2024년 11월 고2 수학 학력평가 기출문제 PDF HWP 무료 다운로드

이번 10월 학평은 18번 지수로그 함수와 도형 문제에서부터 학생들의 체감 난이도가 급격히 상승했을 것입니다. 좌표를 설정하고 기하학적 조건을 수식으로 옮기는 과정에서 시간을 많이 소요했다면 뒤따라오는 19번, 20번 고난도 문항에서 연쇄적으로 무너지기 쉬운 구조였어요. 전반적으로 수1, 수2의 핵심 개념을 충실히 물으면서도, 특히 30번처럼 함수의 연속성과 그래프 개형 추론을 결합하여 교점의 개수 변화를 관찰하는 문항은 수능 22번을 정조준하는 평가원의 최신 출제 경향을 그대로 반영하고 있습니다. 이번 시험에서 틀린 고난도 문항들은 단순히 해설지를 보고 넘어갈 것이 아니라, 문제의 조건이 그래프의 어떤 특징으로 발현되는지를 스스로 복기하는 훈련이 반드시 필요합니다.

• 18번 — 이 문항의 출제 의도는 지수함수와 로그함수가 특정 조건 하에 역함수 관계를 가질 수 있음을 간파하고, 복잡한 대수적 연산이 아닌 그래프의 기하학적 성질을 이용해 문제를 해결하는 능력을 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 두 함수의 교점을 연립방정식으로 풀려고 시도하다가 시간을 낭비하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 B를 지나고 기울기가 -1인 직선입니다. 이는 역함수 관계를 강력하게 암시하는 장치이며, 점 C의 좌표를 점 B의 좌표를 이용해 y=x 대칭으로 표현할 수 있다는 사실을 깨닫는 순간 문제가 풀리기 시작합니다.
  
• 19번 — 전형적인 사인법칙과 코사인법칙을 활용하는 도형 문제지만, '호의 길이가 같다'는 조건을 어떻게 해석하느냐가 관건입니다. 이 조건은 단순히 두 호의 길이가 같다는 것을 넘어, 그 호에 대한 원주각의 크기가 같다는 핵심적인 기하학적 성질로 변환해서 사용해야 합니다. 많은 학생들이 이 조건을 현의 길이가 같다는 것(AD=DE)으로만 해석하고 원주각(∠ABD = ∠DBE)을 놓쳐 풀이의 방향을 잃기 쉽습니다. 삼각형 ABD에서 사인법칙을 적용하여 원 C의 반지름을 구하는 것이 첫 단추이며, 이를 위해선 코사인법칙을 먼저 활용해 각에 대한 정보를 얻어내야 합니다.
  
• 20번 — 평균변화율을 새로운 함수 g(t)로 정의한, 다소 생소한 유형의 문제입니다. 출제 의도는 평균변화율의 정의, 즉 원점 (0, f(0))과 점 (t, f(t))를 잇는 직선의 기울기라는 기하학적 의미를 제대로 이해하고 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 g(t)를 f(x)의 도함수와 혼동하는 것입니다. 이 문제를 풀어낼 결정적 실마리는 t의 범위에 따라 f(t)의 식이 달라지므로, g(t) 역시 t의 범위에 따라 다르게 정의되는 새로운 구간별 함수로 명확하게 작성하는 것입니다. g(t)의 식을 직접 구하고 나면, 각 보기의 참/거짓은 그래프를 그리거나 간단한 계산을 통해 판별할 수 있습니다.
  
• 21번 — 조건에 따라 점화식이 달라지는 수열의 귀납적 정의 문제입니다. a1부터 순서대로 a5, a6을 구하려고 하면 경우의 수가 너무 많아져 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 핵심은 a5와 a6의 관계식(`a5 + 2a6 = 2`)이 주어졌으므로, 이로부터 거꾸로 a5, a4, ..., a1을 추적해 나가는 역추적 능력을 평가하는 것입니다. a5가 1 이상일 때와 1 미만일 때로 경우를 나누어 a6을 a5로 표현하고, 주어진 관계식에 대입하여 가능한 a5의 값을 모두 찾는 것이 첫 단계입니다. 여기서 구해진 각각의 a5 값으로부터 다시 a4, a3 등으로 거슬러 올라가며 a1 ≥ 2라는 최종 조건을 만족하는 값들만 찾아내야 합니다.
  
• 29번 — 삼각방정식의 실근의 개수를 미정계수 k와 연관 지어 추론하는 문제입니다. 주어진 방정식을 `sin x = 1/4` 또는 `sin x = -k/4`로 분리하는 것까지는 쉬우나, '서로 다른 해의 개수가 2개'라는 조건을 만족하는 정수 k를 찾는 과정에서 실수가 발생하기 쉽습니다. 학생들은 `sin x = -k/4`가 근을 갖지 않을 조건만 생각하다가, 두 방정식의 해가 겹치는 특수한 경우를 놓칠 수 있습니다. 이 문제의 핵심은 y=sin x 그래프와 두 개의 상수함수 y=1/4, y=-k/4의 교점 개수를 관찰하는 것입니다. y=1/4는 이미 2개의 해를 가지므로, y=-k/4는 더 이상 새로운 해를 만들면 안 됩니다. 즉, y=-k/4가 y=sin x와 만나지 않거나(교점 0개), 혹은 y=1/4와 정확히 일치하여(교점 2개가 겹침) 새로운 해를 추가하지 않는 경우를 모두 고려해야 합니다.
  
• 30번 — 함수의 연속성, 절댓값 그래프, 그리고 교점 개수 함수의 불연속점을 종합적으로 분석해야 하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 복잡한 조건들을 해석하여 함수의 그래프 개형을 유일하게 결정하는 논리적 추론 능력을 평가하는 데 있습니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (가), (나) 조건이 의미하는 바를 |g(x)| 그래프의 특징과 연결 짓는 것입니다. (가) 조건은 h(t)가 비증가함수임을, (나) 조건은 h(t)가 불연속이 되는 지점, 즉 |g(x)| 그래프의 극값 또는 점근선의 y좌표가 t=0, a, β 뿐임을 알려줍니다. 결정적 실마리는 x=1에서의 연속 조건으로 f(x)와 a, b의 관계식을 세우고, |g(x)|의 그래프를 개략적으로 그린 뒤 (가), (나) 조건을 만족시키도록 그래프의 형태(극값, 점근선 등)를 구체화시켜 나가는 것입니다. 특히 h(0)=a 라는 조건은 |g(x)|의 그래프와 x축의 교점 개수가 a개라는 의미이므로, 이를 통해 함수 f(x)의 근에 대한 중요한 정보를 얻을 수 있습니다.