2014년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 학력평가는 30번 문항처럼 기하적 상황을 좌표평면으로 옮겨와 해석하고 최솟값을 구하는, 고난도 문항의 정석을 보여준 시험이었습니다. 전반적으로 도형의 방정식 단원에서 많은 문항이 출제되어, 이 파트의 숙련도가 등급을 갈랐을 것으로 보입니다. 특히 직선, 원, 평행이동, 대칭이동 등 기본 개념들을 복합적으로 활용하는 문항 해결 능력이 중요했으며, 이는 향후 수능에서 기하 문제나 함수 해석 문제의 기초 체력이 되므로 이번 기회에 확실히 다져두어야 합니다.

문항 분석

• 17번

  — 이 문항은 정삼각형의 성질을 좌표를 이용하여 증명하는 능력을 평가합니다. 출제 의도는 기하학적 도형을 해석기하학(좌표)으로 전환하는 능력을 보는 것이죠. 많은 학생들이 (가)에서 정삼각형의 높이를 √3a로 바로 떠올리지 못하거나, (나), (다)로 이어지는 식 정리 과정에서 계산 실수를 범하는 경향이 있습니다. 결정적 실마리는 변 AB의 중점을 원점으로 설정하는 것인데, 이렇게 하면 A, B의 좌표가 대칭적으로 설정되어 AP²+BP²의 계산이 매우 간단해집니다.
  

• 19번

  — 삼각형의 무게중심, 중점, 수직 조건 등 여러 개념을 종합적으로 활용해야 하는 복합 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '직선 BN과 직선 LM이 수직'이라는 조건과 '무게중심 G는 중선 BN을 2:1로 내분한다'는 성질을 어떻게 식으로 표현하느냐에 있습니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 N의 좌표 (a, b)와 L, M의 좌표를 이용해 너무 많은 미지수를 설정하여 계산의 늪에 빠지는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 중점 연결 정리에 의해 BC와 LM이 평행하다는 사실을 간파하고, 따라서 BN과 BC가 수직, 즉 삼각형 ABC가 직각삼각형임을 알아채는 것입니다.
  

• 21번

  — 실생활 상황을 수학적 모델링, 즉 좌표평면 위의 기하학적 문제로 바꾸는 능력이 핵심입니다. 관람지점 P를 원점 (0,0)으로 설정하고, 수직인 두 시야 방향을 각각 x축, y축으로 두는 것이 문제 해결의 시작입니다. 전시물 A, B, C는 반지름이 1인 원으로 표현되며, '가려지는 부분이 없다'는 조건은 P에서 원 C에 그은 두 접선이 원 A와 원 B의 내부를 지나지 않아야 함을 의미합니다. 이 기하학적 조건을 원의 중심과 P 사이의 거리, 그리고 접선의 방정식 등을 이용하여 d의 최솟값을 구하는 부등식으로 연결하는 것이 관건입니다.
  

• 26번

  — 연립부등식의 영역을 좌표평면에 나타내고, 그 영역 내에서 특정 식(k = y-3x)의 최댓값과 최솟값을 구하는 전형적인 선형계획법 문제입니다. 출제 의도는 부등식의 영역을 정확히 그리고, k의 의미를 기하학적으로 해석할 수 있는지를 묻는 것입니다. 대부분의 학생들은 세 직선의 교점으로 이루어진 삼각형 영역을 잘 찾아내지만, y-3x=k를 y=3x+k로 변환하여 '기울기가 3인 직선의 y절편'으로 해석하는 데서 막힙니다. 이 직선이 주어진 삼각형 영역을 지나면서 y절편(k)이 최대 또는 최소가 되는 순간은 반드시 영역의 꼭짓점을 지날 때라는 사실을 이용하는 것이 결정적 힌트입니다.
  

• 29번

  — 이 문제는 '원주각이 90도이면 지름의 양 끝점이다'라는 중학 기하 개념을 원의 방정식과 결합한 문제입니다. ∠APB = ∠AQB = 90°라는 조건은 두 점 P, Q가 선분 AB를 지름으로 하는 원 위에 있다는 것을 의미합니다. 이 핵심을 파악하면 선분 AB의 중점이 원의 중심이고, AB 길이의 절반이 반지름임을 이용해 원의 방정식을 쉽게 구할 수 있습니다. 결국 이 문제는 '선분 AB를 지름으로 하는 원'과 '직선 y=x-2'의 두 교점 P, Q 사이의 거리를 구하는 문제로 귀결되며, 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 이용해 현의 길이를 구하는 공식을 쓰는 것이 가장 효율적인 풀이법입니다.
  

• 30번

  — 도형의 성질을 이용한 최적화 문제로, 이번 시험에서 가장 변별력이 높은 문항입니다. 문제의 핵심은 외접하는 두 원의 반지름을 각각 r1, r2라 설정하고, PQ²을 이 변수들로 표현한 뒤 최솟값을 구하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 P와 Q의 위치를 어떻게 변수(r1, r2)로 표현할지입니다. 힌트는 직각삼각형 ABC를 좌표평면에 올리는 것부터 시작합니다. B를 원점, BC를 x축, BA를 y축에 두면 A(0,6), B(0,0), C(8,0)으로 좌표 설정이 가능하며, P와 Q의 좌표를 r1, r2를 이용해 나타낼 수 있습니다. 이후 PQ²을 r1에 대한 식으로 정리하면 이차함수의 최솟값 문제로 해결할 수 있습니다.