2024년 6월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 6월 모의고사는 21번과 30번에서 지수로그, 삼각함수 그래프에 대한 깊이 있는 추론 능력을 요구하며 상위권 변별력을 확실히 했습니다. 전반적으로 계산 자체는 복잡하지 않았지만, 함수의 그래프를 해석하고 조건을 만족하는 상황을 정확히 찾아내는 능력이 점수를 갈랐을 겁니다. 특히 15번, 20번, 29번처럼 삼각함수를 도형과 결합한 문항들은 수능에서도 꾸준히 출제되는 유형이므로, 사인법칙과 코사인법칙을 언제 어떻게 적용할지 체화하는 훈련이 반드시 필요합니다. 이번 시험을 통해 드러난 약점을 보완하여 그래프 해석 능력과 도형 분석력을 키우는 것이 앞으로의 수능 대비에 핵심이 될 것입니다.

• 15번 — 이 문제는 원 위의 점에 대한 삼각함수의 정의(cosα = x/r, sinα = y/r)를 정확히 이해하고 있는지를 묻고 있습니다. 많은 학생들이 점 A, B의 x좌표가 -2라는 사실을 이용해 y좌표를 설정하는 것까지는 성공하지만, 동경 OB가 나타내는 각 β가 3사분면 혹은 4사분면의 각이라는 점을 놓쳐 sinβ의 부호를 양수로 착각하는 실수를 범하기 쉽습니다. 문제 해결의 실마리는 점 A와 B의 좌표를 각각 (-2, √(r²-4)), (-2, -√(r²-4))로 두고, 각 좌표에 해당하는 sin, cos 값을 정의에 따라 정확히 대입하여 주어진 관계식을 푸는 것입니다.
  
• 18번 — 삼각함수의 합성을 이용한 부등식 풀이 능력을 평가하는 문항입니다. sinx + cosx 라는 형태를 보고 √2sin(x+π/4)로 변형할 수 있어야 문제 해결의 첫 단추를 꿸 수 있습니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 해의 범위가 '-π-α < x < α'라는 대칭적인 형태로 주어진다는 조건의 의미를 해석하는 것입니다. 이는 합성된 사인 함수의 그래프와 x축의 위치 관계, 그리고 해의 구간이 대칭성을 가진다는 점을 연결지어 생각해야 함을 암시합니다. 힌트는 먼저 y=√2sin(x+π/4)의 그래프를 그려보고, 이 값이 0보다 작은 구간을 파악한 뒤, 문제에서 제시된 해의 형태와 비교하여 α와 k의 관계를 추론하는 것입니다.
  
• 20번 — 하나의 도형 안에 원주각, 중심각, 사인법칙, 코사인법칙 등 여러 기하 개념이 복합적으로 녹아있는, 변별력 높은 문항입니다. 조건이 많아 무엇부터 시작해야 할지 막막하게 느껴질 수 있으며, 특히 'DE=EB'와 'CD:DE=1:√2'라는 조건을 식으로 변환하는 과정에서 시간을 허비하기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 반지름이 1인 원의 성질을 적극적으로 활용하는 것입니다. 삼각형 OBE가 OE=OB=1인 이등변삼각형이라는 점을 이용하여 ∠OBE를 미지수로 설정하고 코사인법칙을 적용하면 cos(∠OBE) 값을 구할 수 있으며, 이것이 연쇄적으로 다른 값들을 풀어내는 열쇠가 됩니다.
  
• 21번 — 함수와 그 역함수의 교점, 그리고 자연수 조건이 결합된 고난도 추론 문제입니다. 출제 의도는 지수함수 y=f(x)와 그 역함수의 교점이 직선 y=x 위에 있다는 성질을 이용하여, 방정식 3^x - n = x의 해를 분석하는 것입니다. 많은 학생들이 역함수를 직접 구하려고 시도하거나, 'h(n) < h(n+1)'이라는 조건의 의미를 파악하지 못해 헤매게 됩니다. 이 조건은 g(n)의 정수 부분이 n이 증가할 때 바뀌는 순간을 찾으라는 신호입니다. 따라서, y=3^x 그래프와 y=x+n 그래프의 교점 x좌표인 g(n)이 정수 k가 되는 순간, 즉 3^k = k+n 일 때를 경계로 삼아 n의 값에 따른 g(n)의 변화를 관찰하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
  
• 수학 29번 — 두 삼각형의 외접원 반지름 비율이 주어진 복합 도형 문제입니다. 사인법칙과 코사인법칙을 유기적으로 연결하여 활용하는 능력을 측정하는 것이 핵심 출제 의도입니다. 학생들은 보통 R₁:R₂=4:3 이라는 조건을 어떻게 사용해야 할지 몰라 당황하며, 두 삼각형이 공통변 AB를 가지고 있다는 사실을 효과적으로 이용하지 못하는 경우가 많습니다. 이 문제의 돌파구는 공통변 AB에 대해 각 삼각형에서 사인법칙을 적용하는 것입니다. 즉, 삼각형 ABD에서 AB/sin(∠ADB) = 2R₂, 삼각형 ABC에서 AB/sin(∠ACB) = 2R₁ 이라는 두 식을 세우고, 주어진 반지름 비율을 대입하면 두 각의 사인 값 사이의 관계를 얻을 수 있습니다. 이 관계식이 다른 조건들과 결합하여 문제를 풀어내는 결정적인 실마리가 됩니다.
  
• 수학 30번 — 움직이는 구간 내에서 삼각함수의 최댓값을 분석하는, 최고난도 문항입니다. 이 문제를 풀기 위해서는 삼각함수 그래프의 주기성과 대칭성에 대한 완벽한 이해가 필수적입니다. 학생들이 가장 어려워하는 지점은 길이가 1인 구간 [t, t+1]이 이동함에 따라 최댓값이 어떻게 변하는지 추론하고, 그 최댓값이 1/2이 되는 순간이 오직 두 번만 나타난다는 조건의 의미를 기하학적으로 해석하는 것입니다. 힌트는 f(x)의 그래프를 그린 후, 구간 [t, t+1] 안에 그래프의 꼭대기(대칭축)가 포함되는 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 최댓값을 t에 대한 함수로 표현해보는 것입니다. 최댓값이 1/2이 되는 경우는 구간의 양 끝점에서의 함숫값이 1/2이 될 때(f(t)=1/2 또는 f(t+1)=1/2) 발생하며, 이 상황을 만족하는 t가 α, β 두 개뿐이라는 사실을 이용해 k의 값을 특정해야 합니다.