2015학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

2015학년도 수능 A형은 21번 삼차함수 문제에서 'f(x) ≥ f'(x)'라는 생소한 조건을 어떻게 g(x) = f(x) - f'(x)로 치환하여 해석하느냐에 따라 등급이 갈렸을 시험입니다. 전반적으로는 교육과정의 핵심 개념을 충실히 물었지만, 29번 미분 문제나 30번 개수 세기 문제처럼 계산 과정에서 실수를 유발하는 문항들이 상위권을 변별하는 역할을 톡톡히 해냈어요. 특히 30번처럼 좌표평면 위에서 특정 조건을 만족하는 점의 개수를 세는 유형은 최근 수능에서도 꾸준히 출제되는 경향이므로, 그래프를 그리고 조건을 꼼꼼히 따져보는 연습이 반드시 필요합니다.

문항 분석

• 16번

  — 이 문항의 핵심은 조건부확률 P(B^c|A)를 P(A)와 P(A∩B^c)의 관계로 풀어내는 데 있습니다. 많은 학생들이 P(A∩B^c)를 P(A) - P(A∩B)로 바꾸는 것까지는 잘 하지만, 주어진 P(A∩B)를 바로 대입하여 계산 실수를 하곤 합니다. 결정적 실마리는 P(B^c|A) = 1 - P(B|A) 라는 성질을 이용하는 것이 계산을 훨씬 간결하게 만들어 준다는 점입니다. 여사건의 확률과 조건부 확률의 관계를 명확히 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
  

• 19번

  — 행렬의 성질을 묻는 합답형 문항으로, 주어진 두 개의 식을 어떻게 연립하고 인수분해하여 새로운 관계식을 유도하는지가 관건입니다. 특히 <보기> ㄴ(AB=BA)을 증명하기 위해 두 번째 식 A²B - B²A = A+B를 (A-B)(AB) 형태로 묶어보려는 시도는 실패하기 쉽습니다. 이 문제의 함정은 복잡한 식 변형에 있으며, 결정적 힌트는 첫 번째 식 A(A-B)=3E를 이용하여 A의 역행렬 존재(ㄱ)를 먼저 보이고, 이 역행렬을 두 번째 식에 곱하여 AB와 BA의 관계를 이끌어내는 것입니다.
  

• 20번

  — 이 문제는 삼각형의 넓이 S(θ)를 θ에 대한 식으로 표현하는 능력을 평가합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은, 여러 각과 변의 길이를 하나의 변수 θ로 통일하는 과정에서 계산이 복잡해져 길을 잃는 것입니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 원에 내접하는 이등변삼각형 ABC의 변 BC의 길이를 사인법칙을 이용해 먼저 θ로 표현하는 것입니다. 그 후, 새롭게 정의된 점 D를 포함하는 삼각형 BCD에 다시 한번 사인법칙을 적용하면 S(θ)를 완성할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 기하학적 상황을 해석하여 수열의 일반항을 추론하는, 사고력을 요하는 문항입니다. 가장 큰 함정은 조건 (나)의 '삼각형 ABD의 넓이가 m/2보다 작거나 같다'는 부등식을 m과 n에 대한 정확한 관계식으로 변환하지 못하는 것입니다. 이 문제의 핵심 열쇠는 두 점 B(1,0)과 C(2^m, m)을 지나는 직선의 방정식을 구하고, x=2^n일 때의 D의 y좌표를 m과 n으로 표현하는 것입니다. 이 y좌표가 바로 삼각형 ABD의 높이가 되므로, 이를 넓이 부등식에 대입하면 문제에서 요구하는 '가장 작은 자연수 m', 즉 an을 n에 대한 식으로 정리할 수 있게 됩니다.
  

• 29번

  — 곱의 미분법과 미분계수의 정의를 복합적으로 활용해야 하는 문제입니다. g(x)가 x=1에서 극솟값 24를 갖는다는 것은 g(1)=24와 g'(1)=0이라는 두 가지 조건을 동시에 알려준 것입니다. 많은 학생들이 g'(1)=0 조건만 활용하고 g(1)=24 조건을 놓치는 실수를 합니다. 이 문제의 핵심은 g'(x)를 곱의 미분법을 이용해 { (x³+2)f(x) }' = 3x²f(x) + (x³+2)f'(x) 로 정확히 구한 뒤, g'(1)=0 이라는 식을 통해 f(1)과 f'(1) 사이의 관계식을 하나 찾아내는 것입니다. 그 후 g(1)=24 조건을 이용하여 f(1) 값을 확정하면 f'(1)도 자연스럽게 구해집니다.
  

• 30번

  — 자연수 n의 값에 따라 조건이 변하는 상황에서, 조건을 만족하는 점 (a,b)의 개수를 세는 격자점 문제입니다. 출제 의도는 (나) 조건 b ≤ log₂(a)와 (다) 조건 (삼각형 넓이 ≤ 50)을 동시에 만족하는 자연수 순서쌍 (a,b)를 체계적으로 찾는 능력을 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 두 부등식 조건을 어떻게 결합하여 탐색 범위를 효율적으로 줄이느냐 입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 점 A(-2, 3ⁿ)와 B(a,b), 원점 O로 이루어진 삼각형의 넓이 공식을 먼저 정리하는 것입니다. 넓이 식을 정리하면 3ⁿa + 2b ≤ 100 이라는 간단한 일차 부등식을 얻을 수 있고, 여기에 b ≤ log₂(a) 조건을 결합하여 n=1, 2, 3일 때 각각 a의 값에 따른 b의 개수를 세면 됩니다.
  

• 기하 27번

  — 타원의 정의를 기하학적 조건과 융합하여 해결하는 문제입니다. 대부분의 학생들이 ∠FPF'=π/2 라는 조건에서 직각삼각형을 떠올리지만, 'PF + PF' = 장축의 길이'라는 타원의 근본적인 정의를 함께 사용하지 못해 PF, PF'의 길이를 구하는 데 실패합니다. 결정적 힌트는 타원의 정의와 피타고라스 정리를 연립하는 것입니다. 두 식을 연립하면 각 선분의 길이를 구할 수 있고, 점 Q가 FP의 '연장선' 위에 있다는 사실을 이용해 삼각형 QF'F의 밑변(F'F)과 높이(Q의 y좌표)를 파악하면 넓이를 쉽게 계산할 수 있습니다.
  

• 미적분 28번

  — 정적분으로 정의된 함수의 최댓값을 구하는 문제로, 미분과 적분 계산 능력을 종합적으로 측정합니다. 출제 의도는 f'(x)=0이 되는 지점에서 최댓값을 갖는다는 것을 파악하고, 그 값을 정확히 계산할 수 있는지를 보는 것입니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 ∫(a-t)e^t dt 형태의 적분에서 부분적분법을 적용하다가 계산 실수를 하는 것입니다. 이 문제의 실마리는 f(x)를 미분하여 f'(x)=(a-x)e^x 임을 파악하고, 최댓값이 x=a에서 발생함을 아는 것입니다. 즉, f(a)의 값을 부분적분을 통해 a에 대한 식으로 표현하고, 이 값이 32임을 이용하여 a를 구하는 것이 정답으로 가는 길입니다.
  

• 기하 29번

  — 공간도형에서 정사영의 넓이가 최대가 되는 조건을 추론하는 문제입니다. 원 C를 포함하는 평면이 무수히 많기 때문에, 어떤 평면을 특정해야 할지 몰라 헤매는 것이 가장 큰 함정입니다. 정사영의 넓이는 (원래 넓이) × cosθ 이고, 원의 넓이는 π로 일정하므로 결국 xy평면과 이루는 각 θ가 최소일 때(cosθ가 최대) 정사영 넓이가 최대가 됩니다. 문제 해결의 결정적 실마리는 원 C의 중심이 점 P(0,5,5)를 중심으로 하고 반지름이 √49=7인 구 위에 있다는 사실을 이용하여, xy평면과 가장 가까운 평면, 즉 법선벡터가 z축과 평행에 가까운 평면을 찾는 것입니다.
  

• 미적분 30번

  — 절댓값과 시그마가 포함된 복잡한 함수의 미분가능성을 묻는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 g(x)가 실수 전체에서 미분가능하려면, |f(x)| 때문에 미분 불가능할 가능성이 있는 유일한 지점, 즉 f(x)=0이 되는 x=-1에서 미분가능해야 한다는 조건을 파악하는 것입니다. 대부분의 학생들은 복잡한 g(x)의 형태에 압도되어, x=-1에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같다는 조건을 식으로 세우는 것 자체를 어려워합니다. 결정적 힌트는 Σ|f(x^k)| 항이 x=-1에서 발생하는 '뾰족한 점'을 어떻게 상쇄시키는지를 분석하는 것입니다. k가 짝수일 때와 홀수일 때 x^k의 값이 달라지는 점에 착안하여 조건을 만족시키는 n의 값을 찾아야 합니다.