2015년 07월 고3 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

21번 경우의 수 문제에서 제시된 '유형'의 의미를 잘못 해석해서 시간을 허비한 학생들이 많았을 겁니다. 전반적으로 계산량 자체는 과도하지 않았지만, 17번 포물선 문제나 30번 공간도형 문제처럼 도형의 정의와 성질을 기하학적으로 꿰뚫어 보지 못하면 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉬운 문항들이 상위권을 변별했습니다. 특히 29번, 30번처럼 도형과 다른 개념을 융합하는 문항은 평가원 수능에서도 최상위권 변별을 위해 꾸준히 출제되는 유형이므로, 기하학적 직관을 기르는 훈련을 반드시 해야 합니다.

문항 분석

• 15번

  — 이 문제는 공간좌표를 설정해서 풀 수도 있지만, 도형의 성질을 이용하는 것이 훨씬 효율적입니다. 많은 학생들이 점 P에서 직선 BC까지의 거리를 구하기 위해 복잡한 공간상의 직선의 방정식을 떠올리지만, 이 문제의 핵심은 '정사영'과 '피타고라스 정리'의 활용입니다. 점 P에서 xy평면에 내린 수선의 발이 무게중심 Q라는 사실을 이용해 보세요. P, Q, 그리고 BC 위의 한 점을 연결하여 여러 개의 직각삼각형을 만들어보면 공간상의 거리를 평면 도형의 길이 관계로 변환하여 해결할 수 있는 실마리가 보일 겁니다.
  

• 17번

  — 포물선 y²=8x의 초점 F(2,0)이 사각형 ABCD의 두 대각선의 교점이라는 조건이 결정적 힌트입니다. 많은 학생들이 네 점 A, B, C, D의 좌표를 미지수로 설정하고 연립방정식을 풀려고 시도하다가 계산의 늪에 빠집니다. 이 문제의 출제 의도는 포물선의 정의, 즉 '포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같다'는 성질을 이용하는 것입니다. DF=6이라는 조건을 준선(x=-2)을 활용하여 점 D의 x좌표를 구하는 데 사용하면, 사각형의 넓이를 구하는 과정이 매우 간단해집니다.
  

• 19번

  — 이 문항의 핵심은 '불연속 함수끼리 곱해서 연속 함수를 만드는 조건'을 알고 있느냐입니다. 함수 f(x)는 x=0에서 불연속이고, f(x-1)은 f(x)를 x축으로 1만큼 평행이동한 것이므로 x=1에서 불연속이죠. 따라서 g(x)=f(x)f(x-1)의 연속성은 x=0과 x=1 두 지점에서 모두 확인해야 합니다. 많은 학생들이 x=0만 확인하고 넘어가는 실수를 하는데, 이것이 바로 출제자가 파놓은 함정입니다. 특정 지점에서 불연속인 함수에 다른 함수를 곱해 연속이 되게 하려면, 그 다른 함수의 해당 지점 함숫값이 '0'이 되어야 한다는 결정적 원리를 이용하면 a값을 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 20번

  — 전형적인 프랙탈 도형의 무한등비급수 문제입니다. 이런 유형은 첫째항(S₁)과 공비(r)만 정확히 구하면 끝이죠. 첫째항은 그림 R₁의 색칠된 사각형 넓이인데, 정삼각형과 내접원의 성질을 이용해 차분히 계산하면 됩니다. 가장 많이 하는 실수는 공비를 구할 때 '길이의 비'를 그대로 사용하거나, '도형의 개수' 변화를 놓치는 것입니다. 공비는 '넓이의 비'이므로 길이의 비를 제곱해야 하며, 이 문제에서는 한 단계 진행될 때마다 새로운 정삼각형이 2개씩 생기므로 이 개수비(2배)를 넓이의 비에 추가로 곱해주어야 정확한 공비를 구할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 문제에 제시된 <A형>, <B형> 등의 유형은 바둑돌 배열의 '패턴'을 의미하는 것이지, 그 자체를 나열하는 문제가 아닙니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 5!/(2!1!1!1!)처럼 유형 자체를 배열하는 경우의 수를 구하는 것입니다. 이 문제의 핵심은 주어진 유형의 개수 조건을 만족시키도록 '검은 돌 덩어리'와 '흰 돌 덩어리'를 먼저 배열하고, 그 다음에 각 덩어리 안에 돌을 배치하는 '칸막이' 아이디어, 즉 중복조합을 사용하는 것입니다. <B형>과 <C형>의 개수는 검은 돌 그룹과 흰 돌 그룹 사이의 경계면이 몇 개인지를 알려주는 결정적 단서입니다.
  

• 단답형 28번

  — 로그함수 그래프와 세 점의 공선조건(共線條件)을 엮은 문제입니다. 문제의 핵심은 주어진 점 P, Q, R의 좌표를 k, a, b를 이용해 정확히 표현하고, '세 점이 한 직선 위에 있다'는 조건을 '두 점 사이의 기울기가 서로 같다'는 식으로 변환하는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 복잡한 로그 식에 압도되어 계산을 포기하는 것입니다. 하지만 점 Q와 R의 좌표를 구하는 과정에서 로그의 성질을 이용해 식을 정리하고, (P와 Q의 기울기) = (P와 R의 기울기) 라는 식을 세우면 로그 항들이 깔끔하게 소거되면서 a와 b 사이의 의외로 간단한 관계식을 얻을 수 있습니다. 이 관계식을 발견하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 단답형 29번

  — 함수 f(x)의 조건을 해석하여 정적분의 최솟값을 구하는, 추론 능력이 중요한 문제입니다. (나) 조건 f'(2-x)=f'(2+x)는 도함수 f'(x)가 x=2에 대해 대칭인 '우함수'임을 의미합니다. 최고차항 계수가 1인 삼차함수 f(x)를 미분하면 최고차항 계수가 3인 이차함수이므로, f'(x) = 3(x-2)²+k 꼴로 바로 식을 세울 수 있어야 합니다. (다) 조건 f'(x)≥-3은 f'(x)의 최솟값이 -3 이상이라는 뜻이므로, k≥-3 이라는 범위를 줍니다. 우리가 구하려는 ∫f(x)dx의 최솟값은 결국 f(x)의 함숫값들이 전반적으로 가장 작을 때, 즉 f'(x)의 값들이 가장 작을 때 얻어지므로 k=-3을 선택하는 것이 결정적 실마리입니다. 이후 f(x)를 구하고 (가) 조건 f(0)=0을 이용해 적분상수를 결정하면 문제가 해결됩니다.
  

• 단답형 30번

  — 바둑돌의 배열을 통해 이웃한 쌍의 유형 개수를 맞추는 조합 문제입니다. 이 문제는 바둑돌을 직접 나열하는 경우의 수를 세는 것이 아니라, 유형(A, B, C, D)의 개수라는 '관계'를 통해 전체 배열의 경우의 수를 추론해야 합니다. 핵심 실마리는 B(●○)와 C(○●) 유형의 관계에 있습니다. 검은 돌에서 흰 돌로 바뀌는 순간(B)이 있으면, 언젠가는 다시 흰 돌에서 검은 돌로 바뀌는 순간(C)이 있어야 합니다. 따라서 B의 개수와 C의 개수는 같거나 최대 1개 차이만 날 수 있습니다. 문제에서 B와 C가 각각 2개씩 주어졌으므로, 이는 검은 돌 덩어리 3개와 흰 돌 덩어리 2개, 혹은 흰 돌 덩어리 3개와 검은 돌 덩어리 2개가 번갈아 나타나는 구조임을 의미합니다. 이 구조를 파악한 뒤, 총 9개의 이웃 관계(A 4개, B 2개, C 2개, D 1개)를 이 덩어리들 내외부에 배치하는 문제로 전환하여 푸는 것이 출제 의도입니다.
  

• 미적분 28번

  — 곡선 y=klnx와 직선 y=x가 접한다는 조건에서 접점의 x좌표를 t라고 할 때, 함숫값이 같고(kln t = t) 미분계수가 같다(k/t = 1)는 두 식을 연립하여 k와 t의 값을 먼저 구하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다. 여기서 k=e, t=e라는 것을 구하지 못하면 다음 단계로 나아갈 수 없습니다. 넓이를 계산할 때, ∫(x - klnx) dx를 직접 계산하는 것보다 기하학적으로 접근하는 것이 훨씬 현명합니다. y=x와 x축, 그리고 x=e²로 둘러싸인 삼각형의 넓이에서 곡선 y=elnx와 x축, x=1, x=e²로 둘러싸인 부분의 넓이를 빼는 방식으로 계산하면 부분적분 과정에서의 실수를 줄일 수 있습니다.
  

• 미적분 29번

  — 삼각함수 극한 도형 문제의 핵심은 넓이 S(θ)를 θ에 대한 단일 식으로 표현하는 것입니다. 많은 학생들이 S(θ)를 구하기 위해 선분 PQ와 QB의 길이를 θ로 표현하는 과정에서 막힙니다. 이 문제의 실마리는 원주각의 성질과 사인법칙에 있습니다. 삼각형 APB가 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형임을 이용하여 AP, BP의 길이를 먼저 θ로 표현하세요. 그 다음, 삼각형 APQ에서 ∠AQP의 크기를 알아내고 사인법칙을 적용하면 PQ의 길이를 θ로 나타낼 수 있습니다. 이 과정을 거치면 S(θ)를 θ에 대한 식으로 정리하고 극한값을 구하는 것은 어렵지 않습니다.
  

• 기하 30번

  — 이 문제는 정사영의 넓이를 구하는 공식을 직접 적용하기보다, 각 꼭짓점의 좌표를 설정하여 푸는 '해석기하학적' 접근이 훨씬 효과적입니다. 구의 중심 O를 원점으로 하는 공간좌표를 설정하는 것이 첫 단추입니다. 평면 α를 xy평면으로 설정하면 점 A(0,0,2)가 되고, 삼각형 ABC의 조건으로부터 B와 C의 좌표를 쉽게 구할 수 있습니다. 점 D, E, F는 각각 벡터 OA, OB, OC와 방향이 같고 길이가 2인 구 위의 점들이므로, 단위벡터를 이용하여 좌표를 구할 수 있습니다. 최종적으로 삼각형 DEF의 꼭짓점들을 평면 OBC(yz평면)에 정사영시킨 새로운 삼각형의 넓이를 구하면 되는데, 이는 신발끈 공식을 활용하면 간단하게 계산됩니다.