2016학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 2016학년도 수능 수학 B형은 30번 정적분으로 정의된 함수 문항이 최상위권 변별의 핵심이었을 겁니다. 단순히 공식을 암기한 학생들은 손도 대기 어려웠을 것이고, 미적분의 기본 정리와 미분방정식의 아이디어를 연결하는 깊이 있는 학습이 되어 있어야만 해결의 실마리를 찾을 수 있었죠. 전반적으로 13번 프랙탈, 28번 도형 극한처럼 기존 수능에서 꾸준히 출제되던 유형들이 건재함을 보여주었고, 21번, 29번처럼 복합적인 개념을 활용한 준킬러 문항들의 난이도 역시 만만치 않았습니다. 결국 평가원은 화려한 스킬보다는 교과서의 가장 근본적인 '정의'를 복잡한 상황에 어떻게 적용하는지를 끊임없이 테스트하고 있다는 점을 명심해야 합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 평행사변형의 넓이와 선분의 길이를 모두 삼각함수 θ로 표현한 뒤, 두 함수의 합의 최댓값을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 삼각함수를 이용해 도형의 요소를 능숙하게 표현하고, 미분을 통해 최댓값을 구할 수 있는지를 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 점 C의 좌표를 (1+cosθ, sinθ)로 설정하는 것부터 시작하지만, 여기서 f(θ)와 g(θ)를 θ에 대한 식으로 정리하는 과정에서 계산이 복잡해져 길을 잃기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 f(θ)+g(θ)라는 함수를 하나의 함수 h(θ)로 보고, h'(θ)=0이 되는 지점을 찾는 정석적인 최댓값 풀이 전략을 끝까지 밀고 나가는 것입니다.
  

• 21번

  — 함수 y=f(x)와 직선 y=t의 교점 중 x좌표가 가장 큰 값과 작은 값을 이용해 새로운 함수 h(t)를 정의하고 미분계수를 묻는, 전형적인 준킬러 문항입니다. 출제 의도는 방정식의 실근을 함수의 그래프 교점으로 해석하고, 근과 계수의 관계를 미분에 응용할 수 있는지를 확인하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 f(t)와 g(t)를 t에 대한 식으로 직접 구하려고 시도하는 것입니다. 이는 거의 불가능에 가깝죠. 이 문제의 핵심은 f(t)와 g(t)가 삼차방정식 x³+2x²-15x+5-t=0의 근이라는 사실을 이용하는 것입니다. 나머지 한 근을 α라 두고 근과 계수의 관계를 적용하면 f(t)-g(t)를 훨씬 간단하게 다룰 수 있는 길이 보입니다.
  

• 28번

  — 두 다항함수의 관계를 미분계수의 정의와 접선의 방정식을 통해 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 (나) 조건의 극한식을 f(2), g(2)에 대한 정보와 미분계수의 정의 f'(2)-g'(2)로 해석하는 능력입니다. 학생들은 종종 복잡해 보이는 식에 압도되어 (가) 식을 미분할 생각을 하지 못하거나, (나) 식에서 로피탈의 정리를 기계적으로 적용하다가 f(2)=g(2)라는 중요한 정보를 놓치곤 합니다. 결정적인 힌트는 (나)의 극한값이 존재하므로 분모가 0으로 갈 때 분자도 0으로 가야 한다는 사실(f(2)-g(2)=0)을 먼저 이용하고, 그 다음 식을 미분계수의 형태로 변형하여 f'(2)-g'(2)의 값을 구하는 것입니다.
  

• 29번

  — 정적분과 절댓값 기호의 의미를 정확히 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 정적분의 결과와 절댓값 함수의 정적분 결과를 비교하여, 특정 구간에서 함수 f(x)의 부호를 추론하도록 하는 것입니다. (가) 조건에서 ∫|f(x)|dx = -∫f(x)dx는 해당 구간 [0, 2]에서 f(x)≤0 임을 의미하고, (나) 조건에서 ∫|f(x)|dx = ∫f(x)dx는 구간 [2, 3]에서 f(x)≥0 임을 의미합니다. 이 두 조건을 종합하면, f(0)=0인 이차함수 f(x)는 x=0과 x=2에서 x축과 만난다는 결론을 내릴 수 있습니다. 이 실마리를 잡으면 f(x)=ax(x-2)로 식을 세우고, 주어진 적분값 4를 이용해 a를 구하면 문제가 해결됩니다.
  

• 30번

  — 상용로그의 가수(소수 부분)를 나타내는 함수 f(x)의 그래프적 특징과, 이 그래프가 직선과 한 점에서 만날 조건을 결합한 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 y=9f(x)의 그래프를 정확히 그리는 것입니다. f(x)=logx - [logx]이므로, y=9f(x)는 x값이 1, 10, 100, ... 이 되는 지점에서 불연속이며, 각 구간 [10^n, 10^(n+1))에서 로그함수의 일부가 반복되는 형태를 띱니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 직선 y=ax+b가 이 불연속적인 그래프와 '오직 한 점'에서 만나는 조건이 바로 '접할 때'라는 사실을 기하학적으로 파악하는 것입니다. 문제 해결의 실마리는 (a,b)의 조건(a<0, b>10)을 만족시키면서 y=9(logx-k) 형태의 곡선 중 하나에 접하는 직선의 방정식을 찾고, 그 (a,b)와 점 (-20, 0) 사이의 거리의 최솟값을 구하는 문제로 전환하는 것입니다.
  

• 기하 27번

  — 서로 수직인 두 평면과 그 위의 도형을 다루는 공간도형 문제입니다. 삼각형 PAB의 넓이를 구하기 위해 밑변 AB의 길이와 높이를 알아내야 하죠. 밑변 길이는 주어져 있으니 결국 높이를 구하는 것이 관건입니다. 많은 학생들이 점 P에서 직선 AB에 내린 수선의 발까지의 거리를 구하는 과정에서 공간지각의 한계에 부딪히거나 복잡한 좌표 설정으로 시간을 허비합니다. 이 문제의 실마리는 점 P, 점 A, 그리고 점 A에서 평면 β에 내린 수선의 발, 점 P에서 평면 α에 내린 수선의 발 등을 이용해 여러 개의 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리를 연쇄적으로 적용하는 것입니다. 공간의 점과 선, 면의 수직 관계를 정확히 파악하는 것이 핵심입니다.
  

• 미적분 28번

  — 원과 로그함수로 둘러싸인 도형에서 넓이와 길이를 매개변수 θ로 표현하고 그 극한값을 구하는 문제입니다. 이런 유형의 문제는 좌표 설정이 반입니다. 점 P의 좌표를 (cosθ, sinθ)로 두는 것이 문제 해결의 첫 단추죠. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 점 Q의 좌표를 구하는 과정에서 헤매는 것입니다. 점 Q는 점 P와 y좌표가 같고, 로그함수 y=ln(x+1) 위의 점이라는 두 가지 조건을 동시에 만족시킨다는 점을 놓치면 안 됩니다. 이 두 조건을 이용해 Q의 x좌표를 θ로 표현하고 나면, S(θ)와 L(θ)를 구하는 것은 어렵지 않습니다. 이후 θ→0+ 극한을 계산할 때 sinθ≈θ, ln(1+x)≈x 와 같은 근사식을 활용하면 계산을 훨씬 수월하게 마무리할 수 있습니다.
  

• 기하 29번

  — 공간벡터 내적의 최댓값을 묻는 문제입니다. AP·AQ의 최댓값을 구해야 하는데, 점 P는 조건 (가), (나)를 만족하고 점 Q는 원점 중심의 구 위를 움직입니다. 이 문제의 출제 의도는 벡터 내적의 기하학적 의미(|a||b|cosθ)를 완벽하게 이해하고 공간지각 능력을 활용해 최적의 상황을 찾아낼 수 있는지를 평가하는 것입니다. 가장 큰 함정은 모든 것을 성분으로 계산하려는 시도입니다. 그렇게 하면 계산의 늪에 빠지게 되죠. 결정적 힌트는 벡터 AQ의 크기가 1로 고정되어 있다는 점입니다. 따라서 AP·AQ를 최대로 만들려면, 벡터 AP의 크기를 최대로 만들고, 두 벡터 AP와 AQ가 같은 방향을 가리키도록, 즉 점 Q가 벡터 AP의 방향과 일치하는 지점에 오도록 해야 합니다. 결국 이 문제는 '조건을 만족하는 벡터 AP 중 크기가 가장 큰 벡터를 찾는' 문제로 귀결됩니다.
  

• 미적분 30번

  — 정적분으로 정의된 함수 f(x)의 성질을 파악하여 정적분 값을 계산하는 최고난도 문항입니다. 조건 (나) f(x) = ∫[0 to x] √{4-2f(t)} dt 가 문제의 모든 것을 담고 있습니다. 이 식을 보고 '양변을 x에 대해 미분해야겠다'는 생각을 떠올리는 것이 문제 해결의 시작입니다. 미분하면 f'(x) = √{4-2f(x)} 라는 미분방정식을 얻게 되죠. 많은 학생들이 이 식을 어떻게 처리해야 할지 몰라 당황합니다. 이것은 변수분리형 미분방정식으로, dy/√(4-2y) = dx 형태로 변형하여 양변을 적분하면 함수 f(x)의 정체를 밝힐 수 있습니다. 또한, 정적분의 정의에 따라 x=0을 대입하면 f(0)=0이라는 초기 조건까지 얻을 수 있어 f(x)를 완벽하게 결정할 수 있습니다.