2021학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

2021학년도 수능 나형은 30번 미분가능성 문제와 21번 수열 추론 문제에서 최상위권 변별력을 확보하려는 의도가 뚜렷했습니다. 특히 정적분으로 정의된 함수를 다루는 20번 문항은 도함수의 부호 변화를 정확히 해석해야만 풀 수 있는, 사고력을 깊게 측정하는 좋은 문제였어요. 평가원이 꾸준히 강조해 온 '함수 그래프의 추론'과 '조건에 따른 경우의 수 분석' 능력을 다시 한번 확인시켜 주었으며, 이는 앞으로의 수능 준비에서도 변치 않는 핵심 학습 방향이 될 것입니다. 기출문제를 통해 문제의 조건이 어떻게 함수의 형태로 구체화되는지 반복 훈련하는 것이 중요합니다.

문항 분석

• 14번

  — 도형과 등비급수 문제는 첫째항과 공비를 구하는 과정이 핵심이죠. 이 문제의 출제 의도는 복잡한 도형에서 삼각함수와 피타고라스 정리를 활용해 첫째항의 넓이를 정확히 계산하고, 닮음비를 찾아내는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 F₁의 위치를 특정하는 과정에서 헤매거나, 두 번째 직사각형의 한 변의 길이를 설정하고 비례식을 세우는 과정에서 계산 실수에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 ∠E₁F₁C₁ = π/2 와 F₁E₁ = F₁C₁ 조건에서 직각이등변삼각형을 발견하고, 이를 좌표평면에 올려 점과 직선 사이의 거리 공식을 활용하거나 삼각비를 이용해 길이를 구해내는 것입니다.
  

• 15번

  — 이 문항은 원순열의 기본 개념에 '이웃하는 조건'과 '이웃하지 않는 조건'을 결합하여 복합적인 상황의 경우의 수를 정확히 계산할 수 있는지를 묻고 있습니다. 많은 학생들이 'A와 B는 이웃한다'는 조건으로 전체를 배열한 후, 'B와 C가 이웃하는 경우'를 빼는 여사건 전략을 사용하는데, 이 과정에서 원순열의 특성 때문에 중복 계산이나 누락이 발생하기 쉽습니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 A와 B를 하나의 묶음으로 취급하여 먼저 원형으로 배열한 뒤, C가 B의 옆자리에 오지 않도록 남은 자리에 배치하는 방식으로 접근하는 것입니다. 즉, 전체 경우에서 특정 사건을 빼는 것보다, 조건을 만족하도록 직접 배치하는 것이 실수를 줄이는 길입니다.
  

• 20번

  — 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 도함수를 구하고, 그 도함수의 부호 변화를 통해 g(x)가 '오직 하나의 극값'만 가질 조건을 찾아내는, 도함수 활용의 종합판 같은 문제입니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 g(x)를 미분할 때 곱의 미분법을 적용해야 한다는 사실을 간과하는 것입니다. g'(x) = 2x∫₀ˣ f(t)dt 임을 정확히 유도하는 것이 첫 관문입니다. 이 문제의 진짜 핵심은 g'(x)=0의 근을 분석하는 데 있습니다. g(x)가 오직 하나의 극값을 갖는다는 것은 g'(x)의 부호 변화가 단 한 번만 일어난다는 뜻이므로, x=0 외에 ∫₀ˣ f(t)dt = 0 을 만족하는 근이 존재하지 않거나, 존재하더라도 중근이라서 부호 변화를 일으키지 않을 조건을 찾아내는 것이 결정적 힌트입니다.
  

• 21번

  — 짝수 항과 홀수 항의 점화식이 다르게 주어진 수열에서, a₇=2라는 구체적인 항의 값을 단서로 a₁을 역추적하는 능력을 평가하는 문제입니다. 이 문제의 함정은 a₇에서부터 거꾸로 항을 찾아 나갈 때, 각 단계마다 가능한 이전 항의 값이 여러 갈래로 나뉜다는 점입니다. 이 과정에서 '0 < a₁ < 1'이라는 최초의 범위를 계속 확인하지 않으면, 계산은 맞았지만 조건에 부합하지 않는 답으로 향하게 됩니다. 문제 해결의 첫 단추는 a₇과 a₃의 관계식(a₇ = a₂a₃ - 2)을 이용하여 a₃의 값을 먼저 구하는 것입니다. 그 후 a₃에서 a₁으로 가는 여러 경로를 탐색하며, 각 단계에서 계산된 항들이 점화식의 조건을 만족하는지, 그리고 최종적으로 a₁이 주어진 범위 안에 들어오는지를 끈질기게 확인하는 것이 유일한 풀이법입니다.
  

• 미적분 28번

  — 역함수, 합성함수의 미분법과 절댓값 함수의 미분가능성 조건이 결합된 고난도 문항입니다. 출제 의도는 여러 고급 미분 개념을 통합적으로 이해하고 적용할 수 있는지를 묻는 것이죠. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 (가) 조건의 (x-1)|h(x)|가 x=1에서 미분가능하다는 것을 단순히 h(1)=0으로만 해석하는 것입니다. h(1)=0은 물론이고, 좌우 미분계수가 같다는 조건까지 심도 있게 파고들어야 합니다. 문제 해결의 실마리는 g(x)의 함숫값과 역함수 g⁻¹(x)의 관계를 먼저 파악하는 것입니다. g(0)=1, g(1)=3 등을 계산해 g⁻¹(1)=0, g⁻¹(3)=1임을 알아내고, 이를 h(x) = f(g⁻¹(x))에 대입하여 f(0)과 f(1)에 대한 정보를 얻어내는 것이 문제 풀이의 시작입니다.
  

• 확률과 통계 29번

  — 주머니에서 공을 꺼내는 행위와 주사위를 던지는 행위가 결합된 복합 시행에서, '점수가 10점일 때, 꺼낸 공이 3번일' 조건부 확률을 계산하는 문제입니다. 이 문제의 핵심 출제 의도는 전체 사건을 조건에 맞게 정확히 분할(partition)하고, 각 경우의 확률을 빠짐없이 계산하는 능력입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 '주사위를 3번 던져 합이 10인 경우'와 '4번 던져 합이 10인 경우'의 수를 셀 때, 체계적인 기준 없이 나열하다가 중복하거나 빠뜨리는 것입니다. 이 문제를 풀어낼 결정적 실마리는 먼저 점수가 10점이 되는 전체 확률(분모)을 구하는 것입니다. 이는 ①3번 공을 뽑고 주사위 3개 합이 10일 확률과 ②4번 공을 뽑고 주사위 4개 합이 10일 확률의 합으로 구성됩니다. 이 두 가지 경우의 수를 정확히 구하는 것이 문제 해결의 90%를 차지합니다.
  

• 미적분 30번

  — 삼차함수와 주기함수의 합성은 수능 수학의 최종 보스 격인 주제입니다. 이 문제의 출제 의도는 합성함수의 극값 위치와 극댓값이 같다는 조건을 통해 원함수(f(x))의 그래프 개형과 성질을 완벽하게 추론해내는 능력을 측정하는 것입니다. 많은 학생들이 t = sin²(πx)로 치환한 후, t의 범위인 [0, 1]에서만 f(t)를 분석하려다 길을 잃습니다. 핵심 실마리는 0<x<1에서 t가 0→1→0으로 움직이는 동안 g(x)의 극대가 3개 발생하고 그 값이 모두 같다는 (가) 조건입니다. 이는 f(t)가 (0, 1) 구간에서 갖는 극댓값과 t=1에서의 함숫값 f(1)이 서로 같아야 함을 의미합니다. 이 관계와 최고/최소 조건을 이용하면 삼차함수 f(x)의 비율 관계를 활용하여 식을 확정할 수 있습니다.
  

• 수학 II 30번

  — 구간별로 다르게 정의된 함수 h(x)가 실수 전체 집합에서 '미분가능'할 조건을 이용하여 3차 함수 f(x)와 1차 함수 g(x)를 완벽하게 추론해내는 최고난도 문항입니다. 대부분의 학생들은 경계점인 x=1에서의 연속성과 미분계수 일치 조건만 생각하다가 길을 잃습니다. 이 문제의 숨겨진 함정은 x<1 구간의 h(x)=|f(x)-g(x)| 함수 자체의 미분가능성입니다. 절댓값 함수가 미분가능하려면 절댓값 안의 식이 0이 되는 지점에서 중근 이상을 가져야 합니다. 따라서 h(0)=0이라는 조건은 f(0)-g(0)=0임을 의미하고, 이 지점에서 미분가능해야 하므로 f(x)-g(x)는 x²을 인수로 가져야 한다는 사실을 깨닫는 것이 문제 해결의 결정적 돌파구입니다. 이 실마리를 잡아야만 f(x)와 g(x)의 관계식을 구체화하고 나머지 조건을 적용할 수 있습니다.