2015년 09월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가 A형은 30번 상용로그 지표와 가수 문항에서 많은 학생들이 좌절감을 맛봤을 것입니다. 전반적인 난이도는 평이했으나, 함수의 그래프와 미분계수의 의미를 깊이 있게 연결해야 했던 21번이나, 여러 조건을 종합해 함수를 추론해야 하는 28번 같은 문항들이 상위권 변별력을 확실히 갈랐습니다. 결국 수능 고득점은 단순히 공식을 암기하는 것을 넘어, 각 개념이 어떻게 유기적으로 연결되는지를 파악하는 능력에 달려있다는 것을 명확히 보여주는 시험이었죠. 특히 21번, 28번 유형은 수능에서 항상 핵심적인 역할을 하므로 반드시 완벽하게 정복해야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 실생활 활용 문제의 탈을 쓴 로그 계산 능력 테스트 문항입니다. 출제 의도는 주어진 관계식에 변수를 정확히 대입하고 로그의 성질(log A - log B)을 이용하여 식을 간단히 정리할 수 있는지를 묻는 것이죠. 많은 학생들이 복잡한 문장과 변수에 압도되어 시작조차 못 하거나, v와 0.9v를 대입한 후 L_B - L_A를 계산하는 과정에서 부호나 계수 실수를 하는 패턴을 보입니다. 결정적 실마리는 L_A와 L_B 식을 각각 세운 뒤, 두 식을 통째로 빼서 공통 부분을 소거하는 것입니다. 그러면 예상외로 매우 간단한 로그 식으로 정리됩니다.
  

• 19번

  — 쌍곡선의 정의(|PF'−PF|=2a)와 이등변삼각형의 성질을 결합한 문제입니다. 출제 의도는 이등변삼각형이 될 수 있는 세 가지 경우(PF=PF', PF=FF', PF'=FF')를 모두 고려할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 가장 먼저 떠오르는 경우인 PF=PF'만 생각하고 답을 구하다가 함정에 빠지기 쉽습니다. 해결의 실마리는 각 케이스별로 변의 길이를 미지수로 설정하고, 쌍곡선의 정의를 이용해 연립방정식을 풀어 P점의 좌표가 제1사분면에 존재하는지를 확인하는 것입니다.
  

• 21번

  — 정적분으로 정의된 함수 G(x) = ∫[a, x] f(t)dt의 성질을 묻는 문항입니다. 핵심 출제 의도는 G'(x)=f(x)임을 이용하여 f(x)의 부호로부터 G(x)의 증가/감소를 파악하고, 주어진 구간 내에서 G(x)≥0 (정확히는 G(x)≥G(a))이 항상 성립할 a의 범위를 찾는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 f(x)의 그래프를 잘못 그리거나, '정적분 값이 0 이상'이라는 조건을 '피적분 함수 f(x)가 0 이상'이라고 착각하는 것입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 G(x)의 최솟값이 G(a)가 되어야 한다는 점을 간파하고, f(x)의 그래프에서 넓이의 증감을 관찰하여 G(x)가 감소하다가 증가로 바뀌는 지점들을 세심하게 분석하는 것입니다.
  

• 28번

  — 함수의 극한, 특히 '무한대/무한대' 꼴과 '0/0' 꼴의 극한값을 통해 다항함수의 차수와 계수, 그리고 인수를 결정하는 능력을 종합적으로 평가하는 문제입니다. (가) 조건에서 f(x)-x³의 최고차항 정보를, (나) 조건에서 f(x)의 최저차항(상수항)과 f(0)의 함숫값 정보를 얻어내야 합니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 (가) 조건을 보고 f(x)가 3차 함수라고 단정짓는 것입니다. 정확히는 f(x)-x³이 2차항의 계수가 6인 2차식이라는 정보입니다. 이 문제의 결정적 힌트는 (가) 조건에서 f(x) = x³ + 6x² + ax + b 형태로 설정하고, 이 식을 (나) 조건에 대입하여 나머지 미정계수 a, b를 확정하는 것입니다.
  

• 29번

  — 정규분포의 대칭성을 깊이 있게 이해하고 있는지를 묻는 통계 문항입니다. 단순히 표준화 공식을 사용하는 것을 넘어, P(X≤n)이라는 확률값들의 합이 무엇을 의미하는지 파악해야 합니다. 많은 학생들이 Σ 기호에 겁을 먹고, n=1부터 7까지의 확률을 각각 계산하려다 시간을 허비합니다. 이 문제의 핵심은 정규분포가 평균 m=4에 대해 대칭이라는 성질을 이용하는 것입니다. P(X≤1) + P(X≤7) = P(X≤1) + P(X≥1) = 1 이라는 관계처럼, 평균을 기준으로 대칭적인 위치에 있는 확률의 합이 1이 된다는 사실을 간파하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다. P(X≤4)는 0.5라는 것도 놓치면 안 됩니다.
  

• 30번

  — A형 수험생들에게는 가장 어려웠을, 상용로그의 지표(정수 부분)와 가수(소수 부분)에 대한 심층적인 이해를 요구하는 킬러 문항입니다. 출제 의도는 지표와 가수의 정의, 그리고 부등식 조건을 만족하는 자연수 m의 개수를 x의 범위에 따라 함수로 정의하고 그 함숫값의 합을 구하는 복합적인 사고력을 측정하는 것입니다. 학생들은 f(m)≤f(x)와 g(h(m))≤g(x)라는 두 개의 부등식을 동시에 해석하는 데서 큰 어려움을 겪습니다. 이 문제의 실마리는 첫째, f(x)는 log x의 정수 부분이므로 x의 자릿수와 관련이 있다는 점, 둘째, g(x)는 log x의 소수 부분이므로 x의 숫자 배열과 관련이 있다는 점을 명확히 인지하는 것입니다. p(2k)를 구하기 위해 x=2k일 때의 f(x)와 g(x) 값을 먼저 확정하고, 그 조건에 맞는 m의 범위를 지표와 가수의 성질을 이용해 추적해 나가야 합니다.
  

• 기하 28번

  — 도형에 대한 삼각함수 극한 문제로, 기하학적 통찰력과 극한 계산 능력을 동시에 요구합니다. 출제 의도는 복잡한 도형 속에서 극한을 계산하는 데 필요한 길이와 각을 모두 θ에 대한 식으로 표현할 수 있느냐입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 S(θ)를 구하기 위해 필요한 PC의 길이를 구하는 과정에서 막히는 것입니다. 원에 내접하는 삼각형의 성질과 사인 법칙을 적극적으로 활용해야 합니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 원주각의 성질을 이용해 삼각형 PBC의 각을 θ로 표현하고, 사인 법칙을 적용하여 변 PC의 길이를 구하는 것입니다. 그 후 정삼각형의 내접원 넓이 공식을 적용하면 문제는 표준적인 삼각함수 극한 문제로 바뀌게 됩니다.
  

• 기하 29번

  — 두 개의 구에 동시에 접하는 평면의 방정식을 구하는 공간도형 문제입니다. 이 문제를 풀기 위한 핵심 개념은 '평면과 구의 중심 사이의 거리가 구의 반지름과 같다'는 접선 조건입니다. 많은 학생들이 공간에서 평면을 설정하는 것 자체를 어려워하며, 주어진 점 P와 Q, 그리고 두 개의 접선 조건을 어떻게 연립해야 할지 몰라 헤매게 됩니다. 결정적 실마리는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0으로 설정한 뒤, (1) 점 P를 지나므로 대입, (2) 각 구의 중심에서 평면까지의 거리가 반지름과 같다는 식 2개를 세워 계수 사이의 관계를 찾는 것입니다. 마지막으로 점 Q의 좌표를 대입하면 k값을 구할 수 있습니다.
  

• 미적분 30번

  — 함수 f(x)=(ax²+bx+c)e^x의 개형을 추론하는 종합적인 미분 문제입니다. 출제 의도는 조건 (나)를 해석하여 도함수에 대한 새로운 조건을 이끌어내는 능력입니다. 대부분의 학생들은 f(x₂) - f(x₁) ≥ -(x₂ - x₁) 라는 부등식을 보고 평균값 정리를 떠올리거나, 그 의미를 파악하지 못해 막혔을 것입니다. 이 문제의 가장 결정적인 실마리는 주어진 부등식을 g(x)=f(x)+x 라는 새로운 함수를 설정하여 'g(x)가 증가함수이다', 즉 '모든 x에 대해 g'(x) = f'(x)+1 ≥ 0이다'라고 해석하는 것입니다. 이 조건을 (가)에서 얻은 f'(x)의 극값 조건과 결합하면 계수 a, b, c를 확정하고 abc의 최댓값을 구할 수 있습니다.