2020학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

2020학년도 수능 나형은 30번 문항에서 f(x)와 두 직선 y=x, y=-x의 위치 관계를 통해 함수를 추론하는 과정이 매우 까다로워 최상위권 변별력을 확실히 했습니다. 단순히 공식을 적용하는 문제보다는 15번, 21번처럼 수열의 구조를 깊이 있게 파악하거나 20번처럼 함수의 성질을 꼼꼼히 따져야 하는 준킬러 문항들이 많아 시간 안배에 어려움을 겪었을 수 있습니다. 이는 평가원이 수험생에게 단편적인 지식이 아닌, 개념 간의 유기적인 연결과 끈기 있는 문제 해결력을 요구하고 있음을 명확히 보여주는 시험이었습니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문항의 출제 의도는 등차수열의 합 S_n이 n에 대한 이차함수임을 이해하고, 그 합인 ΣS_k의 값이 최대가 될 조건을 추론하는 데 있습니다. 많은 학생들이 S_n이 최대가 되는 n값을 구하고 멈추는 함정에 빠지기 쉽습니다. 문제에서 요구하는 것은 S_n의 최댓값이 아니라, S_k들의 합이 최대가 되는 것이므로, S_k가 양수인 마지막 항까지 더해야 한다는 점이 결정적 실마리입니다. 먼저 S_n의 일반항을 구한 뒤, 부등식 S_n > 0을 풀어 k의 범위를 찾는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.
  

• 18번

  — 전형적인 프랙탈 도형과 등비급수 문제로, 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 능력을 평가합니다. 핵심은 첫 번째 큰 정사각형과 두 번째 작은 정사각형 사이의 '닮음비'를 찾는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 길이의 비와 넓이의 비를 혼동하는 것입니다. 닮음비가 k라면 넓이비는 k²임을 명심해야 합니다. 문제 해결의 실마리는 두 번째 정사각형의 꼭짓점인 B₁이 중심이 A인 부채꼴의 호 위에 있다는 점을 이용해 좌표를 설정하고 피타고라스 정리를 활용하여 두 정사각형의 변의 길이 관계를 식으로 나타내는 것입니다.
  

• 20번

  — 다항함수 p(x)와 조각적으로 정의된 함수 f(x)의 곱 p(x)f(x)의 연속성과 미분가능성을 묻는, 최상위권 변별을 위한 단골 유형입니다. 출제 의도는 불연속점과 첨점에서 다항함수의 인수가 어떤 역할을 하는지 깊이 있게 이해하고 있는지를 확인하는 것입니다. 학생들이 가장 빠지기 쉬운 함정은 ㄷ 보기에서 {f(x)}²이라는 새로운 함수를 다룰 때, f(x)의 미분가능성 조건과 혼동하는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 '연속'이 되려면 불연속을 만드는 지점에서 p(x)가 0이 되어야 하고, '미분가능'하려면 첨점에서 추가적인 조건까지 만족시켜야 한다는 기본 원리입니다. 각 지점(x=0, x=2)에서 좌극한, 우극한, 함숫값, 그리고 좌미분계수, 우미분계수를 꼼꼼히 따져보는 것이 정석입니다.
  

• 21번

  — 짝수 항과 홀수 항을 다르게 정의한 점화식을 주고 특정 항의 값으로부터 수열의 합을 구하게 하는, 추론 능력과 끈기를 요구하는 문항입니다. a₂₀=1이라는 값에서부터 역으로 추적해 나가는 과정에서 여러 갈래의 가능성이 생겨 길을 잃기 쉽다는 함정이 있습니다. 이 문제의 핵심 실마리는 구해야 하는 값이 Σa_k 라는 점에 있습니다. a₂ₙ + a₂ₙ₊₁ = (aₙ-1) + (2aₙ+1) = 3aₙ 이라는 규칙을 발견하면, 합을 계층적으로 묶어서(S₆₃ = a₁ + (a₂+a₃) + ...) 간단하게 계산할 수 있습니다. 63이라는 숫자가 2⁶-1이라는 사실이 이 풀이의 강력한 힌트입니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 다섯 자리 자연수를 만드는 이 문제는 각 숫자(홀수, 짝수)의 선택 횟수에 제한이 걸려있는 중복순열 문제입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 조건을 잘못 해석하여 경우를 누락하는 것입니다. (가) 조건은 각 홀수를 '안 쓰거나 한 번만' 쓸 수 있다는 뜻이고, (나) 조건은 각 짝수를 '안 쓰거나 한 번 또는 두 번' 쓸 수 있다는 의미입니다. 이 문제를 풀기 위한 결정적 실마리는 다섯 자리 수를 구성하는 숫자들의 '조합'을 먼저 결정하고, 그 다음에 '배열'하는 순서로 생각하는 것입니다. 예를 들어 '홀수 1개, 같은 짝수 2쌍 (예: 1, 2, 2, 4, 4)' 또는 '홀수 3개, 같은 짝수 1쌍 (예: 1, 3, 5, 2, 2)' 과 같이 숫자 구성의 패턴별로 케이스를 나누어 접근해야 실수를 막을 수 있습니다.
  

• 기하 29번

  — 선분 AB를 포함하면서 구에 접하는 두 평면 α, β를 찾는 것이 이 공간도형 문제의 핵심입니다. 많은 학생들이 평면의 방정식을 세우는 단계부터 막막함을 느낍니다. 결정적인 힌트는 두 평면의 법선벡터가 모두 벡터 AB에 수직이라는 점(내적=0)과, 원점(구의 중심)에서 각 평면까지의 거리가 반지름인 1과 같다는 점입니다. 이 두 가지 조건을 연립하여 법선벡터를 구하면 평면의 방정식이 결정되고, 접점 C, D의 좌표는 원점에서 평면에 내린 수선의 발이므로 쉽게 구할 수 있습니다. 사면체 ABCD의 부피는 밑면(예: △ABC)의 넓이와 높이(점 D에서 평면 ABC까지의 거리)를 구해 계산하면 됩니다.
  

• 미분 30번

  — 두 곡선이 오직 한 점에서 만나도록 하는, 즉 '접하도록' 하는 실수 a의 값을 찾는 문제입니다. 두 곡선 y=g(x), y=h(x)가 한 점 x=p에서 접할 조건은 함숫값이 같고(g(p)=h(p)), 미분계수가 같다(g'(p)=h'(p))는 두 가지입니다. 이 문제의 출제 의도는 이 두 개의 식을 연립하여 미지수(a와 p) 사이의 관계를 이끌어낼 수 있는지를 평가하는 것입니다. 연립 방정식을 풀 때, 2e^(x-a)라는 공통된 형태가 양쪽 식에 모두 등장하는 것을 포착하는 것이 문제 해결의 실마리입니다. 미분계수가 같다는 식에서 얻은 2e^(p-a)를 함숫값이 같다는 식에 대입하면 a를 소거하고 p와 t의 관계식을 얻을 수 있으며, 이를 통해 a를 t에 대한 함수 f(t)로 정리할 수 있습니다.
  

• 확률과 통계 29번

  — 여러 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하는 문제로, 중복조합과 여사건의 개념을 복합적으로 활용해야 합니다. 출제 의도는 복잡한 조건들을 논리적으로 해석하고 가장 효율적인 계산 전략을 세울 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 (다) 조건, 즉 'C가 받는 사탕과 초콜릿의 개수의 합은 1 이상이다'를 직접 구하려고 케이스를 나누다가 시간을 허비하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 결정적 실마리는 (다) 조건의 여사건, 즉 'C가 사탕과 초콜릿을 모두 하나도 받지 못하는 경우'를 생각하는 것입니다. (가), (나) 조건을 만족하는 전체 경우의 수(중복조합)를 구한 뒤, C가 아무것도 받지 못하는 경우의 수를 빼는 것이 가장 빠르고 정확한 길입니다.
  

• 미적분 30번

  — 최고난도 문항으로, 두 방정식 f(x)-x=0과 f(x)+x=0의 실근 개수 정보를 통해 삼차함수 f(x)의 그래프 개형과 식을 완벽하게 추론해내는 능력을 요구합니다. '서로 다른 실근의 개수가 2개'라는 말은 '함수의 그래프와 직선이 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만난다'는 의미로 해석하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 많은 학생들이 f(x)와 두 직선(y=x, y=-x)이 접한다는 사실까지는 파악하지만, 이를 어떻게 수식으로 옮겨야 할지 막막해하는 함정에 빠집니다. f(0)=0과 f'(1)=1이라는 조건이 결정적 실마리입니다. f(0)=0은 원점에서 두 직선과 f(x)가 모두 만난다는 뜻이고, f'(1)=1은 y=f(x)가 y=x와 x=1에서 접한다는 사실을 알려주므로, f(x)-x = ax(x-1)² (a>0) 형태로 식을 설정하고 나머지 조건을 대입하면 함수를 확정할 수 있습니다.