함수의 미분가능성과 연속성정적분의 활용 (넓이, 치환적분)이차곡선의 정의 활용 (타원, 쌍곡선)벡터의 내적과 기하학적 해석정사영함수의 대칭성과 주기성경우의 수 (이웃하지 않는 순열)삼각함수의 극한과 도형함수의 그래프 추론정적분으로 정의된 함수등차수열의 합의 이차함수적 성질접선의 방정식과 개수조건을 만족하는 경우의 수등비급수의 도형 활용사차함수(우함수)의 대칭성조건부 확률

총평

21번 문항에서 접선의 개수를 새로운 함수 f(t)로 정의하고, 다시 그 함수의 합성함수 g(t)를 분석하게 한 점은 수험생들의 함수 추론 능력을 한계까지 시험했을 겁니다. 전반적으로 복잡한 계산보다는 각 개념의 본질을 꿰뚫는지를 묻는 문항이 많았으며, 특히 29번 등차수열 합 문제는 S_n을 n에 대한 이차함수로 해석하는 대칭성을 활용하지 못했다면 상당한 시간을 소요했을 문제입니다. 이러한 기조는 평가원이 함수의 그래프 개형을 추론하고 조건의 의미를 해석하는 능력을 얼마나 중시하는지 보여주는 명확한 신호이므로, 기출 분석 시 정답만 맞히는 것을 넘어 각 조건이 그래프에 어떻게 반영되는지 끈질기게 파고드는 학습이 필요합니다.

문항 분석

19번
— 무한등비급수 도형 문제의 정석을 보여주는 문항입니다. 출제 의도는 당연히 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구해내는 능력을 평가하는 것이죠. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 첫째항의 넓이를 구할 때, 두 반원이 겹치는 부분 없이 단순히 계산하여 틀리는 것입니다. 결정적 실마리는 공비를 찾는 과정에 있습니다. 큰 정삼각형 A₁B₁C₁과 그 안의 작은 정삼각형 A₂B₂C₂의 닮음비를 찾아내면, 넓이비인 공비는 그 제곱이라는 사실을 이용해야 합니다. 닮음비는 두 삼각형의 한 변의 길이의 비율을 구하면 쉽게 해결됩니다.
20번
— 이 문제는 사차함수 f(x)의 식에 숨겨진 '우함수'라는 특성을 간파하는 것이 모든 해결의 시작입니다. 출제자는 f(x)=ax⁴+bx²+c 라는 형태를 통해 y축 대칭성을 암시했고, 이를 놓치면 미지수가 너무 많아져 풀이가 산으로 가게 됩니다. 학생들이 빠지는 함정은 조건 (가)의 세 실근 α, β, γ를 보고 일반적인 사차함수 그래프를 떠올리는 것입니다. 하지만 y축 대칭이라는 힌트를 잡는 순간, 근 역시 대칭적으로 존재해야 하므로 세 실근은 -α, 0, α 형태일 수밖에 없다는 결론에 도달하게 됩니다. 이로부터 f(x) = ax²(x²-α²) 꼴로 식을 세우면 (나) 조건을 이용해 나머지를 손쉽게 풀 수 있습니다.
21번
— 곡선 밖의 한 점에서 그을 수 있는 접선의 개수 문제는 접점의 x좌표를 미지수 s로 설정하는 것이 정석적인 출발점입니다. 이 문제의 핵심은 점 (0, t)를 지나는 접선의 개수 f(t)가, 접점의 x좌표 s에 대한 방정식의 '서로 다른 실근의 개수'와 같다는 사실을 이해하는 것입니다. 많은 학생들이 f(t)라는 새로운 함수와 합성함수 g(t)의 등장에 압도되어 문제의 본질을 놓치기 쉽습니다. 결정적 힌트는 바로 '변곡점에서의 접선'입니다. 3차 함수에서 접선의 개수가 바뀌는 경계는 곡선 위의 점과 변곡접선 위의 점이므로, 변곡접선의 방정식을 구하고 y절편을 확인하는 순간 f(t)가 불연속이 되는 지점을 찾을 수 있고, 이를 통해 g(t)의 조건을 해결할 수 있습니다.
확률과 통계 27번
— ‘이웃하지 않게’ 배열하는 대표적인 경우의 수 문제입니다. 전체 경우의 수에서 이웃하는 경우를 빼는 방식으로 접근하면, 두 명만 이웃하는 경우와 세 명 모두 이웃하는 경우를 복잡하게 고려해야 해서 실수가 발생하기 쉽습니다. 이 문제의 정석적인 해법은 '칸막이' 아이디어입니다. 먼저 3명의 학생을 제외한 5개의 빈 레인을 배열하고, 그 사이사이와 양 끝에 생기는 6개의 공간 중 3개를 선택하여 학생들을 배치하는 것입니다. 즉, ⁶C₃로 레인 조합을 선택한 후, 3!을 곱해 학생들을 배열하면 간단하게 해결됩니다.
기하 28번
— 쌍곡선의 정의(PF' - PF = 2a)와 삼각형의 내접원 성질(넓이 = 1/2 * 내접원 반지름 * 둘레)이라는 두 가지 핵심 개념을 융합해야 풀 수 있는 문항입니다. 출제 의도는 두 개념을 모두 알고 있는지, 그리고 이를 연립하여 점 P의 좌표를 구할 수 있는지를 확인하는 것입니다. 많은 학생들이 쌍곡선의 정의는 떠올리지만, 내접원의 반지름을 어떻게 활용할지 몰라 헤맵니다. 삼각형 PF'F의 넓이를 (1/2 * 밑변 * 높이)와 (내접원 반지름 공식) 두 가지로 표현하여 등식을 세우는 것이 이 문제를 풀어내는 결정적 실마리입니다.
기하 29번
— 벡터 방정식 xOA + 5OB + 3OC = 0을 보고 무게중심이나 내분점 공식을 떠올려 기하학적으로 해석하는 것이 핵심입니다. 이 식을 5OB + 3OC = -xOA 로 변형하고 양변을 8로 나누면, 선분 BC를 3:5로 내분하는 점 D에 대해 OD 벡터를 OA 벡터로 표현할 수 있습니다. 점 A, B, C가 모두 반지름 1인 원 위의 점이라는 조건은 각 벡터의 크기가 1임을 의미합니다. OA·OB의 값은 두 벡터가 이루는 각의 코사인 값과 직결되므로, |OD|² = 1 이라는 관계식을 활용하여 x값을 구하고, 두 벡터가 가장 가까워질 때(즉, D가 A와 반대 방향일 때) 내적이 최대가 됨을 간파해야 합니다.
미적분 30번
— 함수 g(x)가 f(x)의 값에 따라 다르게 정의된 piecewise 함수이므로, 미분가능성을 따지는 것이 문제의 핵심입니다. 특히 f(x)=0이 되는 지점에서 g(x)의 연속성과 미분계수의 존재를 확인해야 합니다. 연속 조건으로부터 f(x)=0인 지점에서 1-cos(πx)도 0이어야 함을 알 수 있고, 로피탈의 정리를 적용하면 f'(x)에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (나) 조건의 해석입니다. g(x)가 x=a에서 극값을 갖는다는 것은 g'(a)=0을 의미하는데, 문제에서 f(a)≠0이므로 g'(x) = (f(x)(πsin(πx)) - f'(x)(1-cos(πx))) / (f(x))² = 0 이라는 복잡한 식을 풀어야 합니다. 하지만 f(x)가 a에서 극댓값을 갖는 사차함수이므로 f'(a)=0이라는 사실을 이용하면 이 식이 극적으로 간단해진다는 것을 깨닫는 것이 결정적입니다.
수학(나) 28번
— 여러 조건을 동시에 만족하는 일대일 대응 함수의 개수를 세는 고난도 경우의 수 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 제약 조건 속에서 기준을 어떻게 설정하고 체계적으로 경우를 나누는지를 평가하는 것입니다. 가장 흔한 오답 패턴은 (가) 조건과 (나) 조건을 따로 생각하다가 모순을 발견하지 못하거나, 특정 케이스를 중복해서 세는 것입니다. 문제 해결의 첫 단추는 가장 강력한 제약 조건을 먼저 활용하는 것입니다. (나) 조건에서 a가 b의 약수이면 f(a) < f(b)라는 규칙은 1→2→4→8, 1→3→6 과 같은 여러 개의 '대소 관계 체인'을 만듭니다. 이 체인과 (가)의 소수 조건을 결합하여 f(1), f(2), f(3) 등 핵심적인 값들을 먼저 결정해 나가면 나머지 값들이 퍼즐처럼 맞춰집니다.
수학(나) 29번
— 등차수열의 합 S_n의 성질에 대한 깊이 있는 이해를 묻는 문제입니다. 출제 의도는 S_n이 n에 대한 상수항이 없는 이차함수라는 사실을 이용하여 그래프의 대칭성을 활용할 수 있는지를 확인하는 것입니다. 대부분의 학생들은 S₉ = S₁₈ 라는 조건을 보고 등차수열의 합 공식에 대입하여 d와 a₁의 관계식을 찾는 데 시간을 허비합니다. 이것이 바로 함정입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 S_n의 그래프가 n=0과 n=-(2a₁/d)에서 x축과 만나는 포물선이라는 점을 떠올리는 것입니다. S₉ = S₁₈는 이 포물선의 대칭축이 n = (9+18)/2 = 13.5 임을 의미합니다. 이 대칭성을 이용하면 S_n의 최댓값(또는 최솟값)이 언제 나타나는지, 그리고 언제부터 함숫값이 중복되는지를 파악하여 T_n의 원소 개수를 쉽게 추론할 수 있습니다.
수학(나) 30번
— 함수의 미분과 적분, 절댓값, 연속성, 극값 등 미적분의 핵심 개념을 총망라한 최고난도 문항입니다. 출제자는 정적분으로 정의된 함수 g(x)의 정의를 정확히 해석하고, 주어진 조건들을 통해 3차 함수 f(x)의 개형과 식을 역으로 추론하는 능력을 평가하고자 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 g(x)의 식에 포함된 ∫|f'(t)|dt 입니다. 이 식의 의미는 -3부터 x까지 f(t)의 '움직인 거리' 즉, 그래프 길이의 변화량과 관련이 있습니다. 결정적 힌트는 g'(x) = |f'(x)| (x ≥ -3) 라는 관계식입니다. 이는 x ≥ -3 에서 g(x)가 감소하지 않음을 의미하며, g(a) = -8 < g(-3) = -16 이라는 조건과 모순처럼 보입니다. 이 모순을 해결하는 유일한 방법은 g(-3)의 값이 f(-3)이고, g(a)는 적분값이라는 것을 깨닫는 것입니다. 이를 통해 f(x)가 x=-3에서 극대, x=a에서 극소를 가지며, 두 극값의 차이가 얼마인지 알 수 있게 됩니다.