2018학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번과 30번 미적분 문항에서 그래프 개형 추론과 정적분으로 정의된 함수의 해석 능력이 당락을 갈랐을 겁니다. 전반적인 난이도는 이전 수능과 비슷하게 유지되었지만, 기하 29번처럼 공간지각 능력과 벡터의 내적을 복합적으로 활용해야 하는 문제들이 변별력을 확실히 확보했습니다. 이는 단순 공식 암기를 넘어, 각 개념이 기하학적으로 어떻게 구현되는지 깊이 있게 이해해야만 고득점이 가능하다는 평가원의 일관된 메시지를 다시 한번 확인시켜 줍니다. 특히 30번 문항은 적분 구간과 피적분 함수에 모두 변수가 포함된 형태로, 함수의 주기성과 대칭성을 파악하는 능력이 문제 해결의 핵심이었습니다.

문항 분석

• 17번

  — 삼각함수 극한 문제 중에서도 도형의 복잡도가 높은 편입니다. 출제 의도는 마름모와 수선의 발이라는 조건을 이용해 삼각형의 넓이를 각도 θ에 대한 식으로 정확히 표현할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 G의 y좌표(높이)나 선분 CF의 길이를 θ로 표현하는 과정에서 길을 잃는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 점 C, E의 좌표를 θ를 이용해 설정하거나, 삼각형 BCG에서 사인 법칙을 적용하여 변의 길이를 구하는 것에서 시작됩니다. 복잡해 보일수록 기본 도형(직각삼각형)으로 쪼개어 생각하는 연습이 중요합니다.
  

• 19번

  — 무한등비급수 도형 문제의 정석이지만, 첫째항과 공비를 구하는 과정이 만만치 않습니다. 출제 의도는 닮음을 이용하여 두 번째 도형의 한 변의 길이를 첫 번째 도형과의 관계식으로 표현할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 첫째항의 넓이를 구할 때, 정삼각형에서 부채꼴 넓이를 빼는 과정에서 계산 실수를 하거나, 공비를 구할 때 길이의 비와 넓이의 비의 관계(제곱)를 잊는 함정에 빠집니다. 결정적 실마리는 두 번째 정삼각형(A₂B₂C₂)의 한 변의 길이를 구하는 것인데, C₁B₂의 길이를 먼저 구하고 삼각형 C₁A₂C₂의 성질을 이용하면 닮음비를 쉽게 찾을 수 있습니다.
  

• 20번

  — 최고차항 계수가 1인 사차함수 f(x)를 조건 (가), (나)를 통해 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 도함수 f'(x)의 그래프 개형을 먼저 확정하는 것입니다. 조건 (가)에서 f'(0)=0, f'(2)=16을, 조건 (나)에서 f'(x)가 특정 구간에서 음수임을 알려주는데, 이를 종합하면 f'(x)가 x=0에서 x축에 접하는 3차 함수, 즉 f'(x) = 4x²(x-a) 형태임을 유추해야 합니다. 많은 학생들이 (나) 조건의 '어떤 양수 k'라는 표현을 해석하는 데 어려움을 겪고, f'(x)의 인수를 바로 찾아내지 못해 헤매는 경우가 많습니다. f'(x)의 개형을 먼저 그리고 조건에 맞춰 끼워 넣는 방식이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  

• 21번

  — 합성함수 g(x)=f(f(x))에 대한 생소한 조건이 포함된, 사고력을 요하는 문제입니다. 출제 의도는 f(f(a))=f(a)와 f(f(b))=f(b)라는 조건을 정확히 해석할 수 있는지 평가하는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 f(x)=x인 경우만 생각하는 것입니다. 하지만 f(t)=t를 만족하는 t에 대해, f(a)=t가 되는 모든 a값이 해가 될 수 있다는 점을 간과하기 쉽습니다. 이 문제를 푸는 결정적 열쇠는 먼저 방정식 f(x)=x의 해, 즉 y=f(x) 그래프와 직선 y=x의 교점의 y좌표(t)를 모두 찾는 것입니다. 그 후, f(a)=t, f(b)=t를 만족하는 서로 다른 a, b의 순서쌍을 그래프 위에서 꼼꼼하게 세는 것이 정답으로 가는 길입니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 6번의 독립시행에서 앞면이 나온 횟수가 뒷면이 나온 횟수보다 클 확률을 구하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 전체 6번의 시행 중 앞면이 나오는 횟수(k)를 기준으로 경우를 나누어 생각하는 것입니다. 앞면 횟수가 뒷면 횟수(6-k)보다 크려면 k > 6-k, 즉 k > 3이어야 하므로, 앞면이 4번, 5번, 6번 나오는 경우를 각각 계산하면 됩니다. 학생들이 자주 빠지는 함정은 '크거나 같을' 확률과 '클' 확률을 혼동하거나, 각 경우의 확률을 독립시행의 확률 공식(nCk * p^k * (1-p)^(n-k))을 이용하여 정확하게 계산하지 못하는 것입니다. 문제의 조건을 부등식으로 명확하게 표현하고, 가능한 경우를 누락 없이 나누어 계산하는 것이 실수를 줄이는 가장 좋은 방법입니다.
  

• 기하 29번

  — 구와 평면이 만나서 생기는 원(C) 위의 점과, 원 밖의 점 사이의 관계를 벡터를 이용해 해석하는 문제입니다. 핵심 출제 의도는 |PX + QX|² 라는 식을 보고 벡터의 중점 연결 아이디어를 떠올릴 수 있느냐 입니다. 이 식은 M을 PQ의 중점이라 할 때 4|XM|²으로 변형되며, 결국 문제는 정점 M과 원 C 위의 동점 X 사이의 거리의 최댓값을 구하는 것으로 단순화됩니다. 학생들은 P와 Q의 좌표를 구하는 과정에서 계산이 복잡해지거나, 최댓값이 (원의 중심과 M 사이의 거리 + 반지름)이 된다는 기하학적 사실을 이용하지 못하고 모든 점을 대입하려다 시간을 낭비하는 실수를 합니다. 벡터 식을 기하학적 거리 문제로 변환하는 능력이 결정적입니다.
  

• 미적분 30번

  — 주기성과 대칭성을 갖도록 새롭게 정의된 함수 g(x)와, 이를 변형한 h(x)의 정적분 값을 이용해 극한을 계산하는 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 복잡하게 정의된 함수의 규칙성을 파악하고, 정적분을 구간별로 나누어 계산하며, 최종적으로 수열의 극한을 통해 미지의 값을 추론하는 능력입니다. 학생들은 g(x)의 정의 자체를 이해하는 것부터 어려움을 겪으며, 특히 h(x)가 5≤x<k 구간에서 2x-g(x)로 정의되는 부분의 의미를 파악하지 못해 포기하기 쉽습니다. 이 문제의 돌파구는 먼저 n=1, 2, 3일 때 g(x)의 그래프를 직접 그려보며 규칙성을 찾는 것입니다. ∫g(x)dx의 일반항을 구하고, h(x)의 정적분은 g(x)의 정적분과 다항함수의 정적분으로 분리하여 계산한 뒤, 주어진 극한식에 대입하여 k값을 구하는 단계적 접근이 필요합니다.
  

• 미적분 29번

  — 함수 f(x)의 미분가능성과 부등식 조건을 동시에 만족시키는 미지수를 찾는, 종합적인 미분 문제입니다. 출제 의도는 '미분가능하면 연속이다'라는 기본 개념과, 두 함수의 그래프가 접할 때의 조건을 활용하여 문제를 해결할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 f(x) ≥ g(x)라는 조건을 보고 판별식을 떠올리거나 계산에만 매몰되는 경향이 있습니다. 하지만 이 문제의 핵심은 두 함수가 x=k에서 만나고(연속 조건), 그 지점에서 미분계수가 같다(접선 조건)는 기하학적 상황을 떠올리는 것입니다. 즉, f(k)=g(k)와 f'(k)=g'(k)라는 두 개의 식을 연립하여 미지수 a와 k의 관계를 찾는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.