능력을 측정하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 둘레의 길이를 나타내는 함수 L(a) = 2(2a + (g(a)-f(a)))를 구한 뒤, 무작정 꼭짓점의 a좌표를 답으로 쓰는 것입니다. 반드시 문제에서 주어진 a의 범위(0<a<2)를 확인하고, 구한 꼭짓점의 a좌표가 이 범위 안에 들어가는지 검증하는 과정이 필요합니다. 이 문제의 첫 단추는 직사각형의 가로 길이를 2a, 세로 길이를 두 함숫값의 차이인 g(a)-f(a)로 설정하는 것입니다.
  

• 21번

  — 직각삼각형의 둘레, 높이, 그리고 넓이 사이의 관계를 종합적으로 활용해야 하는 기하 문제입니다. 출제 의도는 피타고라스 정리, 삼각형의 넓이 공식 등 여러 기하학적 성질을 연립방정식으로 표현하고 풀어내는 수학적 모델링 능력을 평가하는 데 있습니다. 학생들은 보통 세 변의 길이를 a, b, c로 두고 a+b+c=5, a²+b²=c², (1/2)ab = (1/2)c*1 이라는 세 개의 식을 세우지만, 이 식들을 어떻게 연립해야 할지 막막해하는 경우가 많습니다. 이 문제를 푸는 결정적 힌트는 (a+b)² = a²+b²+2ab 라는 곱셈 공식을 활용하는 것입니다. 주어진 조건들을 이용해 a+b와 ab를 모두 빗변 c에 대한 식으로 바꾼 뒤, 이 곱셈 공식에 대입하면 c에 대한 이차방정식을 얻을 수 있습니다.
  

• 28번

  — 정삼각형의 외접원과 관련된 기하 문제로, '방멱 정리(Power of a Point Theorem)'라는 심화 개념을 알고 있다면 매우 쉽게 풀 수 있습니다. 출제 의도는 중학 기하의 원과 비례 단원에서 배운 개념을 고등 과정에 적용할 수 있는지를 묻는 것입니다. 대부분의 학생들은 이 정리를 떠올리지 못하고 좌표평면에 도형을 올려 복잡한 계산을 시도하거나, 닮음을 이용하려다 길을 잃는 함정에 빠집니다. 이 문제 해결의 실마리는 점 P를 지나고 M, N을 포함하는 직선이 외접원의 '할선'이라는 사실을 인지하는 것입니다. 방멱 정리에 따라 PM * P(반대편 교점) = PN * PA' (가상의 교점) 이 성립하는데, 여기서는 더 간단하게 P에서 그은 할선이므로 (PM) * (PN') = (반지름-OP) * (반지름+OP) 와 같은 형태를 생각해야 합니다. 가장 직접적인 풀이는 PM * P(반대편 교점) = PA * PB 같은 접선과 할선 정리를 활용하는 것입니다. 여기서는 점 P와 직선 MN에 대한 방멱 정리, 즉 PM × (x+1) = (원의 반지름)² - (중심과 직선 MN 사이의 거리)² 를 이용하는 것이 핵심입니다.
  

• 29번

  — 삼차다항식 f(x)의 구조를 추론하는 고난도 문항입니다. 핵심 출제 의도는 (나) 조건인 'f(x)를 (x-1)²으로 나눈 몫과 나머지가 같다'를 어떻게 수식으로 표현하고 활용하는지에 있습니다. 많은 학생들이 f(x) = (x-1)²Q(x) + R(x) 라고 쓴 뒤 Q(x)=R(x) 라는 조건 때문에 막막함을 느낍니다. f(x)가 3차식이므로, 2차식 (x-1)²으로 나누면 몫은 1차식(ax+b), 나머지는 1차 이하의 식이 되어야 하는데, 몫과 나머지가 같으므로 나머지도 1차식(ax+b)가 됩니다. 따라서 f(x) = (x-1)²(ax+b) + (ax+b) 라고 식을 세우는 것이 이 문제의 결정적 첫걸음입니다. 이후 (가) 조건 f(1)=2 와 R(0)=R(3)을 이용해 계수 a, b를 찾아내면 됩니다.
  

• 30번

  — 입체도형의 표면을 따라 이동하는 최단거리 문제로, 공간지각 능력과 전개도를 활용하는 능력을 동시에 요구합니다. 출제 의도는 입체도형 위의 두 점 사이의 최단거리는 '전개도 위에서 두 점을 잇는 직선 거리'라는 핵심 원리를 알고 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 흔히 저지르는 실수는 가능한 여러 전개도 중 하나만 그려보고 그것이 최단거리라고 단정하는 것입니다. 점 P와 Q의 위치에 따라 직육면체를 펼치는 방법이 여러 가지가 있고, 각각의 경우에 따라 최단거리가 달라질 수 있으므로 가장 짧은 경로가 나오는 전개도를 찾아야 합니다. 이 문제의 실마리는 점 P(선분 DE 위)와 점 Q(선분 CF 위)를 포함하는 면들을 어떻게 펼칠지 결정하는 것입니다. 면 ADEH와 면 EFGH, 면 BCGF를 나란히 펼친 전개도를 그려 P와 Q를 직선으로 연결하고 피타고라스 정리를 이용해 그 거리가 2√34가 되도록 식을 세우는 것이 정답으로 가는 가장 유력한 경로입니다.