2017학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 2017학년도 수능 나형은 20번, 30번 문항에서 함수의 그래프와 정적분, 그리고 역함수와의 관계를 얼마나 깊이 있게 파고들었는지가 등급을 갈랐을 시험입니다. 전반적인 문제 난이도는 평이했으나, 특정 4점 문항들에 개념을 복합적으로 활용해야 하는 까다로운 조건들이 숨어있어 시간 안배에 실패한 중상위권 학생들이 많았을 것으로 보입니다. 특히 20번의 정적분으로 정의된 조건을 해석하여 삼차함수의 극솟값을 추론하는 과정은, 평가원이 미적분 개념의 본질적인 이해를 얼마나 중요하게 생각하는지 다시 한번 보여주는 대목입니다. 이러한 기조는 현재 수능까지도 이어지므로, 기출 분석 시 단순 풀이 암기를 넘어 조건 하나하나의 의미를 곱씹는 훈련이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 17번

  — 무한등비급수 도형 문제의 정석을 보여주는 문항입니다. 출제 의도는 닮음을 이용하여 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구해내는 능력 측정에 있습니다. 많은 학생들이 닮음비(길이의 비)를 구해놓고 넓이의 비를 구할 때 제곱하는 것을 잊는 실수를 합니다. 이 문제 해결의 결정적 실마리는 큰 원의 지름과 다음 단계에서 그려지는 작은 원의 지름 사이의 비율을 찾는 것입니다. 첫째항의 넓이를 구할 때, 부채꼴에서 삼각형 넓이를 빼는 계산 과정에서의 실수도 조심해야 합니다.
  

• 19번

  — 점프의 횟수를 확률변수 X로 정의한, 경로 찾기 문제와 확률분포를 결합한 신유형에 가까운 문제입니다. 출제 의도는 주어진 규칙에 따라 확률 변수가 가질 수 있는 값을 파악하고, 각 확률을 조합을 이용해 계산하는 논리적 추론 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 흔히 빠지는 함정은 점프의 종류(가로, 세로, 대각선)를 어떻게 배분해야 최소/최대 횟수가 나오는지를 잘못 설정하는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 (0,0)에서 (4,3)으로 가기 위해 필요한 가로 이동 4칸, 세로 이동 3칸을 '어떤 종류의 점프로 구성할 것인가'를 기준으로 경우를 나누는 것입니다. 대각선 점프를 최대한 많이 사용하는 경우가 최소 횟수(k)가 됩니다.
  

• 20번

  — 삼차함수와 정적분, 절댓값이 결합된 최고난도 문항 중 하나입니다. 핵심 출제 의도는 (나) 조건의 ∫|f'(x)|dx = f(t)+f(0)을 해석하여 f'(x)의 부호 변화를 추론하고, 이를 통해 삼차함수 f(x)의 그래프 개형과 극값을 알아내는 것입니다. 대부분의 학생들은 절댓값이 포함된 정적분 식의 의미를 제대로 파악하지 못하고 헤매게 됩니다. 이 문제의 결정적 실마리는 f(t)-f(0) = ∫f'(x)dx 라는 미적분의 기본정리를 활용하여 주어진 조건식을 변형하는 것입니다. 변형된 식을 통해 f'(x)가 0이 되는 지점과 f(x)의 극솟값에 대한 결정적인 정보(f(k)=0)를 얻을 수 있습니다.
  

• 21번

  — 함수, 원, 그리고 격자점 개수 세기(카운팅)가 결합된, 수험생들이 가장 기피하는 유형의 문제입니다. 출제 의도는 규칙적으로 변하는 도형 내부의 정수 좌표점의 개수를 일반항(An, Bn)으로 표현하고, 그 차이의 합(Σ(An-Bn))을 구하는 끈기와 관찰력을 요구합니다. 단순히 An과 Bn을 각각 구해서 빼려고 하면 계산이 매우 복잡해져 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 힌트는 An - Bn 이라는 값의 의미를 재해석하는 데 있습니다. 원의 중심 (n, f(n))과 함수 y=f(x)의 관계, 그리고 원의 대칭성을 활용하면 An - Bn이 생각보다 간단한 형태로 정리된다는 것을 발견할 수 있습니다.
  

• 29번

  — 정규분포의 확률밀도함수(PDF) f(x)의 성질에 대한 깊은 이해를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 표준정규분포표를 직접 사용하기 전에, 주어진 함숫값의 대소 관계(f(10)>f(20), f(4)<f(22))를 통해 평균 m의 범위를 추론할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 이 조건을 확률 P(X=10) > P(X=20) 처럼 오해하거나, 어떻게 활용해야 할지 몰라 당황합니다. 결정적 실마리는 정규분포 곡선이 평균 m을 기준으로 대칭이며, 평균에서 멀어질수록 함숫값이 작아진다는 기본 성질입니다. f(a) > f(b)는 a가 b보다 평균 m에 더 가깝다는 것을 의미하므로, 이를 통해 m에 대한 두 개의 부등식을 세우고 자연수 m의 값을 확정하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  

• 30번

  — 역함수와 미분, 그리고 방정식의 실근 조건이 복합적으로 얽혀있는 최고난도 킬러 문항입니다. 출제 의도는 (f'∘g)(x)와 같은 복잡한 합성함수 형태를 역함수 미분법의 성질을 이용해 해석하고, 이를 방정식의 실근 존재 조건과 연결하여 미지수 k의 범위를 찾는 능력을 측정하는 것입니다. 학생들은 (f'∘g)(x)라는 표현 자체에 압도당하거나, 방정식의 해가 [0,1]에 존재해야 한다는 조건을 k의 범위로 변환하는 마지막 단계를 어려워합니다. 이 문제의 핵심 실마리는 f'(x) = 3(x-1)²+3 으로 항상 3 이상이라는 점을 파악하고, 주어진 방정식을 'k가 포함된 식 = k가 없는 식'의 형태로 정리하여 두 함수의 교점으로 해석하는 것입니다. [0,1]이라는 제한된 범위에서 두 그래프가 만나기 위한 k의 최댓값과 최솟값을 찾는 것이 최종 목표입니다.
  

• 확률과 통계 27번

  — 중복조합 문제에 부등식 조건이 결합된, 전형적인 고난도 경우의 수 문항입니다. 출제 의도는 (가) 조건에서 중복조합의 기본 상황을 설정하고, (나)의 지수 형태 조건을 해석하여 정수 a, b에 대한 부등식 제약으로 바꿀 수 있는지를 묻는 것입니다. 대부분의 학생들이 (나) 조건인 '8의 배수' 즉, 2^(a+2b)에서 a+2b ≥ 3이라는 조건을 이끌어낸 후, 이 부등식을 만족하는 케이스를 직접 세다가 실수를 연발합니다. 이 문제의 가장 효율적인 실마리는 '여사건'을 활용하는 것입니다. 전체 경우의 수(3H7)에서 a+2b가 3보다 작은 경우(a+2b=0, 1, 2)를 빼는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.
  

• 기하 28번

  — 쌍곡선의 정의와 점근선, 초점 등 여러 가지 성질을 종합적으로 활용해야 하는 문제입니다. 출제 의도는 단순히 공식에 대입하는 것을 넘어, 쌍곡선의 정의(|PF' - PF| = 2a)를 주어진 거리 조건과 결합하여 주축의 길이(2a)의 '범위'를 추론하고, 추가 조건을 통해 값을 확정하는 능력을 보는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 점근선 방정식(y=±(b/a)x)과 초점 공식(c²=a²+b²)을 연립하는 복잡한 계산에만 매몰되는 것입니다. 이 문제의 열쇠는 PF'과 PF의 범위로부터 10 ≤ 2a ≤ 14 라는 부등식을 얻어내는 첫 단계입니다. 그 후, '선분 AF의 길이가 자연수'라는 마지막 조건이 가능한 a, c 값을 단 하나로 결정짓는 결정적 힌트 역할을 합니다.
  

• 기하 29번

  — 정사면체라는 특수한 3차원 도형 안에서 벡터의 수직 조건과 크기의 최댓값을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 공간도형을 좌표 공간으로 옮겨와 벡터를 성분으로 표현하고, 내적=0 이라는 수직 조건을 식으로 풀어내는 능력, 그리고 점 Q의 자취를 기하학적으로 해석하는 능력을 종합적으로 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 좌표축 설정 자체를 어려워하거나, OQ · OP = 0 이라는 조건을 '점 Q가 벡터 OP에 수직인 평면 위에 있다'고 해석하지 못하고 계산만으로 해결하려다 길을 잃습니다. 가장 결정적인 실마리는 정사면체의 꼭짓점 중 하나를 원점으로, 밑면을 xy평면 위에 놓아 좌표를 설정하는 것입니다. 그러면 점 Q는 '밑면 BCD가 놓인 평면'과 'O를 지나고 OP에 수직인 평면'의 교선 위에 존재하게 되며, 최댓값은 이 교선이 삼각형 BCD의 경계와 만나는 점에서 발생한다는 것을 파악해야 합니다.
  

• 미적분 30번

  — 최고차항 계수가 -1인 사차함수 g(x)와 그와 연관된 함수 f(x)의 관계를 추론하는, 최고난도 함수 추론 문제입니다. 출제 의도는 여러 개의 추상적인 조건들을 조합하여 함수의 그래프 개형을 확정하고, 미지수를 구해내는 논리적 사고의 끝을 보여주는 것입니다. (나) 조건 '서로 다른 두 실수 α, β에 대하여 f(x)는 x=α와 x=β에서 동일한 극댓값 M을 갖는다'는 것이 가장 핵심적인 함정이자 실마리입니다. f(x)가 삼차함수라면 극값이 두 개일 때 하나는 극대, 하나는 극소이므로 이 조건은 모순입니다. 따라서 f(x)는 우리가 아는 일반적인 다항함수가 아니거나, 혹은 이 조건이 f(x)의 그래프가 특정 축에 대해 '대칭'임을 알려주는 강력한 정보임을 깨달아야 합니다. 이 대칭성을 바탕으로 f(x)의 식을 설정하고, (다) 조건(f와 g의 극값 개수 비교)을 이용해 g(x)의 형태를 추론해 나가는 것이 정답으로 가는 유일한 길입니다.