2013학년도 수능 수학 기출문제 정답 해설 PDF 무료 다운로드

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 격자점 세기 문제에서 시간 부족으로 좌절한 학생들이 많았을 겁니다. 단순히 계산만 복잡한 것이 아니라, 지수함수와 로그함수의 관계를 파악하고 n의 변화에 따른 정수 해의 개수 변화 규칙을 추론해야 하는 고차원적인 문항이었죠. 전반적으로 미적분 21번, 29번과 기하 28번 등 준킬러 문항들의 난도가 상당하여 시간 안배가 매우 중요했으며, 이는 단순히 많은 문제를 푸는 것보다 한 문제라도 깊이 있게 파고드는 학습이 실제 수능에서 중요하다는 것을 보여줍니다. 특히 18번 포물선, 29번 삼각함수 극한처럼 도형의 정의와 성질을 극한, 수열 등 다른 단원과 결합하는 유형은 평가원이 꾸준히 선호하는 방식이므로 반드시 대비해야 합니다.

문항 분석

• 14번

  — 전형적인 프랙탈 도형의 등비급수 문제입니다. 첫째항 S₁의 넓이를 정확히 구하고, 두 번째 도형과 첫 번째 도형의 닮음비를 찾아 공비를 구하는 것이 핵심이죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 닮음비(길이의 비)를 구한 뒤 제곱하여 넓이의 비로 전환하는 것을 잊는 것입니다. 힌트는 R₁의 원과 R₂에 내접하는 작은 원의 반지름 사이의 관계를 파악하는 것입니다. 이 관계만 정확히 찾아내면 공비는 쉽게 계산할 수 있습니다.
  

• 19번

  — g(x)가 f(t)의 절댓값을 적분한 함수라는 점이 문제의 핵심입니다. g'(x) = |f(x)| 라는 관계를 통해 g(x) 그래프의 개형을 보고 f(x)의 정보를 역으로 추론해야 합니다. 많은 학생들이 g'(x)=f(x)로 착각하여 부호 판단에서 실수를 합니다. g(x) 그래프에서 극값을 갖는 지점(x=2, 5, 8)은 g'(x)=|f(x)|=0, 즉 f(x)=0인 지점이라는 것이 결정적 실마리입니다. 또한 g(x)의 변곡점을 통해 f(x)의 증감, 즉 f'(x)의 부호를 추측할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 이 문제는 정적분으로 정의된 함수 F(x)의 극값에 대한 이해를 묻고 있습니다. 출제 의도는 F'(x) = f(x)라는 미적분의 기본정리를 활용하여, F(x)의 극값 조건이 도함수인 f(x)의 부호 변화와 직결됨을 파악하는 것입니다. 많은 학생들이 F(x)를 직접 계산하려다 복잡한 식에 막히는 함정에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 '오직 하나의 극값'을 갖는다는 조건은, 도함수 F'(x) 즉, 3차 함수 f(x)의 그래프가 x축을 통과하며 부호가 바뀌는 지점이 단 한 곳뿐이어야 한다는 사실을 깨닫는 것입니다. 결국 3차 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 부호를 따지는 문제로 귀결됩니다.
  

• 27번

  — 좌표평면 위 점들의 수열 Pn이 점화식으로 주어졌을 때, 특정 항의 좌표를 추론하는 문제입니다. 출제 의도는 복잡해 보이는 점화식 속에서 규칙성, 특히 주기성을 발견하는 능력입니다. (나) 조건의 '선분의 중점이 같다'는 식을 Pn+3에 대해 정리하고, P1, P2, P3를 이용해 P4, P5, P6, P7 등을 순서대로 계산해 나가는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 몇 개 항을 구하다가 규칙이 보이지 않아 포기하는 것인데, 이 문제는 6개의 항이 반복되는 주기성을 가집니다. 이 주기성을 발견하면 P25는 P1과 같다는 것을 쉽게 알 수 있어, a+b 값을 간단히 구할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 이차함수와 정적분의 성질을 결합한 고난도 문항입니다. 출제 의도는 정적분의 구간에 대한 성질을 이용하여 함수의 식을 특정하고, 이를 통해 넓이를 계산하는 능력을 평가하는 것입니다. ∫[0, 2013]f(x)dx = ∫[3, 2013]f(x)dx 라는 조건에서 2013이라는 숫자에 현혹되는 것이 가장 큰 함정입니다. 이 식의 본질은 양변에서 공통 구간인 [3, 2013]의 정적분을 소거하면 ∫[0, 3]f(x)dx = 0 이라는 결정적 힌트를 얻을 수 있다는 점입니다. f(3)=0 조건과 함께 이 힌트를 활용하면 최고차항 계수가 1인 이차함수 f(x)의 나머지 한 근을 확정할 수 있고, 그 후 정적분을 통해 넓이를 구하면 됩니다.
  

• 29번

  — 특수한 좌석 배치에서 이웃할 확률을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 '적어도 ~일 확률'은 여사건을 이용하는 것이 효율적이라는 전략적 판단 능력과, 주어진 조건에서 '이웃한다'는 개념을 정확히 파악하여 경우의 수를 세는 능력을 측정하는 것입니다. 직접 남학생이 이웃하는 경우를 세려고 하면 두 명, 세 명, 네 명이 이웃하는 등 복잡한 케이스 분류 때문에 함정에 빠지기 쉽습니다. 이 문제의 결정적 실마리는 8개의 좌석이 체스판처럼 흑/백으로 번갈아 칠해질 수 있는 구조임을 간파하는 것입니다. 여사건인 '어떤 남학생도 이웃하지 않는 경우'는 모든 남학생이 흑색 칸에 앉거나, 백색 칸에 앉는 두 가지 경우밖에 없다는 것을 깨달으면 계산이 매우 간단해집니다.
  

• 30번

  — 지수/로그 부등식으로 정의된 영역 내에서 특정 조건을 만족하는 정수점(격자점)의 개수를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 복잡한 조건들을 단순화하고, 합의 기호(Σ)의 계산 순서를 변경하여 효율적으로 합을 구하는 능력을 평가하는 것입니다. (가) 조건인 x=y를 부등식에 대입하면, 문제는 '2^k - n ≤ k ≤ log₂(k+n)'을 만족하는 정수 k의 개수(an)를 구하는 것으로 단순화됩니다. 여기서 k ≤ log₂(k+n)을 변형하면 2^k ≤ k+n, 즉 2^k - k ≤ n이 되어 결국 an은 '2^k - k ≤ n을 만족하는 정수 k의 개수'임을 파악하는 것이 결정적 실마리입니다. 마지막으로 Σan을 직접 n=1부터 30까지 계산하는 것이 아니라, 특정 정수 k가 총 몇 개의 an에 기여하는지를 세어 k를 기준으로 합을 구하는(합의 순서 변경) 방식으로 접근해야 시간 내에 해결할 수 있습니다.
  

• 기하 28번

  — 종이를 접어서 생기는 입체도형의 이면각을 구하는 문제입니다. 공간지각 능력과 이면각의 정의를 정확히 알고 있어야 풀 수 있습니다. 가장 큰 함정은 이면각을 측정하기 위한 보조선을 잘못 긋는 것입니다. 문제에서 '점 B의 평면 AEFD 위로의 정사영이 점 D'라는 조건이 주어졌는데, 이것이 가장 결정적인 힌트입니다. 이 조건을 이용하면 접힌 후의 점 B의 위치(B')에 대해 벡터 B'D가 평면 AEFD와 수직이라는 사실을 알 수 있고, 이를 통해 좌표를 설정하거나 삼수선의 정리를 활용하여 이면각의 크기를 나타내는 삼각형을 구성할 수 있습니다.
  

• 미적분 29번

  — 도형의 길이와 각에 대한 정보를 주고 극한값을 구하는, 전형적인 삼각함수 극한 활용 문제입니다. 이 문제를 풀기 위한 가장 강력한 도구는 '사인법칙'입니다. 복잡하게 코사인법칙이나 좌표를 도입하려 하면 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 문제의 핵심은 주어진 각(θ, 2θ)과 ∠ACD=2∠BCD라는 조건을 이용해 △ACD와 △BCD 내의 모든 각을 θ로 표현하고, 두 삼각형에 공통으로 포함된 변 CD를 기준으로 사인법칙을 두 번 적용하여 식을 세우는 것입니다. 그 후 θ→0+ 극한을 계산하면 됩니다.
  

• 미적분 30번

  — 지수함수와 로그함수로 둘러싸인 영역 내에서 특정 조건을 만족하는 정수 좌표점(격자점)의 개수를 구하는 문제입니다. 이 유형은 규칙을 찾기 전까지 직접 몇 개의 n값에 대해 점의 개수를 세어보는 끈기가 필요합니다. 출제 의도는 y=2^x-n과 y=log₂(x+n)이 서로 역함수 관계를 평행이동한 그래프라는 점을 간파하는 것입니다. 하지만 이 문제의 핵심은 조건 (가) x=y, (나) x, y는 정수입니다. 즉, 직선 y=x 위의 정수점 (k, k)가 주어진 부등식 2^k - n ≤ k ≤ log₂(k+n)을 만족하는지를 확인하는 문제입니다. 부등식의 양변을 정리하면 결국 2^k - k ≤ n을 만족하는 정수 k의 개수가 a_n이라는 것을 파악하는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다.