수학ETF	25_고1_9월	기출문제
	1 ~ 30

두 다항식 [eqn: A=2x^{2}+xy+y^{2}], [eqn: B=x^{2}+2xy-y^{2}]에 대하여 [eqn: A+B]를 간단히 하면?

③

주어진 두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]를 더하면

[eqn: A+B = (2x^{2}+xy+y^{2}) + (x^{2}+2xy-y^{2})]

동류항끼리 모아서 계산하면

[eqn: = (2+1)x^{2} + (1+2)xy + (1-1)y^{2}][eqn: = 3x^{2}+3xy]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: x^{2}-xy]	② [eqn: x^{2}+3xy-y^{2}]	③ [eqn: 3x^{2}+3xy]

④ [eqn: 3x^{2}-3xy+y^{2}]	⑤ [eqn: 3x^{2}+xy+2y^{2}]

두 행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{6&`````a+1#8&`````1}} RIGHT )], [eqn: B= LEFT ( {matrix{6&`````4#b-1&`````1}} RIGHT )]에 대하여 [eqn: A = B] 일 때, [eqn: a times b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

⑤

두 행렬이 서로 같으려면 대응하는 성분이 각각 같아야 한다.

[eqn: A = B]이므로

[eqn: a + 1 = 4]에서 [eqn: a = 3]

[eqn: 8 = b - 1]에서 [eqn: b = 9]

∴ [eqn: a times b = 3 times 9 = 27]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

복소수 [eqn: z=1+3i]의 켤레복소수가 [eqn: bar{z}]일 때, [eqn: (z+bar{z})i]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

②

복소수 [eqn: z = 1 + 3i]의 켤레복소수 [eqn: bar{z}]는

[eqn: bar{z} = 1 - 3i] 이므로

[eqn: z + bar{z} = (1 + 3i) + (1 - 3i) = 2]

∴ [eqn: (z + bar{z})i = 2i]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 4i]	② [eqn: 2i]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

등식
[eqn: a(x+2)^{2}+1=2x^{2}+bx+9]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

①

주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면

[eqn: a(x^{2}+4x+4)+1 = 2x^{2}+bx+9]

[eqn: ax^{2}+4ax+4a+1 = 2x^{2}+bx+9]

이 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수가 같아야 한다.

[eqn: a = 2], [eqn: 4a = b], [eqn: 4a+1 = 9]

[eqn: a = 2]이므로 [eqn: b = 4 times 2 = 8]

∴ [eqn: a+b = 2+8 = 10]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}+4x+a-5=0]이 중근을 갖도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

이차방정식 [eqn: x^{2}+4x+a-5=0]이 중근을 가지려면 판별식을 [eqn: D]라 할 때 [eqn: D=0]이어야 한다.

[eqn: x]의 계수가 짝수이므로 짝수 판별식 [eqn: {D} over {4}]를 이용하면

[eqn: {D} over {4} = 2^{2} - (a-5) = 0], [eqn: 4 - a + 5 = 0], [eqn: 9 - a = 0]

∴ [eqn: a = 9]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: x]에 대한 이차부등식 [eqn: x^{2}+ax+b leq 0]의 해가 [eqn: 3 leq x leq 5]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은?

③

이차항의 계수가 [eqn: 1]이고 해가 [eqn: 3 leq x leq 5]인 이차부등식은

[eqn: (x-3)(x-5) leq 0] 전개하면 [eqn: x^{2}-8x+15 leq 0]

이 부등식이 [eqn: x^{2}+ax+b leq 0]과 일치하므로

[eqn: a = -8], [eqn: b = 15]

따라서 [eqn: b-a = 15 - (-8) = 23]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. [eqn: a^{2}+b leq 6]을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는?

④

한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수 [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 1] 이상 [eqn: 6] 이하의 자연수이다.

[eqn: a^{2}+b leq 6]을 만족시키는 경우를 [eqn: a]의 값에 따라 나누어 구한다.

(ⅰ) [eqn: a = 1]일 때

[eqn: 1^{2} + b leq 6]에서 [eqn: b leq 5]

이를 만족시키는 [eqn: b]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이므로 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (1, 1)], [eqn: (1, 2)], [eqn: (1, 3)], [eqn: (1, 4)], [eqn: (1, 5)]의 [eqn: 5]개이다.

(ⅱ) [eqn: a = 2]일 때

[eqn: 2^{2} + b leq 6]에서 [eqn: b leq 2]

이를 만족시키는 [eqn: b]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (2, 1)], [eqn: (2, 2)]의 [eqn: 2]개이다.

(ⅲ) [eqn: a geq 3]일 때

[eqn: a^{2} geq 9]이고 [eqn: b geq 1]이므로 [eqn: a^{2}+b geq 10]이다.

따라서 [eqn: a^{2}+b leq 6]을 만족시키는 [eqn: b]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는 [eqn: 5 + 2 = 7]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{-1&`````-2#2&`````3}} RIGHT )]에 대하여 행렬 [eqn: A^{2} + A^{3}]의 모든 성분의 합은?

④

행렬의 곱셈을 이용하여 [eqn: A^{2}]과 [eqn: A^{3}]을 각각 구한다.

[eqn: A ^{2} = LEFT ( {matrix{-1&-2#````````2&```````3}} RIGHT ) LEFT ( {matrix{-1&-2#```````2&```````3}} RIGHT )][eqn: = LEFT ( {matrix{-3&-4#```````4&```````5}} RIGHT )]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= LEFT ( {matrix{-3&-4#```````4&```````5}} RIGHT ) LEFT ( {matrix{-1&-2#```````2&```````3}} RIGHT )][eqn: = LEFT ( {matrix{-5&-6#```````6&```````7}} RIGHT )]

따라서 [eqn: A^{2} + A^{3}]은 [eqn: A ^{2} +A ^{3} = {pmatrix{-8&-10#``````10&```````12}}]

행렬 [eqn: A^{2} + A^{3}]의 모든 성분의 합은

[eqn: -8 + (-10) + 10 + 12 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항식 [eqn: x(x-4)(x^{2}-4x+7)+12]가 [eqn: (x-1)(x+a)(x+b)^{2}]으로 인수분해될 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a+b]의 값은?

②

[eqn: x^{2}-4x = X]라 하면

주어진 다항식은 [eqn: X(X+7)+12]이다.

이를 전개하여 인수분해하면

[eqn: X^{2}+7X+12 = (X+3)(X+4)]

[eqn: X = x^{2}-4x]를 다시 대입하면

[eqn: (x^{2}-4x+3)(x^{2}-4x+4)]

각각의 이차식을 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x-3)(x-2)^{2}]

이 식이 [eqn: (x-1)(x+a)(x+b)^{2}]과 같으므로

[eqn: a = -3], [eqn: b = -2]

∴ [eqn: 2a+b = 2 times (-3) + (-2) = -8]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

연립방정식
[eqn: {cases{2x-y=4&#3x ^{2} -xy-7y=3&}}]
의 해를 [eqn: x = alpha], [eqn: y = beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

②

연립방정식

[eqn: 2x - y = 4] ……①

[eqn: 3x^{2} - xy - 7y = 3] ……②

①에서 [eqn: y = 2x - 4] ……③

③을 ②에 대입하면

[eqn: 3x^{2} - x(2x - 4) - 7(2x - 4) = 3]

[eqn: 3x^{2} - 2x^{2} + 4x - 14x + 28 - 3 = 0], [eqn: x^{2} - 10x + 25 = 0]

[eqn: (x - 5)^{2} = 0]

∴ [eqn: x = 5]

[eqn: x = 5]를 ③에 대입하면

[eqn: y = 2 times 5 - 4 = 6]

따라서 [eqn: alpha = 5], [eqn: beta = 6]이므로

[eqn: alpha + beta = 5 + 6 = 11]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 20]

다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는?

(가) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}+kx+3k=0]이 서로 다른 두 허근을 갖는다.

(나) [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}-2(k-3)x+4k-7=0]이 실근을 갖는다.

①

조건 (가)에서 이차방정식 [eqn: x^{2}+kx+3k=0]이 서로 다른 두 허근을 가지므로 판별식을 [eqn: D_{1}]이라 하면

[eqn: D_{1} = k^{2} - 12k < 0], [eqn: k(k - 12) < 0]

[eqn: 0 < k < 12] ……①

조건 (나)에서 이차방정식 [eqn: x^{2}-2(k-3)x+4k-7=0]이 실근을 가지므로 판별식을 [eqn: D_{2}]라 하면

[eqn: {D_{2}} over {4} = (k-3)^{2} - (4k-7) geq 0]

[eqn: k^{2} - 6k + 9 - 4k + 7 geq 0], [eqn: k^{2} - 10k + 16 geq 0], [eqn: (k-2)(k-8) geq 0]

[eqn: k leq 2] 또는 [eqn: k geq 8] ……②

①, ②의 공통 범위를 구하면

[eqn: 0 < k leq 2] 또는 [eqn: 8 leq k < 12]

이를 만족하는 정수 [eqn: k]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11]이므로 그 개수는 [eqn: 6]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: rmA] 고등학교와 [eqn: rmB] 고등학교 학생들은 음악 활동으로 피아노와 드럼을 배우고 있다. <표[eqn: 1]>은 [eqn: rmA] 고등학교와 [eqn: rmB] 고등학교의 남학생 수와 여학생 수를 나타낸 것이다. 두 학교 모두 <표[eqn: 2]>와 같이 남학생의 [eqn: 20%]는 피아노를, [eqn: 80%]는 드럼을 배우고, 여학생의 [eqn: 70%]는 피아노를, [eqn: 30%]는 드럼을 배운다. (단위: 명)

<표[eqn: 1]>과 <표[eqn: 2]>를 각각 행렬 [eqn: P = left ( matrix { 120 & 160 # 130 & 140 } right )], [eqn: Q = left ( matrix { 0.2 & 0.8 # 0.7 & 0.3 } right )]으로 나타낼 때, [eqn: rmB] 고등학교에서 드럼을 배우는 모든 학생 수를 나타낸 것은?

③

행렬 [eqn: P]의 각 행은 [eqn: rmA] 고등학교와 [eqn: rmB] 고등학교의 남학생 수와 여학생 수를 나타내고, 행렬 [eqn: Q]의 각 열은 피아노와 드럼을 배우는 비율을 나타낸다.

두 행렬의 곱 [eqn: PQ]를 구하면

[eqn: PQ = left ( matrix { 120 & 160 # 130 & 140 } right ) left ( matrix { 0.2 & 0.8 # 0.7 & 0.3 } right )]

[eqn: = left ( matrix { 120 times 0.2 + 160 times 0.7 & 120 times 0.8 + 160 times 0.3 # 130 times 0.2 + 140 times 0.7 & 130 times 0.8 + 140 times 0.3 } right )]

이때 [eqn: B] 고등학교에서 드럼을 배우는 학생 수는

([eqn: B] 고등학교 남학생 수) [eqn: times] (남학생 중 드럼을 배우는 비율) [eqn: +] ([eqn: B] 고등학교 여학생 수) [eqn: times] (여학생 중 드럼을 배우는 비율)

[eqn: = 130 times 0.8 + 140 times 0.3]

이 값은 행렬 [eqn: PQ]의 [eqn: (2, 2)] 성분과 같다.

따라서 정답은 ③이다.

① 행렬 [eqn: PQ]의 [eqn: (1, 2)] 성분

② 행렬 [eqn: PQ]의 [eqn: (2, 1)] 성분

③ 행렬 [eqn: PQ]의 [eqn: (2, 2)] 성분

④ 행렬 [eqn: QP]의 [eqn: (2, 1)] 성분

⑤ 행렬 [eqn: QP]의 [eqn: (2, 2)] 성분

두 이차정사각행렬 [eqn: A= LEFT ( {matrix{1&`````a#b&`````-2}} RIGHT )], [eqn: B]가
[eqn: A+2B= LEFT ( {matrix{9&`````2#5&`````0}} RIGHT )], [eqn: AB = O]
를 만족시킬 때, 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이고, [eqn: O]는 영행렬이다.)

①

[eqn: A+2B= LEFT ( {matrix{9&`````2#5&`````0}} RIGHT )]에서

[eqn: 2B= LEFT ( {matrix{9&`````2#5&`````0}} RIGHT ) -A= LEFT ( {matrix{9&`````2#5&`````0}} RIGHT ) - LEFT ( {matrix{1&```````a#b&-2}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{8&2-a#5-b&2}} RIGHT )]

[eqn: AB = O]에서 [eqn: A(2B) = O]이므로

[eqn: LEFT ( {matrix{1&a#b&-2}} RIGHT ) LEFT ( {matrix{8&2-a#5-b&2}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{0&`````0#0&`````0}} RIGHT )]

행렬의 곱셈을 계산하면

[eqn: LEFT ( {matrix{8+a(5-b)&2-a+2a#8b-2(5-b)&b(2-a)-4}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{0&`````0#0&`````0}} RIGHT )]

두 행렬이 서로 같을 조건에 의해

[eqn: 2+a = 0]에서 [eqn: a = -2]

[eqn: 10b-10 = 0]에서 [eqn: b = 1]

따라서 [eqn: 2B= LEFT ( {matrix{8&`````4#4&`````2}} RIGHT )]이므로 [eqn: B= LEFT ( {matrix{4&`````2#2&`````1}} RIGHT )]

행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4+2+2+1 = 9]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{LEFT | x-k RIGHT | LEQ 4&#x ^{2} -11x+18<0&}}]
을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은?

③

연립부등식의 해를 각각 구한다.

첫 번째 부등식 [eqn: left | x - k right | leq 4]에서

[eqn: -4 leq x - k leq 4]

[eqn: k - 4 leq x leq k + 4] ……①

두 번째 부등식 [eqn: x^{2} - 11x + 18 < 0]에서

[eqn: (x - 2)(x - 9) < 0]

[eqn: 2 < x < 9] ……②

②를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 3, 4, 5, 6, 7, 8]이다.

①과 ②를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이 되려면, 구간 [eqn: k - 4 leq x leq k + 4]가 정수 [eqn: 3, 4, 5]만을 포함하거나 [eqn: 6, 7, 8]만을 포함해야 한다.

(ⅰ) 정수 [eqn: 3, 4, 5]만을 포함하는 경우

[eqn: x=5]는 ①을 만족시키고, [eqn: x=6]은 ①을 만족시키지 않아야 하므로

[eqn: 5 leq k + 4 < 6]

[eqn: 1 leq k < 2]

[eqn: k]는 정수이므로 [eqn: k = 1]

이때 ①은 [eqn: -3 leq x leq 5]이므로 연립부등식의 해는 [eqn: 2 < x leq 5]가 되어 정수 [eqn: x]는 [eqn: 3, 4, 5]로 [eqn: 3]개가 된다.

(ⅱ) 정수 [eqn: 6, 7, 8]만을 포함하는 경우

[eqn: x=6]은 ①을 만족시키고, [eqn: x=5]는 ①을 만족시키지 않아야 하므로

[eqn: 5 < k - 4 leq 6]

[eqn: 9 < k leq 10]

[eqn: k]는 정수이므로 [eqn: k = 10]

이때 ①은 [eqn: 6 leq x leq 14]이므로 연립부등식의 해는 [eqn: 6 leq x < 9]가 되어 정수 [eqn: x]는 [eqn: 6, 7, 8]로 [eqn: 3]개가 된다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1, 10]이므로 그 합은 [eqn: 1 + 10 = 11]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: x]에 대한 두 다항식
[eqn: P(x) = x^{4} + x^{3} + 2x - 4],
[eqn: Q(x) = x^{4} + x^{3} + ax^{2} + bx + 1]
이 모두 [eqn: x+b]로 나누어떨어질 때, [eqn: P(b) + Q(a)]의 값은?

④

다항식 [eqn: P(x)]가 [eqn: x+b]로 나누어떨어지므로 나머지정리에 의해 [eqn: P(-b) = 0]이다.

[eqn: P(-b) = (-b)^{4} + (-b)^{3} + 2(-b) - 4 = 0]에서

[eqn: b^{4} - b^{3} - 2b - 4 = 0]

조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: (b-2)(b+1)(b^{2} + 2) = 0]

[eqn: b]는 정수이므로 [eqn: b = 2] 또는 [eqn: b = -1]이다.

다항식 [eqn: Q(x)]도 [eqn: x+b]로 나누어떨어지므로 [eqn: Q(-b) = 0]이다.

[eqn: Q(-b) = (-b)^{4} + (-b)^{3} + a(-b)^{2} + b(-b) + 1 = 0]에서

[eqn: b^{4} - b^{3} + ab^{2} - b^{2} + 1 = 0]

(ⅰ) [eqn: b = 2]일 때

[eqn: 16 - 8 + 4a - 4 + 1 = 0]에서 [eqn: 4a + 5 = 0]

∴ [eqn: a = - {5} over {4}]

[eqn: a]는 정수라는 조건에 모순이므로 [eqn: b neq 2]이다.

(ⅱ) [eqn: b = -1]일 때

[eqn: 1 - (-1) + a - 1 + 1 = 0]에서 [eqn: a + 2 = 0]

∴ [eqn: a = -2]

[eqn: a = -2]는 정수이므로 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: a = -2], [eqn: b = -1]이므로

[eqn: P(b)=P(-1)=-6]

[eqn: Q(a)=Q(-2)=3]

∴ [eqn: P(b) + Q(a) = -6 + 3 = -3]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖고, 두 근의 곱은 [eqn: 4]이다. 방정식 [eqn: f(x)=-x+1]의 두 근의 차가 [eqn: 2]일 때, [eqn: f(6)]의 값은?

②

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x) = x^{2} + ax + b]라 하자.

이차방정식 [eqn: f(x) = 0]의 두 근의 곱이 [eqn: 4]이므로 근과 계수의 관계에서 [eqn: b = 4]

따라서 [eqn: f(x) = x^{2} + ax + 4]이다.

또한, 이차방정식 [eqn: f(x) = 0]이 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: D = a^{2} - 16 > 0]

∴ [eqn: a < -4] 또는 [eqn: a > 4] ……①

방정식 [eqn: f(x) = -x + 1]에서

[eqn: x^{2} + ax + 4 = -x + 1]

즉, [eqn: x^{2} + (a+1)x + 3 = 0]

이 이차방정식의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta = -(a+1)], [eqn: alpha beta = 3]

두 근의 차가 [eqn: 2]이므로 [eqn: left | alpha - beta right | = 2]에서

[eqn: ( alpha - beta )^{2} = 4]

[eqn: ( alpha - beta )^{2} = ( alpha + beta )^{2} - 4 alpha beta]이므로

[eqn: 4 = (-(a+1))^{2} - 4 times 3]

[eqn: (a+1)^{2} = 16]

[eqn: a+1 = 4] 또는 [eqn: a+1 = -4]

∴ [eqn: a = 3] 또는 [eqn: a = -5]

①에 의해 [eqn: a = -5]이므로

[eqn: f(x) = x^{2} - 5x + 4]

따라서 [eqn: f(6) = 6^{2} - 5 times 6 + 4 = 10]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 19]

이차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 일차항의 계수가 [eqn: 12]인 일차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은?

(가) [eqn: f(0)-g(0)=f(2)-g(2)=3]

(나) 방정식 [eqn: f(x)+g(x)=0]이 중근을 갖는다.

⑤

[eqn: h(x) = f(x) - g(x)]라 하면

[eqn: f(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수이고 [eqn: g(x)]는 일차함수이므로 [eqn: h(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수이다.

조건 (가)에서 [eqn: h(0) = 3], [eqn: h(2) = 3]이므로

[eqn: h(x) = 3x(x-2) + 3 = 3x^{2} - 6x + 3]

즉, [eqn: f(x) - g(x) = 3x^{2} - 6x + 3] ……①

[eqn: f(x)]의 일차항의 계수를 [eqn: a], 상수항을 [eqn: b]라 하고, [eqn: g(x)]의 상수항을 [eqn: c]라 하면

[eqn: f(x) = 3x^{2} + ax + b], [eqn: g(x) = 12x + c]

[eqn: f(x) - g(x) = 3x^{2} + (a-12)x + b - c]

①에 의해 [eqn: a - 12 = -6], [eqn: b - c = 3]

∴ [eqn: a = 6], [eqn: b - c = 3] ……②

조건 (나)에서 방정식 [eqn: f(x) + g(x) = 0]이 중근을 가지므로

[eqn: f(x) + g(x) = 3x^{2} + 6x + b + 12x + c = 3x^{2} + 18x + b + c = 0]

이 이차방정식의 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: {D} over {4} = 9^{2} - 3(b+c) = 0]

[eqn: 81 - 3b - 3c = 0]

∴ [eqn: b + c = 27] ……③

②, ③을 연립하여 풀면

[eqn: 2b = 30]에서 [eqn: b = 15]

따라서 [eqn: f(x) = 3x^{2} + 6x + 15]이므로

[eqn: f(3) = 3 times 3^{2} + 6 times 3 + 15 = 27 + 18 + 15 = 60]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 48]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 60]

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^{3}-6x^{2}+(k+8)x-2k=0]은 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma], [eqn: LEFT ( alpha<beta<gamma RIGHT )]를 갖는다. [eqn: 2alpha+beta=2gamma]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

④

삼차방정식 [eqn: x^{3}-6x^{2}+(k+8)x-2k=0]에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 8-24+2(k+8)-2k=0]이 성립하므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: (x-2)(x^{2}-4x+k)=0]

이 방정식이 서로 다른 세 실근을 가지므로 이차방정식 [eqn: x^{2}-4x+k=0]은 [eqn: x neq 2]인 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

이차방정식 [eqn: x^{2}-4x+k=0]의 두 근을 [eqn: p], [eqn: q] ([eqn: p < q])라 하면 근과 계수의 관계에서

[eqn: p+q=4], [eqn: pq=k]

[eqn: p+q=4]이고 [eqn: p neq 2], [eqn: q neq 2]이므로 [eqn: p < 2 < q]이다.

세 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] ([eqn: alpha < beta < gamma])의 크기 순서에 의해

[eqn: alpha = p], [eqn: beta = 2], [eqn: gamma = q]

주어진 조건 [eqn: 2 alpha + beta = 2 gamma]에 대입하면

[eqn: 2p+2=2q]

즉, [eqn: q-p=1] ……①

[eqn: p+q=4] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: p={3} over {2}], [eqn: q={5} over {2}]

[eqn: k = pq]이므로

[eqn: k = {3} over {2} times {5} over {2} = {15} over {4}]

이때 이차방정식 [eqn: x^{2}-4x+k=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = 4-k = 4 - {15} over {4} = {1} over {4} > 0]

이므로 서로 다른 두 실근을 가질 조건을 만족한다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {27} over {8}]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: {29} over {8}]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: {31} over {8}]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=a(x-b)^{2}]이 있다. 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k leq x leq k+2]에서 이차함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 차를 [eqn: g(k)]라 할 때, 함수 [eqn: g(k)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(3)=a]

(나) [eqn: g(2)+g(6)=32]

[eqn: f(6)]의 값은?

①

이차함수 [eqn: f(x) = a(x-b)^{2}] ([eqn: a>0])의 그래프는 직선 [eqn: x=b]에 대하여 대칭이고 아래로 볼록하다.

구간 [eqn: k leq x leq k+2]의 중점은 [eqn: x = k+1]이다.

구간의 위치에 따른 최댓값과 최솟값의 차 [eqn: g(k)]를 구해보자.

(ⅰ) [eqn: k+2 leq b], 즉 [eqn: k leq b-2]일 때

구간이 대칭축의 왼쪽에 있으므로 [eqn: x=k]에서 최댓값, [eqn: x=k+2]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: g(k) = f(k) - f(k+2) = a(k-b)^{2} - a(k+2-b)^{2} = 4a(b-k-1)]

(ⅱ) [eqn: k leq b leq k+2], 즉 [eqn: b-2 leq k leq b]일 때

구간 안에 대칭축이 포함되므로 [eqn: x=b]에서 최솟값 [eqn: f(b)=0]을 갖는다.

이때 대칭축과 구간의 양 끝점 사이의 거리에 따라 최댓값이 달라진다.

① [eqn: k+1 leq b], 즉 [eqn: b-2 leq k leq b-1]일 때

[eqn: x=k]에서 최댓값을 가지므로

[eqn: g(k) = f(k) - f(b) = a(k-b)^{2}]

② [eqn: k+1 > b], 즉 [eqn: b-1 < k leq b]일 때

[eqn: x=k+2]에서 최댓값을 가지므로

[eqn: g(k) = f(k+2) - f(b) = a(k+2-b)^{2}]

(ⅲ) [eqn: k > b]일 때

구간이 대칭축의 오른쪽에 있으므로 [eqn: x=k+2]에서 최댓값, [eqn: x=k]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: g(k) = f(k+2) - f(k) = a(k+2-b)^{2} - a(k-b)^{2} = 4a(k+1-b)]

조건 (가)에서 [eqn: g(3)=a]이므로 [eqn: k=3]을 각 경우에 대입하여 [eqn: b]의 값을 구해보자.

(ⅰ) [eqn: 3 leq b-2], 즉 [eqn: b geq 5]일 때

[eqn: g(3) = 4a(b-4) = a]에서 [eqn: b = {17} over {4}]이므로 조건에 모순이다.

(ⅱ)-① [eqn: b-2 leq 3 leq b-1], 즉 [eqn: 4 leq b leq 5]일 때

[eqn: g(3) = a(3-b)^{2} = a]에서 [eqn: (b-3)^{2} = 1]이므로 [eqn: b=2] 또는 [eqn: b=4]이다.

조건에 의해 [eqn: b=4]이다.

(ⅱ)-② [eqn: b-1 < 3 leq b], 즉 [eqn: 3 leq b < 4]일 때

[eqn: g(3) = a(5-b)^{2} = a]에서 [eqn: (b-5)^{2} = 1]이므로 [eqn: b=4] 또는 [eqn: b=6]이다.

조건에 의해 만족하는 [eqn: b]의 값은 없다.

(ⅲ) [eqn: 3 > b], 즉 [eqn: b < 3]일 때

[eqn: g(3) = 4a(4-b) = a]에서 [eqn: b = {15} over {4}]이므로 조건에 모순이다.

따라서 [eqn: b=4]이다.

[eqn: b=4]를 대입하여 [eqn: g(2)]와 [eqn: g(6)]의 값을 구해보자.

[eqn: k=2]는 [eqn: k leq b-2]에 해당하므로

[eqn: g(2) = 4a(4-2-1) = 4a]

[eqn: k=6]은 [eqn: k > b]에 해당하므로

[eqn: g(6) = 4a(6+1-4) = 12a]

조건 (나)에서 [eqn: g(2)+g(6)=32]이므로

[eqn: 4a + 12a = 32]

[eqn: 16a = 32]

∴ [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: f(x) = 2(x-4)^{2}]이므로

[eqn: f(6) = 2(6-4)^{2} = 8]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

최고차항의 계수가 [eqn: a ( a < 0 )]인 두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(3)=g(3)]이다. 함수 [eqn: h(x)]를
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x LEQ 3 RIGHT )#g LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x>3 RIGHT )}}]
이라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=f(0)]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0], [eqn: 4], [eqn: 12]뿐이다.

(나) 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta] [eqn: LEFT ( alpha<3<beta RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-8]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha], [eqn: 3], [eqn: beta]이다.

[eqn: alpha+beta=6]일 때, [eqn: h(-2)+h(5)]의 값은?

③

조건 (가)에서 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=f(0)]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0], [eqn: 4], [eqn: 12]이다.

[eqn: x leq 3]일 때 [eqn: h(x)=f(x)]이고, [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: a]인 이차함수이므로 [eqn: f(0)=f(0)]에서 [eqn: x=0]은 교점이다.

[eqn: x > 3]일 때 [eqn: h(x)=g(x)]이므로 [eqn: g(4)=f(0)], [eqn: g(12)=f(0)]이다.

이차함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x = {4+12} over {2} = 8]에 대하여 대칭이므로

[eqn: g(x) = a(x-8)^{2} + q]라 하면

[eqn: g(4) = 16a + q = f(0)]에서 [eqn: q = f(0) - 16a]이다.

∴ [eqn: g(x) = a(x-8)^{2} + f(0) - 16a]

[eqn: f(3) = g(3)]이므로

[eqn: f(3) = a(3-8)^{2} + f(0) - 16a = 9a + f(0)]이다.

[eqn: f(x) = ax^{2} + bx + f(0)]이라 하면

[eqn: f(3) = 9a + 3b + f(0)]이므로 [eqn: 9a + f(0) = 9a + 3b + f(0)]에서 [eqn: b=0]이다.

∴ [eqn: f(x) = ax^{2} + f(0)]

조건 (나)에서 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-8]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: alpha], [eqn: 3], [eqn: beta]이므로 [eqn: h(3) = 2 times 3 - 8 = -2]이다.

[eqn: h(3) = f(3) = g(3) = -2]이므로

[eqn: f(3) = 9a + f(0) = -2]에서 [eqn: f(0) = -9a - 2]이다.

따라서 [eqn: f(x) = ax^{2} - 9a - 2], [eqn: g(x) = a(x-8)^{2} - 25a - 2]이다.

[eqn: x < 3]에서 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: alpha]이므로 [eqn: f(alpha) = 2 alpha - 8]에서

[eqn: a alpha^{2} - 9a - 2 = 2 alpha - 8]

즉, [eqn: a alpha^{2} - 2 alpha - 9a + 6 = 0]이다.

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: 3]이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + 3 = {2} over {a}]

∴ [eqn: alpha = {2} over {a} - 3] ……①

[eqn: x > 3]에서 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: beta]이므로 [eqn: g(beta) = 2 beta - 8]에서

[eqn: a( beta - 8)^{2} - 25a - 2 = 2 beta - 8]

즉, [eqn: a beta^{2} - (16a+2) beta + 39a + 6 = 0]이다.

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: 3], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: 3 + beta = {16a+2} over {a} = 16 + {2} over {a}]

∴ [eqn: beta = 13 + {2} over {a}] ……②

[eqn: alpha + beta = 6]이므로 ①, ②에서

[eqn: left ( {2} over {a} - 3 right ) + left ( 13 + {2} over {a} right ) = 6]

[eqn: {4} over {a} + 10 = 6], [eqn: {4} over {a} = -4]

∴ [eqn: a = -1] ([eqn: a < 0]을 만족한다.)

[eqn: a = -1]을 대입하면

[eqn: f(x) = -x^{2} + 7], [eqn: g(x) = -(x-8)^{2} + 23]이다.

[eqn: h(-2) = f(-2) = -(-2)^{2} + 7 = 3]

[eqn: h(5) = g(5) = -(5-8)^{2} + 23 = 14]

∴ [eqn: h(-2) + h(5) = 3 + 14 = 17]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

그림과 같이 월요일부터 금요일까지 총 [eqn: 5]일 동안 진행되는 스포츠 주간에 서로 다른 네 종목 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 활동하기 위한 스포츠 활동 신청서가 있다.

매일 서로 다른 두 종목씩 하루도 빠짐없이 활동하도록 다음 규칙에 따라 스포츠 활동 신청서를 작성하는 경우의 수는? (단, 종목을 신청하는 순서는 고려하지 않는다.)

(가) 각 종목은 적어도 [eqn: 2]일을 선택하여 활동한다.

(나) 종목 [eqn: rmA]와 종목 [eqn: rmB]는 같은 요일에 활동하지 않는다.

(다) 종목 [eqn: rmB]와 종목 [eqn: rmC]는 하루만 같은 요일에 활동한다.

⑤

[eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 활동하는 일수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면 조건 (가)에 의해 [eqn: a geq 2], [eqn: b geq 2], [eqn: c geq 2], [eqn: d geq 2]이다.

조건 (나)에서 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 같은 요일에 활동하지 않으므로 [eqn: a+b leq 5]이다.

[eqn: a geq 2], [eqn: b geq 2]이므로 [eqn: a+b]의 값은 [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]이다.

(ⅰ) [eqn: a=2], [eqn: b=2]인 경우

[eqn: 5]일 중 [eqn: rmA]가 활동할 [eqn: 2]일과 [eqn: rmB]가 활동할 [eqn: 2]일을 정하는 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{2}} times {}{}_{{3}} C _{{2}} = 10 times 3 = 30]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 모두 활동하지 않는 나머지 [eqn: 1]일은 반드시 [eqn: rmC]와 [eqn: rmD]가 활동해야 한다.

조건 (다)에서 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]는 하루만 같은 요일에 활동하므로, [eqn: rmB]가 활동하는 [eqn: 2]일 중 하루는 [eqn: rmC]와, 나머지 하루는 [eqn: rmD]와 활동해야 한다.

이 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{2}} C _{{1}} = 2]

[eqn: rmA]가 활동하는 [eqn: 2]일에는 각각 [eqn: rmC] 또는 [eqn: rmD]와 활동할 수 있다.

이때 [eqn: rmC]와 [eqn: rmD]는 이미 [eqn: rmB]와 활동하지 않는 [eqn: 1]일과 [eqn: rmB]가 활동하는 날을 통해 각각 [eqn: 1]일 이상 활동하였으므로, [eqn: rmA]와 어떻게 활동하든 조건 (가)를 만족한다.

이 경우의 수는 [eqn: 2 times 2 = 4]

∴ [eqn: 30 times 2 times 4 = 240]

(ⅱ) [eqn: a=2], [eqn: b=3]인 경우

[eqn: 5]일 중 [eqn: rmA]가 활동할 [eqn: 2]일과 [eqn: rmB]가 활동할 [eqn: 3]일을 정하는 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{2}} = 10]

[eqn: rmB]가 활동하는 [eqn: 3]일 중 하루만 [eqn: rmC]와 활동하므로, [eqn: rmC]와 활동할 [eqn: 1]일을 고르는 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{{3}} C _{{1}} = 3]

[eqn: rmA]가 활동하는 [eqn: 2]일에는 각각 [eqn: rmC] 또는 [eqn: rmD]와 활동할 수 있다.

단, [eqn: rmC]의 총 활동 일수가 [eqn: 2]일 이상이어야 하므로 [eqn: rmA]가 활동하는 [eqn: 2]일 중 적어도 하루는 [eqn: rmC]와 활동해야 한다.

이 경우의 수는 [eqn: 2^{2} - 1 = 3]

∴ [eqn: 10 times 3 times 3 = 90]

(ⅲ) [eqn: a=3], [eqn: b=2]인 경우

[eqn: 5]일 중 [eqn: rmA]가 활동할 [eqn: 3]일과 [eqn: rmB]가 활동할 [eqn: 2]일을 정하는 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{3}} = 10]

[eqn: rmB]가 활동하는 [eqn: 2]일 중 하루만 [eqn: rmC]와 활동하므로, [eqn: rmC]와 활동할 [eqn: 1]일을 고르는 경우의 수는

[eqn: {}{}_{{2}} C _{{1}} = 2]

[eqn: rmA]가 활동하는 [eqn: 3]일에는 각각 [eqn: rmC] 또는 [eqn: rmD]와 활동할 수 있다.

단, [eqn: rmC]와 [eqn: rmD]의 총 활동 일수가 각각 [eqn: 2]일 이상이어야 하므로 [eqn: rmA]가 활동하는 [eqn: 3]일 동안 [eqn: rmC]와 [eqn: rmD]가 모두 적어도 한 번씩은 선택되어야 한다.

이 경우의 수는 [eqn: 2^{3} - 2 = 6]

∴ [eqn: 10 times 2 times 6 = 120]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 240 + 90 + 120 = 450]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 410]	② [eqn: 420]	③ [eqn: 430]

④ [eqn: 440]	⑤ [eqn: 450]

[eqn: rm{}{}_{{4}} P _{{3}} + {}_{{4}} C _{{3}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 28]

순열과 조합의 계산 정의에 의해

[eqn: rm{}{}_{{4}} P _{{3}} = 4 times 3 times 2 = 24]

[eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{3}} = {}{}_{{4}} C _{{1}} = 4]

따라서 [eqn: rm{}{}_{{4}} P _{{3}} + {}{}_{{4}} C _{{3}} = 24 + 4 = 28]

따라서 정답은 [eqn: 28]이다.

연립부등식
[eqn: {cases{3x LEQ x+16&#x+8 LEQ 4x-10&}}]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 21]

주어진 연립부등식에서 첫 번째 부등식을 풀면

[eqn: 3x leq x+16], [eqn: 2x leq 16], [eqn: x leq 8] ……①

두 번째 부등식을 풀면

[eqn: x+8 leq 4x-10], [eqn: -3x leq -18], [eqn: x geq 6] ……②

①, ②에서 연립부등식의 해는 [eqn: 6 leq x leq 8]

이를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]이므로 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 6 + 7 + 8 = 21]

따라서 정답은 [eqn: 21]이다.

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: A+B= LEFT ( {matrix{```````4&`````2#-1&`````4}} RIGHT )], [eqn: A-2B= LEFT ( {matrix{1&````````````2#8&```-11}} RIGHT )]
일 때, 행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합을 구하시오.

[eqn: 3]

주어진 두 행렬에 대한 식을 각각 ①, ②라 하면

[eqn: A+B= LEFT ( {matrix{4&`````2#-1&`````4}} RIGHT )] ……①

[eqn: A-2B= LEFT ( {matrix{1&```````````````2#8&```-11}} RIGHT )] ……②

①에서 ②를 빼면

[eqn: 3B= LEFT ( {matrix{4&2#-1&4}} RIGHT ) - LEFT ( {matrix{1&```````````````2#8&```-11}} RIGHT )], [eqn: B= LEFT ( {matrix{1&`````0#-3&`````5}} RIGHT )]

행렬 [eqn: B]의 모든 성분의 합은 [eqn: 1 + 0 + (-3) + 5 = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 2]이고, [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 3]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지를 구하시오.

[eqn: 6]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: P(x) = x^{2} + ax + b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

나머지정리에 의해 [eqn: P(1) = 2], [eqn: P(2) = 3]이므로

[eqn: P(1) = 1 + a + b = 2]에서 [eqn: a + b = 1] ……①

[eqn: P(2) = 4 + 2a + b = 3]에서 [eqn: 2a + b = -1] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

②에서 ①을 빼면 [eqn: a = -2]이고, 이를 ①에 대입하면 [eqn: b = 3]

따라서 [eqn: P(x) = x^{2} - 2x + 3]이다.

[eqn: P(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 나머지정리에 의해 [eqn: P(3)]이므로

[eqn: P(3) = 3^{2} - 2 times 3 + 3 = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

다음 조건을 만족시키는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

(가) 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수 중 [eqn: 7]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(나) 백의 자리의 수와 일의 자리의 수의 곱을 [eqn: 2]로 나눈 나머지는 [eqn: 1]이다.

[eqn: 88]

세 자리 자연수의 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하면

조건 (나)에서 [eqn: a times c]를 [eqn: 2]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이므로 [eqn: a times c]는 홀수이다.

따라서 [eqn: a]와 [eqn: c]는 모두 홀수이다.

조건 (가)에서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 [eqn: 7]의 개수는 [eqn: 1]이므로 다음 세 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: a = 7]인 경우

[eqn: b]는 [eqn: 7]이 아닌 수이므로 [eqn: 9]가지

[eqn: c]는 [eqn: 7]이 아닌 홀수이므로 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 9]의 [eqn: 4]가지

이 경우의 수는 [eqn: 1 times 9 times 4 = 36]

(ⅱ) [eqn: c = 7]인 경우

[eqn: a]는 [eqn: 7]이 아닌 홀수이므로 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 9]의 [eqn: 4]가지

[eqn: b]는 [eqn: 7]이 아닌 수이므로 [eqn: 9]가지

이 경우의 수는 [eqn: 4 times 9 times 1 = 36]

(ⅲ) [eqn: b = 7]인 경우

[eqn: a]는 [eqn: 7]이 아닌 홀수이므로 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 9]의 [eqn: 4]가지

[eqn: c]는 [eqn: 7]이 아닌 홀수이므로 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 9]의 [eqn: 4]가지

이 경우의 수는 [eqn: 4 times 1 times 4 = 16]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 세 자리 자연수의 개수는

[eqn: 36 + 36 + 16 = 88]

따라서 정답은 [eqn: 88]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-a)^{2}]으로 나눈 나머지는 [eqn: 2f(x)+6x^{2}-4]이다. [eqn: left { f(x) right }^{2}-2f(x)+3]을 [eqn: x^{2}-4x-5]로 나눈 나머지가 [eqn: 2]일 때, [eqn: f(a^{2})]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

다항식 [eqn: f(x)]를 이차식 [eqn: (x-a)^{2}]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2f(x)+6x^{2}-4]이므로 나머지의 차수는 [eqn: 1] 이하이어야 한다.

즉, [eqn: 2f(x)+6x^{2}-4]는 일차 이하의 다항식이므로 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: -3]인 이차식이다.

몫을 상수 [eqn: q]라 하면

[eqn: f(x) = q(x-a)^{2} + 2f(x) + 6x^{2} - 4]

[eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: -3]이므로 [eqn: q = -3]이다.

[eqn: f(x) = -3(x-a)^{2} + 2f(x) + 6x^{2} - 4]

정리하면 [eqn: f(x) = 3(x-a)^{2} - 6x^{2} + 4 = -3x^{2} - 6ax + 3a^{2} + 4] ……①

다항식 [eqn: left { f(x) right }^{2}-2f(x)+3]을 [eqn: x^{2}-4x-5], 즉 [eqn: (x-5)(x+1)]로 나눈 나머지가 [eqn: 2]이므로 나머지정리에 의해

[eqn: x = 5]일 때, [eqn: left { f(5) right }^{2} - 2f(5) + 3 = 2]

[eqn: left { f(5) right }^{2} - 2f(5) + 1 = 0], [eqn: left { f(5) - 1 right }^{2} = 0]

∴ [eqn: f(5) = 1]

[eqn: x = -1]일 때, [eqn: left { f(-1) right }^{2} - 2f(-1) + 3 = 2]

[eqn: left { f(-1) right }^{2} - 2f(-1) + 1 = 0], [eqn: left { f(-1) - 1 right }^{2} = 0]

∴ [eqn: f(-1) = 1]

①에 [eqn: x = 5]와 [eqn: x = -1]을 대입하면

[eqn: f(5) = -75 - 30a + 3a^{2} + 4 = 3a^{2} - 30a - 71 = 1]

[eqn: 3a^{2} - 30a - 72 = 0], [eqn: a^{2} - 10a - 24 = 0]

[eqn: (a-12)(a+2) = 0]

∴ [eqn: a = 12] 또는 [eqn: a = -2] ……②

[eqn: f(-1) = -3 + 6a + 3a^{2} + 4 = 3a^{2} + 6a + 1 = 1]

[eqn: 3a^{2} + 6a = 0], [eqn: 3a(a+2) = 0]

∴ [eqn: a = 0] 또는 [eqn: a = -2] ……③

②, ③을 동시에 만족하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: a = -2]이다.

따라서 [eqn: f(x) = -3x^{2} + 12x + 16]이고 [eqn: a^{2} = 4]이므로

[eqn: f(a^{2}) = f(4) = -3 times 16 + 12 times 4 + 16 = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

이차함수 [eqn: f(x) = {1} over {2} x^{2} - 2x]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmO], [eqn: rmA]라 하자. [eqn: 0 < m < 2]인 실수 [eqn: m]에 대하여 점 [eqn: rmO]를 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선 [eqn: l_{1}]이 이차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmA]를 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선 [eqn: l_{2}]가 이차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE]라 하고, 두 삼각형 [eqn: rmAEC], [eqn: rmADB]의 넓이를 각각 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}]라 하자. [eqn: S_{1} - S_{2}]의 최댓값을 [eqn: {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p times q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: O]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 12]

이차함수 [eqn: f(x) = {1} over {2} x^{2} - 2x]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: {1} over {2} x^{2} - 2x = 0]에서 [eqn: {1} over {2} x(x - 4) = 0]

[eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 4]이므로 [eqn: rmO(0, 0)], [eqn: rmA(4, 0)]이다.

직선 [eqn: l_{1}]은 점 [eqn: rmO]를 지나고 기울기가 [eqn: m]이므로 방정식은 [eqn: y = mx]이다.

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {1} over {2} x^{2} - 2x = mx]에서

[eqn: x^{2} - 2(m+2)x = 0], [eqn: x(x - 2m - 4) = 0]

점 [eqn: rmB]는 원점이 아니므로 [eqn: x = 2m+4]이고, [eqn: rmB LEFT ( it2m+4,`m LEFT ( 2m+4 RIGHT ) RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmD]는 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발이므로 [eqn: rmD LEFT ( it2m+4,`0 RIGHT )]이다.

직선 [eqn: l_{2}]는 점 [eqn: rmA(4, 0)]를 지나고 기울기가 [eqn: m]이므로 방정식은 [eqn: y = m(x - 4)]이다.

점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {1} over {2} x^{2} - 2x = m(x - 4)]에서

[eqn: x^{2} - 4x = 2mx - 8m], [eqn: x^{2} - 2(m+2)x + 8m = 0], [eqn: (x - 4)(x - 2m) = 0]

점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmA]가 아니므로 [eqn: x = 2m]이고, [eqn: rmC LEFT ( it2m,`m LEFT ( 2m-4 RIGHT ) RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmE]는 점 [eqn: rmC]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발이므로 [eqn: rmE LEFT ( it2m,`0 RIGHT )]이다.

[eqn: 0 < m < 2]이므로 [eqn: 2m < 4]이고 [eqn: 2m - 4 < 0]이다.

삼각형 [eqn: rmAEC]의 밑변의 길이는 [eqn: rmbarAE`=it4-2m]이고, 높이는 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표의 절댓값인 [eqn: -m(2m - 4) = m(4 - 2m)]이므로

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES (4-2m) TIMES m(4-2m)=2m ^{3} -8m ^{2} +8m]

삼각형 [eqn: rmADB]의 밑변의 길이는 [eqn: rmbarAD`=it2m]이고, 높이는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표인 [eqn: m(2m+4)]이므로

[eqn: S_{2} = {1} over {2} times 2m times m(2m+4) = 2m^{2}(m+2) = 2m^{3} + 4m^{2}]

두 삼각형의 넓이의 차는

[eqn: S_{1} - S_{2} = (2m^{3} - 8m^{2} + 8m) - (2m^{3} + 4m^{2}) = -12m^{2} + 8m]

[eqn: S_{1} - S_{2} = -12 left ( m^{2} - {2} over {3} m right ) = -12 left ( m - {1} over {3} right )^{2} + {4} over {3}]

[eqn: 0 < m < 2]이므로 [eqn: m = {1} over {3}]일 때 [eqn: S_{1} - S_{2}]는 최댓값 [eqn: {4} over {3}]을 가진다.

최댓값이 [eqn: {q} over {p}]이므로 [eqn: p = 3], [eqn: q = 4]이다.

∴ [eqn: p times q = 3 times 4 = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 8]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 8]장의 카드 중에서 [eqn: 6]장의 카드를 택하여 왼쪽부터 모두 일렬로 나열한다. 이 [eqn: 6]장의 카드에 적힌 수를 왼쪽부터 순서대로 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]이라 할 때, 세 자연수 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 를
[eqn: A = a_{1} times 100 + a_{2} times 10 + a_{3}],
[eqn: B = a_{4} times 10 + a_{5}],
[eqn: C = a_{6}]
이라 하자. 두 수 [eqn: A+B+C], [eqn: A-B-C] 가 모두 [eqn: 5]의 배수가 되도록 하는 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]의 모든 순서쌍 [eqn: (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6})]의 개수를 구하시오.

[eqn: 720]

[eqn: A+B+C]와 [eqn: A-B-C]가 모두 [eqn: 5]의 배수이므로 두 수의 합과 차도 [eqn: 5]의 배수이다.

[eqn: (A+B+C) + (A-B-C) = 2A]가 [eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: A]는 [eqn: 5]의 배수이다.

[eqn: (A+B+C) - (A-B-C) = 2(B+C)]가 [eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: B+C]는 [eqn: 5]의 배수이다.

[eqn: A = a_{1} times 100 + a_{2} times 10 + a_{3}]가 [eqn: 5]의 배수이려면 일의 자리 숫자인 [eqn: a_{3}]가 [eqn: 5]의 배수이어야 한다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수 중 [eqn: 5]의 배수는 [eqn: 5]뿐이므로 [eqn: a_{3} = 5]이다.

[eqn: B+C = a_{4} times 10 + a_{5} + a_{6}]가 [eqn: 5]의 배수이려면 [eqn: a_{4} times 10]이 항상 [eqn: 5]의 배수이므로 [eqn: a_{5} + a_{6}]가 [eqn: 5]의 배수이어야 한다.

[eqn: a_{3} = 5]이므로 [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]는 [eqn: 5]를 제외한 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8] 중에서 서로 다른 두 수이다.

[eqn: a_{5} + a_{6}]가 [eqn: 5]의 배수가 되는 순서쌍 [eqn: (a_{5}, a_{6})]를 구하면

(ⅰ) 합이 [eqn: 5]인 경우: [eqn: (1, 4)], [eqn: (4, 1)], [eqn: (2, 3)], [eqn: (3, 2)]의 [eqn: 4]개

(ⅱ) 합이 [eqn: 10]인 경우: [eqn: (2, 8)], [eqn: (8, 2)], [eqn: (3, 7)], [eqn: (7, 3)], [eqn: (4, 6)], [eqn: (6, 4)]의 [eqn: 6]개

(ⅲ) 합이 [eqn: 15]인 경우: [eqn: (7, 8)], [eqn: (8, 7)]의 [eqn: 2]개

따라서 순서쌍 [eqn: (a_{5}, a_{6})]의 개수는 [eqn: 4 + 6 + 2 = 12]이다.

[eqn: a_{3}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]를 제외한 나머지 [eqn: 5]개의 숫자 중 [eqn: 3]개를 택하여 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{4}]에 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: rm{}{}_{{5}} P _{{3}} = 5 times 4 times 3 = 60]이다.

따라서 구하는 모든 순서쌍의 개수는 [eqn: 1 times 12 times 60 = 720]이다.

따라서 정답은 [eqn: 720]이다.

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)={1} over {4}(x-4)^{2}+a]와 두 일차함수 [eqn: g(x)=bx+7], [eqn: h(x)=-{1} over {b}x+7]이 있다.
세 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]와 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha < beta])가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: left { f(x)-g(x) right } left { f(x)-h(x) right } = {1} over {16}(x-alpha)^{n}(x-beta)^{4-n}]

을 만족시키는 자연수 [eqn: n]이 존재한다. (단, [eqn: 1 leq n leq 3])

네 점 [eqn: rmA LEFT ( italpha,`f LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itbeta,`f LEFT ( beta RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( italpha,`0 RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( itbeta,`0 RIGHT )]에 대하여 사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m=p+q sqrt{5}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[eqn: 163]

[eqn: f(x)-g(x)]와 [eqn: f(x)-h(x)]를 구하면

[eqn: f(x)-g(x) = {1} over {4}x^{2} - (b+2)x + a - 3]

[eqn: f(x)-h(x) = {1} over {4}x^{2} + left ( {1} over {b} - 2 right )x + a - 3]

주어진 조건에서 [eqn: left { f(x)-g(x) right } left { f(x)-h(x) right } = {1} over {16}(x-alpha)^{n}(x-beta)^{4-n}]이므로 두 이차식의 곱이 일차식의 거듭제곱 꼴로 인수분해되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: n=2]인 경우

두 이차식이 각각 완전제곱식이 되어야 하므로 판별식을 [eqn: D_{1}], [eqn: D_{2}]라 하면

[eqn: D_{1} = (b+2)^{2} - (a-3) = 0]

[eqn: D_{2} = left ( {1} over {b} - 2 right )^{2} - (a-3) = 0]

[eqn: (b+2)^{2} = left ( {1} over {b} - 2 right )^{2}]이고 [eqn: b>0]이므로 [eqn: b+2 = {1} over {b} - 2]

[eqn: b^{2} + 4b - 1 = 0]에서 [eqn: b = -2 + sqrt{5}]

[eqn: a - 3 = (b+2)^{2} = 5]에서 [eqn: a = 8]

이때 [eqn: f(x)-g(x) = {1} over {4}(x - 2 sqrt{5})^{2}], [eqn: f(x)-h(x) = {1} over {4}(x + 2 sqrt{5})^{2}]이므로

[eqn: alpha < beta]에서 [eqn: alpha = -2 sqrt{5}], [eqn: beta = 2 sqrt{5}]

[eqn: f(x) = {1} over {4}(x-4)^{2} + 8 = {1} over {4}x^{2} - 2x + 12]이므로

[eqn: f(alpha) = 17 + 4 sqrt{5}], [eqn: f(beta) = 17 - 4 sqrt{5}]

사각형 [eqn: rmACDB]는 사다리꼴이므로 넓이는

[eqn: {1} over {2} times (beta - alpha) times left ( f(alpha) + f(beta) right ) = {1} over {2} times 4 sqrt{5} times 34 = 68 sqrt{5}]

(ⅱ) [eqn: n=1] 또는 [eqn: n=3]인 경우

두 이차식 중 하나는 완전제곱식이고 다른 하나는 서로 다른 두 실근을 가지며, 두 이차식은 공통근을 가져야 한다.

공통근을 [eqn: k]라 하면 [eqn: f(k)-g(k) = 0]이고 [eqn: f(k)-h(k) = 0]이므로 [eqn: g(k) = h(k)]

[eqn: bk + 7 = -{1} over {b}k + 7]에서 [eqn: left ( b + {1} over {b} right )k = 0]

[eqn: b>0]이므로 [eqn: k = 0]

[eqn: x=0]이 공통근이므로 [eqn: f(0)-g(0) = a - 3 = 0]에서 [eqn: a = 3]

[eqn: f(x)-g(x) = {1} over {4}x^{2} - (b+2)x = {1} over {4}x left ( x - 4(b+2) right )]

[eqn: f(x)-h(x) = {1} over {4}x^{2} + left ( {1} over {b} - 2 right )x = {1} over {4}x left ( x + 4 left ( {1} over {b} - 2 right ) right )]

둘 중 하나가 완전제곱식이 되려면 [eqn: b+2 = 0] 또는 [eqn: {1} over {b} - 2 = 0]

[eqn: b>0]이므로 [eqn: b = {1} over {2}]

이때 [eqn: f(x)-g(x) = {1} over {4}x(x-10)], [eqn: f(x)-h(x) = {1} over {4}x^{2}]이므로

두 식의 곱은 [eqn: {1} over {16}x^{3}(x-10)]이 되어 [eqn: n=3]을 만족한다.

[eqn: alpha < beta]에서 [eqn: alpha = 0], [eqn: beta = 10]

[eqn: f(x) = {1} over {4}(x-4)^{2} + 3 = {1} over {4}x^{2} - 2x + 7]이므로

[eqn: f(alpha) = 7], [eqn: f(beta) = 12]

사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times (10 - 0) times (7 + 12) = 95]

(ⅰ), (ⅱ)에서 사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이는 [eqn: 68 sqrt{5}] 또는 [eqn: 95]이다.

[eqn: 68 sqrt{5} = sqrt{23120}]이고 [eqn: 95 = sqrt{9025}]이므로

최댓값 [eqn: M = 68 sqrt{5}], 최솟값 [eqn: m = 95]

[eqn: M + m = 95 + 68 sqrt{5}]이므로 [eqn: p = 95], [eqn: q = 68]

∴ [eqn: p + q = 163]

따라서 정답은 [eqn: 163]이다.