2024년 3월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 3월 학평은 21번 기하 문제의 복잡한 조건 해석이나 30번 함수의 그래프 추론에서 많은 학생들이 시간 부족을 겪었을 것입니다. 고1 수학(상), (하) 전 범위에 걸쳐 기본 개념을 충실히 물으면서도, 16번, 20번, 29번처럼 여러 개념을 융합하고 꼼꼼한 조건 분석을 요구하는 문항들로 변별력을 확실히 했습니다. 특히 함수, 도형의 방정식, 다항식 파트에서 깊이 있는 이해를 요구하는 문항들이 많았는데, 이는 결국 수능 고난도 문항의 문제 해결 능력과 직결되므로 이번 시험을 통해 자신의 취약점을 정확히 파악하고 보완하는 계기로 삼아야 합니다.

• 16번 — 이 문제는 직각삼각형에 내접하는 정사각형의 성질을 이용하는 문제입니다. 출제 의도는 도형의 닮음을 이용하여 변수 사이의 관계식을 세우고, 이를 방정식으로 풀어내는 능력을 평가하는 데 있습니다. 많은 학생들이 닮음 관계를 찾는 것 자체를 어려워하거나, 여러 개의 닮음 삼각형 중 어떤 것을 활용해야 할지 몰라 헤매는 경우가 많습니다. 결정적 실마리는 가장 큰 직각삼각형 ABC와 작은 두 직각삼각형 PBS, SRC가 모두 닮음이라는 사실을 이용하는 것입니다. 정사각형의 한 변의 길이를 두 개의 다른 닮음비를 이용해 표현한 후, 두 식이 같다고 놓으면 x와 y에 대한 핵심적인 관계식을 얻을 수 있습니다.
  
• 20번 — 함수의 합성(f(f(x)))과 치역 조건이 결합된 논리 추론 문제입니다. 조건 (가) x+f(f(x)) ≤ 5를 모든 x∈{1, 2, 3, 4}에 대해 만족해야 한다는 점을 놓치고 일부 값만 대입해보는 것이 가장 흔한 함정입니다. 또한, 조건 (나)에서 치역이 {1, 2, 4}라는 것은 f(x)의 함숫값이 될 수 있는 수가 세 개뿐이며, 특히 '3'은 절대로 함숫값이 될 수 없다는 강력한 힌트입니다. 문제 해결의 첫 단추는 치역에 3이 없다는 사실을 이용해 f(3)이 될 수 있는 값을 {1, 2, 4} 중 하나로 좁히고, 각 경우에 대해 조건 (가)를 만족하는지 모순을 찾아가며 가능한 함수 f를 결정하는 것입니다.
  
• 21번 — 두 직선에 동시에 접하는 원의 기하학적 성질을 파악하는 것이 핵심인 문제입니다. 출제 의도는 복잡해 보이는 설정 속에서 대칭성, 이등변삼각형 등 숨겨진 도형의 성질을 간파하고 이를 좌표와 결합하는 능력을 측정하는 것입니다. 대부분의 학생들은 처음부터 원의 중심을 (a, b), 반지름을 r로 놓고 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰려다 복잡한 계산의 늪에 빠지게 됩니다. 이 문제의 결정적 힌트는 두 직선 y=mx와 y=(1/m)x가 y=x에 대해 대칭이라는 점입니다. 따라서 원의 중심 A는 반드시 직선 y=x 위에 존재하며, 이를 통해 미지수를 하나 줄이고 시작하는 것이 문제 해결의 지름길입니다.
  
• 28번 — 집합의 연산과 자연수의 성질(약수, 짝수)이 결합된 문제입니다. n(A) × n((A∪B)ᶜ) = 15 라는 식을 해석하는 것이 문제의 시작입니다. 여기서 학생들이 빠지기 쉬운 함정은 k의 값이 짝수일 때와 홀수일 때 n(A)의 개수가 달라진다는 점, 그리고 집합 B(k의 약수)의 원소 중 짝수가 A에 포함되어 교집합을 형성한다는 점을 간과하는 것입니다. 이 문제의 실마리는 곱해서 15가 되는 정수 쌍 (n(A), n((A∪B)ᶜ))이 (3, 5), (5, 3) 등 몇 가지 경우밖에 없다는 사실을 이용하는 것입니다. 각 경우에 대해 k의 조건을 추적하며, 집합 A와 B의 원소 개수 공식 n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)를 만족하는 k값을 찾아내야 합니다.
  
• 29번 — 4차 방정식의 근의 성질과 다항식의 나눗셈을 종합적으로 이해해야 풀 수 있는 고난도 문항입니다. 조건 (가)에서 f(x)=0이 실근을 갖지 않는다는 것은, 계수가 모두 실수이므로 f(x)가 허근만을 가지며, 이 허근들은 반드시 켤레 복소수 쌍으로 존재함을 의미합니다. 즉, f(x)는 (x² + px + q)(x² + rx + s) 형태로 인수분해되며 두 이차식의 판별식은 모두 0보다 작습니다. 가장 결정적인 실마리는 조건 (나)에서 h(x)를 g(x)로 나눈 나머지가 -4x-1이라는 점입니다. 두 다항식 g(x), h(x)가 모두 최고차항 계수가 1인 2차식이므로, 나눗셈의 몫은 1일 수밖에 없습니다. 따라서 h(x) = 1 * g(x) + (-4x-1) 이라는 관계식을 얻을 수 있고, 이를 f(x) = g(x)h(x)에 대입하여 계수비교법으로 a, b를 구할 수 있습니다.
  
• 30번 — 무리함수와 절댓값이 포함된 piecewise(구간별로 정의된) 함수의 그래프를 추론하고, 방정식의 실근 개수와 그 값의 범위를 통해 함수를 결정하는 최고난도 문항입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 g(x)의 그래프 개형을 그리는 것, 특히 x > a 구간의 -f(-x+2a)+|b|가 어떤 변환을 거친 그래프인지 파악하는 것입니다. 조건 (가)의 h(α)×h(β)=4는 y=g(x) 그래프와 수평선 y=α, y=β의 교점 개수가 각각 2개씩임을 암시합니다. 이것이 이 문제의 핵심적인 첫 단추입니다. 이 정보를 통해 그래프의 극값 혹은 변곡점의 y좌표가 α와 β라는 것을 유추할 수 있으며, 조건 (나)에서 주어진 실근의 최솟값(-30)과 최댓값(15) 정보를 결합하면 함수의 모든 미정계수 a, b와 α, β의 값을 확정할 수 있습니다.