2014년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 11월 학력평가는 30번 종이접기 문제처럼 복잡한 기하 상황을 좌표평면으로 옮겨 해석하는 능력을 결정적으로 요구했습니다. 단순히 공식만 암기한 학생들은 20번(역함수 관계), 21번(원의 이동과 넓이 최대) 등 함수 그래프의 기하학적 의미를 묻는 문항들에서 시간을 많이 소요하고 오답률이 높았을 것으로 보입니다. 고1 과정에서 배우는 함수, 방정식, 도형의 통합적 사고력이 결국 수능 수학의 근간이 된다는 것을 명확히 보여주는 시험이었으며, 특히 그래프를 그리고 관찰하는 습관이 얼마나 중요한지 다시 한번 깨닫게 해주는 문제입니다.

문항 분석

• 15번

  — 집합 X의 조건을 해석하는 것이 관건입니다. X∪A = X-B 라는 식을 벤다이어그램으로 그려보거나, 집합의 연산 법칙을 이용해 A ⊂ X 이고 X ∩ B = ∅ 임을 추론해내야 합니다. 많은 학생들이 X-B를 X∩Bᶜ 로 바꾸어 생각하는 단계를 놓치거나, 두 가지 조건을 동시에 만족시키는 집합 X의 원소를 찾는 과정에서 실수를 합니다. 결정적 실마리는 'A의 원소는 반드시 포함하고, B의 원소는 절대 포함하지 않는' U의 부분집합을 찾는 것입니다.
  

• 18번

  — 유리함수 그래프 위의 점에서 특정 직선까지의 거리를 다루는 문제입니다. 출제 의도는 '산술-기하 평균 부등식'을 활용한 최솟값 계산입니다. 점 P의 좌표를 (a, 8/(2a-1))로 설정하고, 점 Q의 좌표를 (a, -a)로 둔 뒤 선분 PQ의 길이를 a에 대한 식으로 표현하는 것이 첫 단계입니다. 여기서 많은 학생들이 복잡한 식 앞에서 당황하지만, 식을 적절히 변형하여 '합이 일정하거나 곱이 일정한' 형태를 만들어내야 산술-기하 평균 부등식을 적용할 수 있다는 사실을 떠올리는 것이 핵심입니다. 힌트는 분모와 같은 형태(2a-1)를 분자에도 만들어주는 것입니다.
  

• 20번

  — 두 함수 f(x)와 g(x)가 y=x 대칭, 즉 역함수 관계임을 눈치채는 것이 문제 해결의 90%를 차지합니다. 이를 파악하지 못하고 단순히 두 식을 연립하여 교점 A의 좌표를 구하려고 하면 계산이 매우 복잡해집니다. 역함수 관계를 파악했다면, 점 B(1/2, 2)와 기울기가 -1인 직선 l의 관계, 그리고 점 C가 직선 l 위의 점이라는 사실을 기하학적으로 활용해야 합니다. 점 B와 점 C가 y=x 대칭인 어떤 점과 관련이 있을지 고민해보는 것이 결정적 실마리가 될 것입니다.
  

• 21번

  — 원의 평행이동과 대칭이동을 정확히 수행하여 점 Q가 그리는 도형의 방정식을 구하는 것이 첫 번째 과제입니다. 삼각형 ABQ의 넓이가 최대가 되는 순간은, 밑변 AB로부터 점 Q까지의 거리가 가장 멀 때라는 기하학적 사실을 이용해야 합니다. 학생들은 종종 최대 넓이를 구하라고 할 때 특정 좌표를 대입해보는 실수를 하지만, 이 문제의 핵심은 '고정된 직선(AB)으로부터 원 위의 점까지의 거리의 최댓값'은 '원의 중심에서 직선까지의 거리에 반지름을 더한 값'이라는 원리를 적용하는 것입니다. 점 Q의 좌표가 아닌, 최대 높이를 주는 점 Q의 위치를 먼저 파악하고 그로부터 점 P의 좌표를 역으로 추적해야 합니다.
  

• 29번

  — 두 이차함수의 축이 x=p로 동일하다는 (가) 조건과, 부등식 f(x) ≥ g(x)의 해가 -1 ≤ x ≤ 5라는 (나) 조건이 핵심입니다. h(x) = f(x) - g(x) 라는 새로운 이차함수를 설정하면 문제를 훨씬 명확하게 볼 수 있습니다. h(x)는 최고차항의 계수가 (1/2) - (-1/2) = 1 이고, h(x) ≥ 0의 해가 -1 ≤ x ≤ 5 이므로 h(x) = (x+1)(x-5) 임을 바로 알 수 있습니다. 많은 학생들이 f(x)와 g(x)를 각각 구하려고 시도하다가 시간을 낭비하는데, 두 함수의 '차'에 집중하는 것이 이 문제의 출제 의도이자 함정을 피하는 길입니다.
  

• 30번

  — 고1 과정에서 출제될 수 있는 가장 복잡한 유형의 기하 문제입니다. 이 문제를 순수 기하학으로 접근하려 하면 거의 풀이가 불가능에 가깝습니다. 결정적 실마리는 정사각형을 좌표평면 위에 올리는 것입니다. 점 C를 원점 (0,0)으로 설정하면 A, B, D, E, F의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다. 그 다음 핵심은 '종이접기'의 원리, 즉 접기 전과 후의 길이가 같다는 점(EB=EB', FD=FD')과 접는 선은 대응점을 이은 선분의 수직이등분선이라는 성질을 이용해 B'과 D'의 좌표를 구하는 것입니다. 이후 G, H, M의 좌표를 차례로 계산해나가면 최종적으로 A'의 위치와 k값을 구할 수 있는, 끈기와 계산 정확성을 요구하는 문제입니다.