2019학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

2019학년도 수능 가형은 30번 문항의 복잡한 함수 해석과 21번의 생소한 형태의 미분방정식이 상위권 변별의 핵심이었죠. 전반적인 계산량은 과하지 않았지만, 19번, 20번, 29번 등 기하와 미적분이 융합된 준킬러 문항들에서 개념을 정확히 꿰뚫지 못하면 시간을 크게 소모할 수밖에 없는 구조였습니다. 특히 평가원이 기존 기출 문제의 아이디어를 변형하고 융합하는 경향을 명확히 보여주었으므로, 단순히 문제를 푸는 것을 넘어 각 개념이 어떻게 연결되는지 고민하는 학습이 필수적입니다. 이 시험은 결국 탄탄한 개념 위에 문제 해석 능력을 갖춘 학생이 고득점할 수 있다는 것을 여실히 보여줍니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문항의 핵심은 '조건부 확률'의 정의를 정확히 이해하고 적용하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 분모를 설정할 때, 'y좌표가 처음으로 3이 되는' 사건 전체를 고려하지 않고 특정 경로만 생각하거나 전체 시행 횟수에 대한 확률로 착각하는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 시행이 멈추는 최종 지점이 (0,3), (1,3), (2,3) 세 가지 경우밖에 없다는 것을 파악하는 것입니다. 각 지점에 도달할 독립시행의 확률을 계산하여 그 합을 분모로, 문제에서 요구하는 (1,3)에 도달할 확률을 분자로 두면 정답을 찾을 수 있습니다.
  

• 19번

  — 이 문제는 공간도형에 좌표를 도입하여 벡터로 풀어내는 능력을 측정하는 문항입니다. 핵심은 삼각형 BCD의 넓이 관계를 이용해 수선의 발 H의 위치를 정확히 찾는 것이죠. 많은 학생들이 이 넓이 비를 보고 무게중심이나 내심 같은 특수점으로 착각하거나, 순수 기하로 접근하려다 길을 잃는 경우가 많습니다. 결정적 힌트는 △CDH와 △BCH가 높이를 공유한다는 점을 이용해 H가 선분 BD를 내분하는 점임을 파악하고, 이를 통해 H의 좌표를 설정하는 것입니다. 좌표를 설정하면 그 이후는 점과 직선 사이의 거리, 벡터의 내적 등 비교적 간단한 계산으로 해결됩니다.
  

• 20번

  — 유리함수의 가장 중요한 성질인 '점근선의 교점에 대한 점대칭성'을 활용하는 것이 출제 의도입니다. 많은 학생들이 점 P의 좌표를 미지수로 설정하고 복잡한 연립방정식을 풀려고 시도하다가 시간을 낭비하는 함정에 빠집니다. 이 문제의 결정적 힌트는 점 P가 y절편인 점 B를 점근선의 교점(1, 3)에 대해 대칭이동한 점이라는 사실을 간파하는 것입니다. 이 대칭 관계를 이용하면 점 P의 좌표를 매우 간단하게 k에 대한 식으로 표현할 수 있고, 이를 통해 나머지 조건들을 쉽게 해결할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 함수의 연속성과 인수정리를 결합한 고난도 추론 문제입니다. (가) 조건에서 f(x)g(x)=x(x+3)이고 g(x)가 연속함수라는 것을 보고, 분모가 될 f(x)가 0이 되는 지점을 분자 x(x+3)이 약분시켜야 한다는 것을 떠올려야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 f(x)가 x와 x+3만을 인수로 갖는다고 단정하는 것입니다. f(x)는 최고차항 계수가 1인 3차 함수이므로, f(x)=x(x+3)(x-k) 꼴로 설정하고 (나) 조건 g(0)=1을 이용해 미정계수를 확정하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 이후 f(1)이 자연수라는 조건을 통해 k의 범위를 좁혀나가야 합니다.
  

• 기하 28번

  — 타원의 정의와 원의 성질을 융합하여 길이의 합의 최댓값을 구하는 기하 문제입니다. 출제 의도는 타원의 정의인 '두 초점까지의 거리의 합이 장축의 길이로 일정하다'는 사실을 활용하여 구하고자 하는 `PQ+FQ`를 변형하는 데 있습니다. 학생들이 흔히 겪는 어려움은 점 P와 Q가 모두 움직이는 점이라 상황을 고정시키기 어렵다는 점입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 `FQ = 2a - F'Q` (여기서 2a는 장축의 길이)로 식을 변형하여 `PQ - F'Q`의 최댓값을 구하는 문제로 바꾸는 것입니다. 이 값은 원 위의 점 P와 타원 위의 점 Q, 그리고 고정된 점 F' 사이의 관계에서 나오며, 세 점이 일직선상에 있을 때 최댓값이 발생함을 기하학적으로 파악해야 합니다.
  

• 기하 29번

  — 벡터 방정식으로 정의된 점 X가 그리는 영역의 넓이를 구하는 문제입니다. 이 문제는 벡터의 합과 차, 그리고 스칼라배가 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 정확히 이해하고 있는지를 묻습니다. 많은 학생들이 P, Q, R이 각 변 위를 움직인다는 사실 때문에 X의 자취를 추적하는 데 어려움을 겪습니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 `(1/4)(AP+AR)`을 `(1/2) * ( (AP+AR)/2 )`로 해석하는 것입니다. `(AP+AR)/2`는 선분 PR의 중점 M을 나타내는 벡터 `AM`이므로, 점 M이 그리는 영역을 먼저 찾고, 그 다음 `AX = (1/2)AM + (1/2)AQ`가 선분 MQ의 중점임을 이용하여 최종적으로 X가 그리는 영역을 찾는 단계적 접근이 유효합니다.
  

• 미적분 30번

  — 삼차함수와 삼각함수가 합성된 함수의 극대/극소 조건을 해석하여 삼차함수를 추론하는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 `g(x)`의 극점이 되는 조건이 `f'(x)=0` 뿐만 아니라 `cos(f(x))=0`, 즉 `f(x) = nπ + π/2`일 때도 가능하다는 것을 파악하는 것입니다. 대부분의 학생들은 `g(x)`의 극점이 `f(x)`의 극점에서만 발생한다고 착각하는 함정에 빠지기 쉽습니다. 문제 해결의 실마리는 조건 (가)와 (나)를 이용해 극점이 되는 `a_i` 값들에서 `f(x)`의 함숫값과 `f'(x)`의 부호 변화를 추적하여 삼차함수 `f(x)`의 그래프 개형을 완성하는 것입니다. 특히 `g(a_1)=g(a_5)`라는 조건은 `f(a_1)`과 `f(a_5)`에서의 `sin` 값이 같다는 것을 의미하므로, `f(x)`의 함숫값에 대한 중요한 단서를 제공합니다.
  

• 확률과 통계 28번

  — 이 문제는 '이웃하지 않을 확률'을 묻고 있어 여사건의 확률을 떠올리는 것이 핵심입니다. 출제 의도는 전체 경우의 수와 특정 사건(여사건)의 경우의 수를 정확히 셀 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 주의해야 할 함정은 숫자 4가 적힌 흰 공과 검은 공을 같은 것으로 취급하여 조합으로 접근하는 것입니다. 이 두 공은 색이 다르므로 명백히 다른 공입니다. 따라서 전체 경우의 수는 7!이 됩니다. 결정적 실마리는 여사건, 즉 '숫자 4가 적힌 두 공이 이웃하는 경우'를 하나의 묶음으로 간주하여 (6! × 2!)로 계산한 뒤, 전체 확률 1에서 빼는 전략을 사용하는 것입니다.
  

• 수열 29번

  — 등차수열과 등비수열의 성질, 그리고 절댓값의 의미를 깊이 있게 이해해야 풀 수 있는 문항입니다. (가), (나), (다) 세 조건을 각각 따로 해석하려 하면 미지수가 많아 풀이가 산으로 가기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 (다) 조건의 합에서 (나) 조건의 합을 빼는 것입니다. 그 결과인 Σ(|an| - an) = 14는 등차수열 an의 항들 중 음수인 항들의 절댓값의 합이 7이라는 강력한 정보를 제공합니다. 공차가 음의 정수라는 조건을 활용하여 이 조건을 만족하는 등차수열의 첫째항과 공차의 조합을 찾아내는 것이 문제 해결의 핵심 경로입니다.
  

• 다항함수의 미적분 30번

  — 3차 함수와 2차 함수의 접선, 그래프의 위치 관계, 그리고 부등식 영역을 종합적으로 추론해야 하는 최고난도 문항입니다. (가) 조건은 f(x)와 g(x)의 인수와 접선의 정보를, (나) 조건은 3차 함수의 변곡점 관련 위치 정보를, (다) 조건은 두 그래프의 교점 정보를 제공합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 마지막 부등식 g(x) ≤ kx-2 ≤ f(x)의 해석입니다. 이 부등식의 결정적 실마리는 직선 y=kx-2가 정점 (0, -2)를 지난다는 사실을 파악하는 것입니다. 결국 이 문제는 점 (0, -2)에서 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)에 그은 접선의 기울기가 바로 k의 최댓값(α)과 최솟값(β)이 됨을 의미합니다. 각 함수의 식을 조건에 맞게 설정하고 접선의 방정식을 구하는 계산을 정확히 해내야 합니다.