수학ETF	2024_고2_3월	기출문제
	1~30

두 다항식
[eqn: A=3x^{2}+2x-1], [eqn: B=-x^{2}+x+3]
에 대하여 [eqn: A+B]를 간단히 하면?

③

[eqn: A = 3x^{2} + 2x - 1], [eqn: B = -x^{2} + x + 3]이므로

[eqn: A + B = (3x^{2} + 2x - 1) + (-x^{2} + x + 3)]

[eqn: = (3 - 1)x^{2} + (2 + 1)x + (-1 + 3)][eqn: = 2x^{2} + 3x + 2]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2x^{2}-x+2]	② [eqn: 2x^{2}+x-2]	③ [eqn: 2x^{2}+3x+2]

④ [eqn: 4x^{2}+x+4]	⑤ [eqn: 4x^{2}+3x+4]

[eqn: 1+{2} over {1-i}] 의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

④

주어진 식의 분모를 실수화하면

[eqn: {2} over {1-i} = {2(1+i)} over {(1-i)(1+i)}][eqn: = {2(1+i)} over {1-i^{2}}]

[eqn: i^{2} = -1]이므로

[eqn: = {2(1+i)} over {1-(-1)}][eqn: = {2(1+i)} over {2}][eqn: = 1+i]

따라서 주어진 식은

[eqn: 1+{2} over {1-i} = 1+(1+i) = 2+i]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: i]	② [eqn: 1-i]	③ [eqn: 1+i]

④ [eqn: 2+i]	⑤ [eqn: 2+2i]

[eqn: {} _{4} rmC _{2}]의 값은?

①

조합의 수 계산 공식에 의해

[eqn: {} _{4} rmC _{2} = {4 TIMES 3} over {2 TIMES 1} =6]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

그림은 함수 [eqn: f : X rightarrow X]를 나타낸 것이다.

[eqn: f^{-1}(4)]의 값은?

②

[eqn: f^{-1}(4) = a]라 하면 역함수의 정의에 의해 [eqn: f(a) = 4]

주어진 함수의 대응 관계에서 [eqn: f(2) = 4]이므로 [eqn: a = 2]

∴ [eqn: f^{-1}(4) = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^{3}+ax^{2}+12]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 2a-8]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

다항식 [eqn: P(x) = x^{3} + ax^{2} + 12]라 하면 나머지정리에 의해 [eqn: P(x)]를 [eqn: x - 2]로 나눈 나머지는 [eqn: P(2)]이다.

[eqn: P(2) = 2^{3} + a times 2^{2} + 12 = 4a + 20]

이때 나머지가 [eqn: 2a - 8]이므로 [eqn: 4a + 20 = 2a - 8], [eqn: a = -14]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -6]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -10]

④ [eqn: -12]	⑤ [eqn: -14]

원 [eqn: (x+5)^{2}+(y+11)^{2}=25]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 후, [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 원이 점 [eqn: (0, a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

③

원 [eqn: (x+5)^{2}+(y+11)^{2}=25]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 원의 방정식은

[eqn: (x+5)^{2}+(y-1+11)^{2}=25]

즉, [eqn: (x+5)^{2}+(y+10)^{2}=25]

이 원을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은 [eqn: y] 대신 [eqn: -y]를 대입하면

[eqn: (x+5)^{2}+(-y+10)^{2}=25]

즉, [eqn: (x+5)^{2}+(y-10)^{2}=25]

이 원이 점 [eqn: (0, a)]를 지나므로 [eqn: (0+5)^{2}+(a-10)^{2}=25]

[eqn: 25+(a-10)^{2}=25], [eqn: (a-10)^{2}=0], [eqn: a=10]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

연립부등식
[eqn: left { lpile { 2x+1 < 3 # x^{2}-2x-15 leq 0 } right .]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는? [3점]

①

[eqn: 2x+1 < 3]에서 [eqn: 2x < 2]

∴ [eqn: x < 1] ……①

[eqn: x^{2}-2x-15 leq 0]에서 [eqn: (x+3)(x-5) leq 0]

∴ [eqn: -3 leq x leq 5] ……②

①, ②를 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: -3 leq x < 1]

이를 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0]이므로 그 개수는 [eqn: 4]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: y={b} over {x-a}]의 그래프가 점 [eqn: (2, 4)]를 지나고 한 점근선의 방정식이 [eqn: x=4]일 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

④

함수 [eqn: y={b} over {x-a}]의 점근선의 방정식은 [eqn: x=a], [eqn: y=0]이고 한 점근선의 방정식이 [eqn: x=4]이므로 [eqn: a=4]

따라서 함수는 [eqn: y={b} over {x-4}]이다.

이 함수의 그래프가 점 [eqn: (2, 4)]를 지나므로

[eqn: 4 = {b} over {2-4}], [eqn: 4 = {b} over {-2}], [eqn: b=-8]

[eqn: a-b = 4 - (-8) = 12]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

두 직선 [eqn: x+3y+2=0], [eqn: 2x-3y-14=0]의 교점을 지나고 직선 [eqn: 2x+y+1=0]과 평행한 직선의 [eqn: x]절편은?

③

두 직선 [eqn: x+3y+2=0], [eqn: 2x-3y-14=0]의 교점을 구하기 위해 연립하면

[eqn: x+3y+2=0] ……①

[eqn: 2x-3y-14=0] ……②

①, ②를 더하면 [eqn: 3x-12=0]에서 [eqn: x=4]

[eqn: x=4]를 ①에 대입하면 [eqn: 4+3y+2=0]에서 [eqn: y=-2]

따라서 두 직선의 교점의 좌표는 [eqn: (4, -2)]이다.

직선 [eqn: 2x+y+1=0]을 [eqn: y]에 대하여 풀면 [eqn: y=-2x-1]이므로 이 직선의 기울기는 [eqn: -2]이다.

구하는 직선은 직선 [eqn: 2x+y+1=0]과 평행하므로 기울기가 [eqn: -2]이다.

기울기가 [eqn: -2]이고 점 [eqn: (4, -2)]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y = -2x + k]라 하면

[eqn: -2 = -2 times 4 + k], [eqn: -2 = -8 + k], [eqn: k = 6]

따라서 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y = -2x + 6]이다.

이 직선의 [eqn: x]절편을 구하기 위해 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0 = -2x + 6]에서 [eqn: x = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

삼차방정식 [eqn: x^{3}+x^{2}-2=0]의 한 허근을 [eqn: a+bi]라 할 때, [eqn: left | a right |+left | b right |]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이고, [eqn: i=sqrt{-1}]이다.) [3점]

⑤

삼차방정식 [eqn: x^{3}+x^{2}-2=0]에서 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x^{2}+2x+2)=0]

[eqn: x=1]은 실근이므로 허근은 이차방정식 [eqn: x^{2}+2x+2=0]의 근이다.

근의 공식에 의해 [eqn: x = -1 +- sqrt{1^{2}-2} = -1 +- i]

한 허근이 [eqn: a+bi]이므로 [eqn: a=-1], [eqn: b=1] 또는 [eqn: a=-1], [eqn: b=-1]이다.

어느 경우든 [eqn: left | a right | = 1], [eqn: left | b right | = 1]이므로

[eqn: left | a right | + left | b right | = 1 + 1 = 2]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

전체집합 [eqn: U=left { 1, 2, 4, 8, 16, 32 right }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A cap B=left { 2, 8 right }]

(나) [eqn: A^{C} cup B=left { 1, 2, 8, 16 right }]

집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은?

⑤

조건 (나)에서 [eqn: A^{C} cup B = left { 1, 2, 8, 16 right }]이므로

드모르간의 법칙에 의해 [eqn: (A^{C} cup B)^{C} = A cap B^{C} = A - B]이다.

전체집합 [eqn: U = left { 1, 2, 4, 8, 16, 32 right }]에서

[eqn: A - B = U - (A^{C} cup B) = left { 1, 2, 4, 8, 16, 32 right } - left { 1, 2, 8, 16 right } = left { 4, 32 right }]

집합 [eqn: A]는 [eqn: (A - B) cup (A cap B)]이고, 조건 (가)에서 [eqn: A cap B = left { 2, 8 right }]이므로

[eqn: A = left { 4, 32 right } cup left { 2, 8 right } = left { 2, 4, 8, 32 right }]

집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 2 + 4 + 8 + 32 = 46]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 26]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 41]	⑤ [eqn: 46]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT ( a+7 RIGHT ) x-1&``` LEFT ( x<1 RIGHT )#LEFT ( -a+5 RIGHT ) x+2a+1&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]
의 역함수가 존재하도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 개수는?

②

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재하려면 [eqn: f(x)]는 일대일 대응이어야 한다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]을 기준으로 두 일차함수로 정의되어 있으므로, 두 일차함수의 기울기의 부호가 서로 같아야 한다.

즉, [eqn: (a+7)(-a+5) > 0]에서 [eqn: (a+7)(a-5) < 0]

∴ [eqn: -7 < a < 5]

이를 만족하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -6], [eqn: -5], [eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 11]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

좌표평면에서 원 [eqn: (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}]과 직선 [eqn: y=x+5]가 서로 다른 두 점 A, B에서 만나고, [eqn: rmoverline{AB}=2sqrt{2}] 이다. 양수 [eqn: r]의 값은?

②

원 [eqn: (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}]과 직선 [eqn: y=x+5]가 만나는 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 구하기 위해 두 식을 연립하면

[eqn: (x-2)^{2}+(x+5-3)^{2}=r^{2}]

[eqn: (x-2)^{2}+(x+2)^{2}=r^{2}]

[eqn: x^{2}-4x+4+x^{2}+4x+4=r^{2}]

[eqn: 2x^{2}+8-r^{2}=0] ……①

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 이차방정식 ①의 두 근이므로 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha+beta=0], [eqn: alpha beta={8-r^{2}} over {2}]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 직선 [eqn: y=x+5] 위의 점이므로

[eqn: rmA LEFT ( italpha,`alpha+5 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itbeta,`beta+5 RIGHT )]라 할 수 있다.

[eqn: {bar{rmAB}} ^{2} =( alpha - beta ) ^{2} +( alpha +5-( beta +5)) ^{2}][eqn: =2(alpha-beta)^{2}]

[eqn: =2 left { (alpha+beta)^{2}-4 alpha beta right }][eqn: =2 left { 0-4 times {8-r^{2}} over {2} right }][eqn: =2(-16+2r^{2})]

[eqn: =4r^{2}-32]

문제에서 [eqn: rmoverline{AB}=2sqrt{2}]이므로 [eqn: {bar{rmAB}} ^{2} =8]에서

[eqn: 4r^{2}-32=8], [eqn: 4r^{2}=40], [eqn: r^{2}=10]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=sqrt{10}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: sqrt{10}]	③ [eqn: sqrt{11}]

④ [eqn: 2sqrt{3}]	⑤ [eqn: sqrt{13}]

그림과 같이 [eqn: k>1]인 상수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: rmA LEFT ( itk,`0 RIGHT )]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=sqrt{x}], [eqn: y=sqrt{kx}] 와 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이의 [eqn: 2]배일 때, 삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

⑤

점 [eqn: rm A` it (k,0)]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선의 방정식은 [eqn: x = k]이므로

이 직선이 두 곡선 [eqn: y = sqrt{x}], [eqn: y = sqrt{kx}]와 만나는 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: k > 1]에서 각각 [eqn: rmB`it(k, sqrt {k} )], [eqn: rmC`it(k, sqrt {k ^{2}} )] 즉, [eqn: rmC`it(k,k)]이고

삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times k times sqrt{k}]이고

삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이는 밑변을 선분 [eqn: rmBC]라 할 때 높이가 [eqn: k]이므로 [eqn: {1} over {2} times (k - sqrt{k}) times k]이고

삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이의 [eqn: 2]배이므로

[eqn: {1} over {2} times (k - sqrt{k}) times k = 2 times left ( {1} over {2} times k times sqrt{k} right )]

[eqn: k > 1]에서 양변을 [eqn: {1} over {2} k]로 나누면

[eqn: k - sqrt{k} = 2 sqrt{k}], [eqn: k = 3 sqrt{k}]

양변을 제곱하면 [eqn: k^{2} = 9k]에서

[eqn: k^{2} - 9k = 0], [eqn: k(k - 9) = 0]

[eqn: k > 1]이므로 [eqn: k = 9]이고

삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times (9 - sqrt{9}) times 9 = {1} over {2} times 6 times 9 = 27]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

다음 조건을 만족시키는 복소수 [eqn: z]가 존재하도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

(가) [eqn: bar{z}=-z]

(나) [eqn: z^{2}+(k^{2}-3k-4)z+(k^{2}+2k-8)=0]

①

조건 (가)에서 [eqn: bar{z} = -z]이므로 복소수 [eqn: z]는 순허수이거나 [eqn: 0]이다.

[eqn: z = bi] ([eqn: b]는 실수)라 하면

조건 (나)의 방정식에 대입하여

[eqn: (bi)^{2} + (k^{2}-3k-4)bi + (k^{2}+2k-8) = 0]

[eqn: -b^{2} + (k^{2}-3k-4)bi + k^{2}+2k-8 = 0]

[eqn: (k^{2}+2k-8-b^{2}) + (k^{2}-3k-4)bi = 0]

[eqn: k], [eqn: b]는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해

[eqn: k^{2}+2k-8-b^{2} = 0] ……①

[eqn: (k^{2}-3k-4)b = 0] ……②

②에서 [eqn: b=0] 또는 [eqn: k^{2}-3k-4=0]이다.

(ⅰ) [eqn: b=0]일 때

①에 대입하면 [eqn: k^{2}+2k-8 = 0], [eqn: (k+4)(k-2) = 0]

∴ [eqn: k = -4] 또는 [eqn: k = 2]

(ⅱ) [eqn: b neq 0]일 때

②에서 [eqn: k^{2}-3k-4 = 0], [eqn: (k-4)(k+1) = 0]

∴ [eqn: k = 4] 또는 [eqn: k = -1]

[eqn: k=4]일 때, ①에서 [eqn: b^{2} = 4^{2}+2 times 4-8 = 16 > 0]이므로 실수 [eqn: b]가 존재한다.

[eqn: k=-1]일 때, ①에서 [eqn: b^{2} = (-1)^{2}+2 times (-1)-8 = -9 < 0]이므로 실수 [eqn: b]가 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: -4], [eqn: 2], [eqn: 4]이다.

모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은 [eqn: -4 times 2 times 4 = -32]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: -32]	② [eqn: -16]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

그림과 같이 [eqn: rmangle A = 90^{circ}], [eqn: rmoverline{BC} = sqrt{10}], [eqn: {bar{rmAB}} =x], [eqn: {bar{rmAC}} =y]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC] 위에 두 점 [eqn: rmQ], [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmAC] 위에 점 [eqn: rmS]를 사각형 [eqn: rmPQRS]가 정사각형이 되도록 잡는다. [eqn: rmoverline{PQ} = {2} over {7} sqrt{10}]일 때, [eqn: x^{3} - y^{3}]의 값은? (단, [eqn: x > y])

③

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: x^{2} + y^{2} = ( sqrt{10} )^{2} = 10] ……①

점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, [eqn: {bar{rmAH}} =h]라 하면

[eqn: rmtriangle ABC]의 넓이에서 [eqn: {1} over {2} times x times y = {1} over {2} times sqrt{10} times h]

∴ [eqn: h = {xy} over {sqrt{10}}] ……②

정사각형 [eqn: rmPQRS]에서 [eqn: rmbarPS], [eqn: rmbarBC]가 평행하므로 [eqn: rmtriangle APS]와 [eqn: rmtriangle ABC]는 닮음이다.

이때 닮음비는 [eqn: rmoverline{PS} : overline{BC} = {2} over {7} sqrt{10} : sqrt{10} = 2 : 7]이다.

[eqn: rmtriangle APS]의 높이는 [eqn: h- {bar{rmPQ}} =h- {2} over {7} sqrt {10}]이므로

[eqn: ( h - {2} over {7} sqrt{10} ) : h = 2 : 7]에서 [eqn: 7h - 2 sqrt{10} = 2h], [eqn: 5h = 2 sqrt{10}]

∴ [eqn: h = {2} over {5} sqrt{10}]

②에 대입하면 [eqn: {xy} over {sqrt{10}} = {2} over {5} sqrt{10}]

∴ [eqn: xy = 4] ……③

①, ③에서

[eqn: (x-y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2} = 10 - 2 times 4 = 2]

[eqn: x > y]이므로 [eqn: x - y = sqrt{2}]

[eqn: x^{3} - y^{3} = (x-y)(x^{2} + xy + y^{2}) = sqrt{2} times (10 + 4) = 14 sqrt{2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 12 sqrt{2}]	② [eqn: 13 sqrt{2}]	③ [eqn: 14 sqrt{2}]

④ [eqn: 15 sqrt{2}]	⑤ [eqn: 16 sqrt{2}]

두 양수 [eqn: a], [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)={k} over {x}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rmP LEFT ( ita,`f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( ita+2,`f LEFT ( a+2 RIGHT ) RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: k]의 값은?

(가) 직선 [eqn: rmPQ]의 기울기는 [eqn: -1]이다.

(나) 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 할 때, 사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이는 [eqn: 8sqrt{5}]이다.

④

점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 좌표를 각각 [eqn: rm P`it LEFT ( a, {k} over {a} RIGHT )], [eqn: rm Q`it LEFT ( a+2, {k} over {a+2} RIGHT )]라 하면

조건 (가)에서 직선 [eqn: rm PQ]의 기울기가 [eqn: -1]이므로

[eqn: { {k} over {a+2} - {k} over {a} } over { (a+2) - a } = -1], [eqn: { -2k } over { 2a(a+2) } = -1]

[eqn: k = a(a+2)] ……①

①을 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 좌표에 대입하면

[eqn: rm P`it(a,a+2)], [eqn: rm Q(ita+2,a)]이다.

조건 (나)에서 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 원점에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rm R], [eqn: rm S]의 좌표는

[eqn: rm R(it-a,-a-2)], [eqn: rm S(it-a-2,-a)]이다.

네 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]를 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm PQRS]는 네 직선 [eqn: x = a+2], [eqn: x = -a-2], [eqn: y = a+2], [eqn: y = -a-2]로 둘러싸인 한 변의 길이가 [eqn: 2a+4]인 정사각형에 내접한다.

사각형 [eqn: rm PQRS]의 넓이는 이 정사각형의 넓이에서 네 모퉁이의 직각삼각형의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: (2a+4)^{2} - 2 times left ( {1} over {2} times 2 times 2 right ) - 2 times left ( {1} over {2} times (2a+2) times (2a+2) right )]

[eqn: = 4(a+2)^{2} - 4 - 4(a+1)^{2}][eqn: = 4(a^{2} + 4a + 4) - 4 - 4(a^{2} + 2a + 1)]

[eqn: = 8a + 8]

조건 (나)에서 사각형 [eqn: rm PQRS]의 넓이가 [eqn: 8sqrt{5}]이므로

[eqn: 8a + 8 = 8sqrt{5}], [eqn: a + 1 = sqrt{5}], [eqn: a = sqrt{5} - 1]

①에 의해

[eqn: k = a(a+2) = (sqrt{5} - 1)(sqrt{5} + 1) = 5 - 1 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

그림과 같이 둥근 의자 [eqn: 3]개와 사각 의자 [eqn: 3]개가 교대로 나열되어 있다.

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 2]명이 다음 조건을 만족시키도록 이 [eqn: 6]개의 의자에 모두 앉는 경우의 수는?

(가) [eqn: 2]학년 학생은 사각 의자에만 앉는다.

(나) 같은 학년 학생은 서로 이웃하여 앉지 않는다.

①

왼쪽부터 의자를 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]번이라 하면

둥근 의자는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]번이고 사각 의자는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]번이다.

조건 (가)에서 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명은 사각 의자에만 앉으므로, 사각 의자 [eqn: 3]개 중 [eqn: 2]개에는 [eqn: 2]학년 학생이 앉고 나머지 [eqn: 1]개에는 [eqn: 1]학년 또는 [eqn: 3]학년 학생 중 [eqn: 1]명이 앉아야 한다.

사각 의자에 앉을 [eqn: 1]학년 또는 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 1]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 4]이다.

선택된 [eqn: 1]명과 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명을 사각 의자 [eqn: 3]개에 배치하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]이다.

선택되지 않은 나머지 [eqn: 3]명을 둥근 의자 [eqn: 3]개에 배치하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]이다.

모든 학생을 의자에 앉히는 전체 경우의 수는 [eqn: 4 rm TIMES 6 rm TIMES 6=144]이다.

조건 (나)에서 같은 학년 학생은 서로 이웃하여 앉지 않아야 한다.

[eqn: 2]학년 학생은 사각 의자에만 앉으므로 서로 이웃할 수 없다.

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명이 서로 이웃하여 앉는 경우를 구해보자.

[eqn: 1]학년 학생이 이웃하려면 [eqn: 1]명은 사각 의자에, 다른 [eqn: 1]명은 둥근 의자에 앉아야 한다.

사각 의자에 앉을 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 1]명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이다.

이웃한 의자의 쌍은 [eqn: (1, 2)], [eqn: (2, 3)], [eqn: (3, 4)], [eqn: (4, 5)], [eqn: (5, 6)]으로 총 [eqn: 5]개이다.

선택된 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 1]명은 사각 의자에, 나머지 [eqn: 1]명은 둥근 의자에 앉으므로 이웃한 쌍에 배치하는 경우의 수는 [eqn: 5]이다.

남은 사각 의자 [eqn: 2]개에 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명을 배치하는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]이다.

남은 둥근 의자 [eqn: 2]개에 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 2]명을 배치하는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]이다.

따라서 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명이 이웃하여 앉는 경우의 수는 [eqn: 2 rm TIMES 5 rm TIMES 2 rm TIMES 2=40]이다.

마찬가지로 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 2]명이 서로 이웃하여 앉는 경우의 수도 [eqn: 40]이다.

사각 의자에는 [eqn: 1]학년 또는 [eqn: 3]학년 중 [eqn: 1]명만 앉을 수 있으므로 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명과 [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 2]명이 동시에 이웃하여 앉는 경우는 없다.

따라서 같은 학년 학생이 서로 이웃하여 앉는 경우의 수는 [eqn: 40 + 40 = 80]이다.

구하는 경우의 수는 [eqn: 144 - 80 = 64]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 64]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 96]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(0, 6)], [eqn: rmB(9, 0)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하자. 원 [eqn: x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0]과 직선 [eqn: rmAB]가 점 [eqn: rmP]에서만 만날 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

④

두 점 [eqn: rmA(0, 6)], [eqn: rmB(9, 0)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0 + (9-0) times {2} over {3} = 6]이고, [eqn: y]좌표는 [eqn: 6 + (0-6) times {2} over {3} = 2]이므로 [eqn: rmP(6, 2)]이다.

직선 [eqn: rmAB]는 [eqn: y]절편이 [eqn: 6]이고 [eqn: x]절편이 [eqn: 9]인 직선이므로 그 방정식은

[eqn: y = -{6} over {9}x + 6 = -{2} over {3}x + 6]

방정식 [eqn: x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0]과 직선 [eqn: y = -{2} over {3}x + 6]이 점 [eqn: rmP(6, 2)]에서만 만나려면, 두 식을 연립한 이차방정식이 [eqn: x=6]을 중근으로 가져야 한다.

[eqn: y = -{2} over {3}x + 6]을 [eqn: x^{2}+y^{2}-2ax-2by=0]에 대입하면

[eqn: x^{2} + left ( -{2} over {3}x + 6 right )^{2} - 2ax - 2b left ( -{2} over {3}x + 6 right ) = 0]

[eqn: x^{2} + {4} over {9}x^{2} - 8x + 36 - 2ax + {4} over {3}bx - 12b = 0]

[eqn: {13} over {9}x^{2} - 2 left ( a - {2} over {3}b + 4 right ) x - 12b + 36 = 0] ……①

이 이차방정식이 [eqn: x=6]을 중근으로 가지므로 ①은

[eqn: {13} over {9} (x-6)^{2} = 0]

즉, [eqn: {13} over {9}x^{2} - {52} over {3}x + 52 = 0]과 같아야 한다.

상수항을 비교하면

[eqn: -12b + 36 = 52]에서 [eqn: b = -{4} over {3}]

[eqn: x]의 계수를 비교하면

[eqn: -2 left ( a - {2} over {3}b + 4 right ) = -{52} over {3}], [eqn: a - {2} over {3}b + 4 = {26} over {3}]

[eqn: b = -{4} over {3}]를 대입하면

[eqn: a - {2} over {3} left ( -{4} over {3} right ) + 4 = {26} over {3}], [eqn: a + {8} over {9} + 4 = {78} over {9}]

[eqn: a = {78} over {9} - {36} over {9} - {8} over {9} = {34} over {9}]

∴ [eqn: a+b = {34} over {9} - {4} over {3} = {34} over {9} - {12} over {9} = {22} over {9}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {16} over {9}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {20} over {9}]

④ [eqn: {22} over {9}]	⑤ [eqn: {8} over {3}]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:X`` -> ``X]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x+f(f(x)) leq 5]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: LEFT { 1,`2,`4 RIGHT }]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(f(4))=1] ㄴ. [eqn: f(3)=4] ㄷ. 가능한 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 4]이다.

②

조건 (가)에서 [eqn: x=4]일 때 [eqn: 4+f(f(4)) leq 5]이므로 [eqn: f(f(4)) leq 1]이다.

조건 (나)에서 함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: left { 1, 2, 4 right }]이므로 [eqn: f(f(4))=1]이다.

따라서 ㄱ은 참이다.

[eqn: f(f(4))=1]에서 [eqn: f(4)=a]라 하면 [eqn: f(a)=1]이다.

치역이 [eqn: left { 1, 2, 4 right }]이므로 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4] 중 하나이다.

(ⅰ) [eqn: a=1]인 경우

[eqn: f(4)=1]이고 [eqn: f(1)=1]이다.

조건 (가)에서 [eqn: x=2]일 때 [eqn: f(f(2)) leq 3]이고, [eqn: x=3]일 때 [eqn: f(f(3)) leq 2]이다.

치역이 [eqn: left { 1, 2, 4 right }]이므로 [eqn: f(2)]와 [eqn: f(3)] 중 적어도 하나는 [eqn: 4]이다.

만약 [eqn: f(2)=4]라 하면 [eqn: f(f(2))=f(4)=1 leq 3]이다.

이때 치역에 [eqn: 2]가 포함되어야 하므로 [eqn: f(3)=2]이고, [eqn: f(f(3))=f(2)=4 leq 2]가 되어 조건 (가)에 모순이다.

만약 [eqn: f(3)=4]라 하면 [eqn: f(f(3))=f(4)=1 leq 2]이다.

이때 치역에 [eqn: 2]가 포함되어야 하므로 [eqn: f(2)=2]이고, [eqn: f(f(2))=f(2)=2 leq 3]이다.

따라서 [eqn: f(1)=1], [eqn: f(2)=2], [eqn: f(3)=4], [eqn: f(4)=1]이다.

(ⅱ) [eqn: a=2]인 경우

[eqn: f(4)=2]이고 [eqn: f(2)=1]이다.

조건 (가)에서 [eqn: x=2]일 때 [eqn: f(f(2))=f(1) leq 3]이므로 [eqn: f(1)]은 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다.

치역이 [eqn: left { 1, 2, 4 right }]이므로 [eqn: f(3)=4]이다.

[eqn: f(3)=4]일 때 [eqn: f(f(3))=f(4)=2 leq 2]이다.

따라서 [eqn: f(1)=1], [eqn: f(2)=1], [eqn: f(3)=4], [eqn: f(4)=2] 또는 [eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=1], [eqn: f(3)=4], [eqn: f(4)=2]이다.

(ⅲ) [eqn: a=4]인 경우

[eqn: f(4)=4]이고 [eqn: f(4)=1]이 되어 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 가능한 함수 [eqn: f]는 [eqn: 3]개이고, 모든 경우에 대하여 [eqn: f(3)=4]이다.

따라서 ㄴ은 참이고, ㄷ은 거짓이다.

따라서 정답은 ②이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 두 직선 [eqn: l_{1} : y=mx(m>1)]과 [eqn: l_{2} : y={1} over {m}x]에 동시에 접하는 원의 중심을 [eqn: rmA]라 하자. 직선 [eqn: l_{1}]과 원의 접점을 [eqn: rmP], 직선 [eqn: l_{2}]와 원의 접점을 [eqn: rmQ], 직선 [eqn: rmPQ]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 할 때, 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이 다음 조건을 만족시킨다.

	<보 기>
(가) [eqn: rmoverline{PQ}=overline{QR}] (나) 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이는 [eqn: 24]이다.

직선 [eqn: l_{1}]과 직선 [eqn: rmAQ]의 교점을 [eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmBQ]의 길이는? (단, 원의 중심 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면 위에 있고, [eqn: rmO]는 원점이다)

④

두 직선 [eqn: l_{1} : y=mx]와 [eqn: l_{2} : y={1} over {m}x]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

원은 두 직선에 동시에 접하므로, 제[eqn: 1]사분면에 있는 원의 중심 [eqn: rmA]는 직선 [eqn: y=x] 위에 있다.

두 접점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]도 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 [eqn: rmP LEFT ( ita,`ma RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( itma,`a RIGHT )] ([eqn: a>0])라 하면

직선 [eqn: rmPQ]의 기울기는 [eqn: {a-ma} over {ma-a} = -1]이므로 직선 [eqn: rmPQ]의 방정식은

[eqn: y - a = -(x - ma)]

즉, [eqn: y = -x + a(m+1)]이다.

점 [eqn: rmR]은 직선 [eqn: rmPQ]의 [eqn: x]절편이므로 [eqn: y=0]을 대입하면 [eqn: x = a(m+1)]에서 [eqn: rmR LEFT ( ita LEFT ( m+1 RIGHT ) ,`0 RIGHT )]이다.

조건 (가)에서 [eqn: rmoverline{PQ} = overline{QR}]이므로 [eqn: {bar{rmPQ}} ^{2} = {bar{rmQR}} ^{2}]에서

[eqn: (ma-a)^{2} + (a-ma)^{2} = (a(m+1)-ma)^{2} + (0-a)^{2}]

[eqn: 2a^{2}(m-1)^{2} = a^{2} + a^{2}]

[eqn: 2a^{2}(m-1)^{2} = 2a^{2}]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: (m-1)^{2} = 1]이고, [eqn: m>1]이므로 [eqn: m-1 = 1]

∴ [eqn: m = 2]

따라서 [eqn: rmP(`ita,2a)], [eqn: rmQ(it2a,a)]이다.

조건 (나)에서 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이가 [eqn: 24]이다.

세 점 [eqn: rmO(0, 0)], [eqn: rmP(`ita,2a)], [eqn: rmQ(it2a,a)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 한 변의 길이가 [eqn: 2a]인 정사각형의 넓이에서 세 직각삼각형의 넓이를 빼서 구할 수 있으므로

[eqn: 4a^{2} - left ( {1} over {2} times a times 2a + {1} over {2} times 2a times a + {1} over {2} times a times a right ) = 24]

[eqn: 4a^{2} - {5} over {2}a^{2} = 24], [eqn: {3} over {2}a^{2} = 24]

[eqn: a^{2} = 16]이고 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a = 4]

∴ [eqn: rmP(4, 8)], [eqn: rmQ(8, 4)]

원의 중심 [eqn: rmA]는 직선 [eqn: y=x] 위에 있으므로 [eqn: rmA LEFT ( itk,`k RIGHT )] ([eqn: k>0])라 하면

원점 [eqn: rmO], 중심 [eqn: rmA], 접점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAP]는 각 [eqn: rmOPA]가 직각인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{OA}} ^{2} = {bar{OP}} ^{2} + {bar{AP}} ^{2}]이다.

[eqn: k^{2} + k^{2} = (4^{2} + 8^{2}) + left ( (k-4)^{2} + (k-8)^{2} right )]

[eqn: 2k^{2} = 80 + 2k^{2} - 24k + 80], [eqn: 24k = 160]

∴ [eqn: k = {20} over {3}]

따라서 [eqn: rmA left ( {20} over {3}, {20} over {3} right )]이다.

점 [eqn: rmB]는 직선 [eqn: rmAQ]와 직선 [eqn: l_{1}]의 교점이다.

직선 [eqn: rmAQ]는 두 점 [eqn: rmA left ( {20} over {3}, {20} over {3} right )], [eqn: rmQ(8, 4)]를 지나므로 기울기는

[eqn: left ( 4 - {20} over {3} right ) div left ( 8 - {20} over {3} right ) = left ( {-8} over {3} right ) div left ( {4} over {3} right ) = -2]이다.

직선 [eqn: rmAQ]의 방정식은 [eqn: y - 4 = -2(x - 8)]에서 [eqn: y = -2x + 20]이다.

직선 [eqn: l_{1}]의 방정식은 [eqn: y = 2x]이므로 두 직선의 교점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 2x = -2x + 20]에서 [eqn: 4x = 20] ∴ [eqn: x = 5]

[eqn: y = 2 times 5 = 10]이므로 [eqn: rmB(5, 10)]이다.

선분 [eqn: rmBQ]의 길이는

[eqn: rm {bar{BQ}} = sqrt {(8-5) ^{2} +(4-10) ^{2}} ==3 sqrt {5}]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {3} over {2}sqrt{5}]	② [eqn: 2sqrt{5}]	③ [eqn: {5} over {2}sqrt{5}]

④ [eqn: 3sqrt{5}]	⑤ [eqn: {7} over {2}sqrt{5}]

두 집합
[eqn: A= LEFT { 3,`8,`12 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,`5,`9 RIGHT }]
에 대하여 집합 [eqn: A-B]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[eqn: 20]

두 집합 [eqn: A = left { 3, 8, 12 right }], [eqn: B = left { 3, 5, 9 right }]에서

차집합 [eqn: A - B]는 집합 [eqn: A]의 원소 중에서 집합 [eqn: B]에 속하는 원소를 제외한 집합이므로 [eqn: A - B = left { 8, 12 right }]

집합 [eqn: A - B]의 모든 원소의 합은 [eqn: 8 + 12 = 20]

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(3, 3)], [eqn: rmB(7, 11)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: (a, b)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

선분 [eqn: AB]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점의 좌표가 [eqn: (a, b)]이므로

[eqn: a = {2 times 7 - 1 times 3} over {2 - 1} = 11], [eqn: b = {2 times 11 - 1 times 3} over {2 - 1} = 19]

[eqn: a=11], [eqn: b=19]이므로 [eqn: a+b = 11 + 19 = 30]

따라서 정답은 [eqn: 30]이다.

직선 [eqn: y=-x+k]가 이차함수 [eqn: y=x^{2}-2x+6]의 그래프와 만나도록 하는 자연수 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 6]

직선 [eqn: y = -x + k]가 이차함수 [eqn: y = x^{2} - 2x + 6]의 그래프와 만나려면 이차방정식

[eqn: x^{2} - 2x + 6 = -x + k]

즉, [eqn: x^{2} - x + 6 - k = 0]이 실근을 가져야 한다.

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D geq 0]이어야 하므로

[eqn: D = (-1)^{2} - 4(6 - k) geq 0]에서 [eqn: k geq {23} over {4}]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

좌표평면 위의 점 [eqn: rmA(3, -1)]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rmB]라 하자. 직선 [eqn: rmAB]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 직선의 [eqn: y]절편을 구하시오.

[eqn: 24]

점 [eqn: rmA(3, -1)]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼 평행이동한 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: (3+1, -1-4)]

즉, [eqn: rmB(4, -5)]이다.

두 점 [eqn: rmA(3, -1)], [eqn: rmB(4, -5)]를 지나는 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는

[eqn: {-5 - (-1)} over {4 - 3} = -4]

이므로 직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y - (-1) = -4(x - 3)]

즉, [eqn: y = -4x + 11]이다.

직선 [eqn: y = -4x + 11]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 직선의 방정식은

[eqn: y - 1 = -4(x - 3) + 11], [eqn: y = -4x + 12 + 11 + 1]

즉, [eqn: y = -4x + 24]이다.

이 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 24]이다.

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p : 2x-a=0],
[eqn: q : x^{2}-bx+9>0]
이 있다. 명제 [eqn: p`` -> ``∽q]와 명제 [eqn: ∽p`` -> ``q]가 모두 참이 되도록 하는 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 12]

조건 [eqn: p]에서 [eqn: 2x-a=0]이므로 [eqn: x = {a} over {2}]

조건 [eqn: sim q]는 [eqn: x^{2}-bx+9 leq 0]

명제 [eqn: p rightarrow sim q]가 참이므로 [eqn: x = {a} over {2}]일 때 [eqn: x^{2}-bx+9 leq 0]이 성립해야 한다.

즉, [eqn: left ( {a} over {2} right )^{2} - b times {a} over {2} + 9 leq 0] ……①

조건 [eqn: sim p]는 [eqn: x neq {a} over {2}]

명제 [eqn: sim p rightarrow q]가 참이므로 [eqn: x neq {a} over {2}]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^{2}-bx+9 > 0]이 성립해야 한다.

이차부등식 [eqn: x^{2}-bx+9 > 0]이 [eqn: x neq {a} over {2}]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면, 이차방정식 [eqn: x^{2}-bx+9 = 0]이 중근 [eqn: x = {a} over {2}]를 가져야 한다.

이차방정식 [eqn: x^{2}-bx+9 = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = (-b)^{2} - 4 times 1 times 9 = 0]에서 [eqn: b^{2} - 36 = 0]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: b = 6]

[eqn: b = 6]을 [eqn: x^{2}-bx+9 = 0]에 대입하면

[eqn: x^{2}-6x+9 = 0], [eqn: (x-3)^{2} = 0] ∴ [eqn: x = 3]

따라서 중근이 [eqn: x = 3]이므로 [eqn: {a} over {2} = 3]에서 [eqn: a = 6]

[eqn: a = 6], [eqn: b = 6]을 ①에 대입하면

[eqn: 3^{2} - 6 times 3 + 9 = 0 leq 0]이므로 성립한다.

따라서 [eqn: a+b = 6+6 = 12]이다.

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5,`6 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`` -> ``X]의 개수를 구하시오.

(가) [eqn: x_{1} in X], [eqn: x_{2} in X]인 임의의 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]에 대하여
[eqn: 1 leq x_{1} < x_{2} leq 4]이면 [eqn: f(x_{1}) > f(x_{2})]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 역함수가 존재하지 않는다.

[eqn: 510]

조건 (가)에 의해 [eqn: f(1) > f(2) > f(3) > f(4)]이다.

집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: 6]개 중 서로 다른 [eqn: 4]개를 택하여 큰 수부터 차례대로 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]의 값으로 대응시키는 경우의 수는

[eqn: {} _{6} rmC _{4} = _{6} rmC _{2} =15]

[eqn: f(5)]와 [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 각각 [eqn: 6]이므로 조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 15 times 6 times 6 = 540]

조건 (나)에서 함수 [eqn: f]의 역함수가 존재하지 않으려면 함수 [eqn: f]가 일대일 대응이 아니어야 한다.

조건 (가)를 만족시키면서 일대일 대응인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]의 값을 정하고 남은 [eqn: 2]개의 원소를 [eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값으로 대응시키는 경우의 수와 같으므로

[eqn: 15 times 2! = 30]

구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 540 - 30 = 510]

따라서 정답은 [eqn: 510]이다.

[eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: k]에 대하여 전체집합
[eqn: U= LEFT { x``|``x는``k이하의``자연수 RIGHT }]
의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { x``|``x는``k이하의``짝수 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x``|``x는``k의``약수 RIGHT }]
가 [eqn: n(A) times n((A cup B)^{C})=15]를 만족시킨다. 집합 [eqn: (A cup B)^{C}]의 모든 원소의 곱을 구하시오.

[eqn: 189]

[eqn: n(A)]와 [eqn: n((A cup B)^{C})]는 모두 음이 아닌 정수이고, [eqn: n(A) times n((A cup B)^{C}) = 15]이므로 가능한 순서쌍 [eqn: (n(A), n((A cup B)^{C}))]는 [eqn: (1, 15)], [eqn: (3, 5)], [eqn: (5, 3)], [eqn: (15, 1)]이다.

(ⅰ) [eqn: n(A) = 1]일 때

[eqn: k] 이하의 짝수가 [eqn: 1]개이므로 [eqn: k=2] 또는 [eqn: k=3]이다.

[eqn: k=2]이면 [eqn: A = left { 2 right }], [eqn: B = left { 1, 2 right }]이므로 [eqn: A cup B = left { 1, 2 right }]에서 [eqn: (A cup B)^{C} = emptyset]

[eqn: k=3]이면 [eqn: A = left { 2 right }], [eqn: B = left { 1, 3 right }]이므로 [eqn: A cup B = left { 1, 2, 3 right }]에서 [eqn: (A cup B)^{C} = emptyset]

따라서 [eqn: n((A cup B)^{C}) = 0]이므로 조건을 만족하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: n(A) = 3]일 때

[eqn: k] 이하의 짝수가 [eqn: 3]개이므로 [eqn: k=6] 또는 [eqn: k=7]이다.

[eqn: k=6]이면 [eqn: A = left { 2, 4, 6 right }], [eqn: B = left { 1, 2, 3, 6 right }]이므로 [eqn: A cup B = left { 1, 2, 3, 4, 6 right }]에서 [eqn: (A cup B)^{C} = left { 5 right }]

[eqn: k=7]이면 [eqn: A = left { 2, 4, 6 right }], [eqn: B = left { 1, 7 right }]이므로 [eqn: A cup B = left { 1, 2, 4, 6, 7 right }]에서 [eqn: (A cup B)^{C} = left { 3, 5 right }]

따라서 [eqn: n((A cup B)^{C})]는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이므로 조건을 만족하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: n(A) = 5]일 때

[eqn: k] 이하의 짝수가 [eqn: 5]개이므로 [eqn: k=10] 또는 [eqn: k=11]이다.

[eqn: k=10]이면 [eqn: A = left { 2, 4, 6, 8, 10 right }], [eqn: B = left { 1, 2, 5, 10 right }]이므로 [eqn: A cup B = left { 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10 right }]에서 [eqn: (A cup B)^{C} = left { 3, 7, 9 right }]

이때 [eqn: n((A cup B)^{C}) = 3]이므로 조건을 만족한다.

[eqn: k=11]이면 [eqn: A = left { 2, 4, 6, 8, 10 right }], [eqn: B = left { 1, 11 right }]이므로 [eqn: A cup B = left { 1, 2, 4, 6, 8, 10, 11 right }]에서 [eqn: (A cup B)^{C} = left { 3, 5, 7, 9 right }]

이때 [eqn: n((A cup B)^{C}) = 4]이므로 조건을 만족하지 않는다.

(ⅳ) [eqn: n(A) = 15]일 때

[eqn: k] 이하의 짝수가 [eqn: 15]개이므로 [eqn: k=30] 또는 [eqn: k=31]이다.

[eqn: k=30]이면 [eqn: n(A) = 15], [eqn: B = left { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 right }]이므로 [eqn: n(B) = 8]이고 [eqn: A cap B = left { 2, 6, 10, 30 right }]에서 [eqn: n(A cap B) = 4]이다.

[eqn: n(A cup B) = 15 + 8 - 4 = 19]이므로 [eqn: n((A cup B)^{C}) = 30 - 19 = 11]

[eqn: k=31]이면 [eqn: n(A) = 15], [eqn: B = left { 1, 31 right }]이므로 [eqn: n(B) = 2]이고 [eqn: A cap B = emptyset]에서 [eqn: n(A cap B) = 0]이다.

[eqn: n(A cup B) = 15 + 2 - 0 = 17]이므로 [eqn: n((A cup B)^{C}) = 31 - 17 = 14]

따라서 조건을 만족하지 않는다.

따라서 (ⅰ) ~ (ⅳ)에서 조건을 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 10]이고, 이때 [eqn: (A cup B)^{C} = left { 3, 7, 9 right }]이다.

집합 [eqn: (A cup B)^{C}]의 모든 원소의 곱은 [eqn: 3 times 7 times 9 = 189]

따라서 정답은 [eqn: 189]이다.

다항식 [eqn: f(x)=x^{4}+(a+2)x^{3}+bx^{2}+ax+6]과 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 계수와 상수항이 모두 실수인 두 다항식 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 실근을 갖지 않는다.

(나) 다항식 [eqn: f(x)]는 두 다항식 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]를 인수로 갖고, [eqn: h(x)]를 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지는 [eqn: -4x-1]이다.

[eqn: a^{2}+b^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[eqn: 5]

조건 (가)에서 방정식 [eqn: f(x)=0]은 실근을 갖지 않으므로 다항식 [eqn: f(x)]는 실수 계수의 [eqn: 1]차식을 인수로 갖지 않는다.

조건 (나)에서 [eqn: h(x)]를 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지가 [eqn: -4x-1]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: 2]차 이상의 다항식이다.

[eqn: f(x)]가 [eqn: 4]차식이므로 [eqn: g(x)]와 [eqn: h(x)]의 차수의 합은 [eqn: 4] 이하이다.

만약 [eqn: g(x)]가 [eqn: 3]차식이면 [eqn: h(x)]는 [eqn: 1]차식이어야 하는데, 이는 [eqn: f(x)]가 [eqn: 1]차식을 인수로 갖지 않는다는 것에 모순이다.

따라서 [eqn: g(x)]와 [eqn: h(x)]는 모두 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: 2]차식이고, [eqn: f(x) = g(x)h(x)]이다.

[eqn: h(x)]를 [eqn: g(x)]로 나눈 몫은 [eqn: 1]이고 나머지가 [eqn: -4x-1]이므로

[eqn: h(x) = g(x) - 4x - 1]

[eqn: g(x) = x^{2} + px + q]라 하면

[eqn: h(x) = x^{2} + (p-4)x + q - 1]

[eqn: f(x) = (x^{2} + px + q)(x^{2} + (p-4)x + q - 1)]

[eqn: f(x) = x^{4} + (a+2)x^{3} + bx^{2} + ax + 6]이므로 양변의 계수를 비교하면

상수항에서 [eqn: q(q-1) = 6]

[eqn: q^{2} - q - 6 = 0]

[eqn: (q-3)(q+2) = 0] ∴ [eqn: q = 3] 또는 [eqn: q = -2]

(ⅰ) [eqn: q = -2]일 때

[eqn: g(x) = x^{2} + px - 2]

방정식 [eqn: g(x) = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D = p^{2} + 8 > 0]이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

이는 [eqn: f(x) = 0]이 실근을 갖지 않는다는 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: q = 3]일 때

[eqn: g(x) = x^{2} + px + 3], [eqn: h(x) = x^{2} + (p-4)x + 2]

[eqn: x^{3}]의 계수에서 [eqn: 2p - 4 = a + 2] ∴ [eqn: a = 2p - 6] ……①

[eqn: x]의 계수에서 [eqn: 2pq - p - 4q = a]

[eqn: q = 3]을 대입하면 [eqn: 6p - p - 12 = a] ∴ [eqn: a = 5p - 12] ……②

①, ②에서 [eqn: 2p - 6 = 5p - 12]

[eqn: 3p = 6] ∴ [eqn: p = 2]

[eqn: p = 2]를 ①에 대입하면 [eqn: a = -2]

[eqn: x^{2}]의 계수에서 [eqn: b = p^{2} - 4p + 2q - 1]

[eqn: p = 2], [eqn: q = 3]을 대입하면 [eqn: b = 4 - 8 + 6 - 1 = 1]

이때 [eqn: g(x) = x^{2} + 2x + 3], [eqn: h(x) = x^{2} - 2x + 2]이고, 두 이차방정식 [eqn: g(x) = 0], [eqn: h(x) = 0]은 모두 판별식이 음수이므로 실근을 갖지 않는다.

따라서 [eqn: a = -2], [eqn: b = 1]이므로

[eqn: a^{2} + b^{2} = (-2)^{2} + 1^{2} = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=sqrt{-x+a}-b]라 하자. 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | +b&``` LEFT ( `x LEQ a RIGHT )#-f LEFT ( -x+2a RIGHT ) + LEFT | b RIGHT |&``` LEFT ( x>a RIGHT )}}]
와 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha < beta])는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]의 교점의 개수를 [eqn: h(t)]라 하면 [eqn: h(alpha) times h(beta)=4]이다.

(나) 방정식 [eqn: left { g(x)-alpha right } left { g(x)-beta right } =0]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 최솟값은 [eqn: -30], 최댓값은 [eqn: 15]이다.

[eqn: left { g(150) right } ^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

[eqn: f(x) = sqrt{-x+a} - b]라 하면

[eqn: x > a]일 때, [eqn: -x+2a < a]이므로

[eqn: f(-x+2a) = sqrt{-(-x+2a)+a} - b = sqrt{x-a} - b]

따라서 [eqn: g(x)]는 다음과 같다.

[eqn: x leq a]일 때, [eqn: g(x) = left | sqrt{-x+a} - b right | + b]

[eqn: x > a]일 때, [eqn: g(x) = -sqrt{x-a} + b + left | b right |]

(ⅰ) [eqn: b leq 0]인 경우

[eqn: left | b right | = -b]이고, [eqn: x leq a]에서 [eqn: sqrt{-x+a} geq 0], [eqn: -b geq 0]이므로 [eqn: sqrt{-x+a} - b geq 0]

따라서 [eqn: x leq a]에서 [eqn: g(x) = sqrt{-x+a} - b + b = sqrt{-x+a}]

[eqn: x > a]에서 [eqn: g(x) = -sqrt{x-a} + b - b = -sqrt{x-a}]

이때 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: x]가 증가할 때 [eqn: y]가 감소하므로 임의의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: h(t) leq 1]이다.

이는 [eqn: h(alpha) times h(beta) = 4]를 만족시키지 못한다.

(ⅱ) [eqn: b > 0]인 경우

[eqn: left | b right | = b]이므로 [eqn: x > a]에서 [eqn: g(x) = -sqrt{x-a} + 2b]

[eqn: x leq a]에서 [eqn: sqrt{-x+a} - b = 0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x = a - b^{2}]

[eqn: x leq a - b^{2}]일 때 [eqn: sqrt{-x+a} - b geq 0]이므로 [eqn: g(x) = sqrt{-x+a}]

[eqn: a - b^{2} < x leq a]일 때 [eqn: sqrt{-x+a} - b < 0]이므로 [eqn: g(x) = -sqrt{-x+a} + 2b]

따라서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프를 그리면 [eqn: x = a - b^{2}]일 때 [eqn: y = b]이고, [eqn: x = a]일 때 [eqn: y = 2b]이다.

직선 [eqn: y=t]와의 교점의 개수 [eqn: h(t)]는

[eqn: t > 2b]일 때 [eqn: h(t) = 1]

[eqn: t = 2b]일 때 [eqn: h(t) = 2]

[eqn: b < t < 2b]일 때 [eqn: h(t) = 3]

[eqn: t = b]일 때 [eqn: h(t) = 2]

[eqn: t < b]일 때 [eqn: h(t) = 1]

조건 (가)에서 [eqn: h(alpha) times h(beta) = 4]이고 [eqn: alpha < beta]이므로 [eqn: h(alpha) = 2], [eqn: h(beta) = 2]이어야 한다.

따라서 [eqn: alpha = b], [eqn: beta = 2b]이다.

조건 (나)에서 방정식 [eqn: left { g(x)-alpha right } left { g(x)-beta right } = 0]의 해는 [eqn: g(x) = b] 또는 [eqn: g(x) = 2b]이다.

[eqn: g(x) = b]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x leq a - b^{2}]에서 [eqn: sqrt{-x+a} = b] ∴ [eqn: x = a - b^{2}]

[eqn: x > a]에서 [eqn: -sqrt{x-a} + 2b = b] ∴ [eqn: x = a + b^{2}]

[eqn: g(x) = 2b]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x leq a - b^{2}]에서 [eqn: sqrt{-x+a} = 2b] ∴ [eqn: x = a - 4b^{2}]

[eqn: a - b^{2} < x leq a]에서 [eqn: -sqrt{-x+a} + 2b = 2b] ∴ [eqn: x = a]

따라서 방정식의 해는 [eqn: x = a - 4b^{2}], [eqn: x = a - b^{2}], [eqn: x = a], [eqn: x = a + b^{2}]이다.

이 중 최솟값은 [eqn: a - 4b^{2}]이고 최댓값은 [eqn: a + b^{2}]이므로

[eqn: a - 4b^{2} = -30] ……①

[eqn: a + b^{2} = 15] ……②

②에서 ①을 빼면 [eqn: 5b^{2} = 45] ∴ [eqn: b^{2} = 9]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: b = 3]

②에 대입하면 [eqn: a + 9 = 15] ∴ [eqn: a = 6]

따라서 [eqn: x > 6]일 때 [eqn: g(x) = -sqrt{x-6} + 6]이므로

[eqn: g(150) = -sqrt{150-6} + 6 = -12 + 6 = -6]

∴ [eqn: left { g(150) right } ^{2} = (-6)^{2} = 36]

따라서 정답은 [eqn: 36]이다.