2015년 06월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 6월 모의평가는 21번 3차함수 추론과 30번 자연수 순서쌍 개수 세기 문제에서 A형 학생들의 체감 난이도가 급상승했을 겁니다. 전반적으로는 교과서의 기본 개념에 충실한 문항들이 많았지만, 함수의 그래프를 정교하게 해석하고 주어진 조건을 만족하는 특정 상황을 추론해내는 고난도 문항들이 상위권 변별력을 확실하게 가르는 역할을 했어요. 특히 17번, 21번처럼 방정식의 실근 개수를 두 함수의 교점 개수로 치환하여 해석하는 능력은 실제 수능에서도 꾸준히 요구되는 핵심 역량이므로, 그래프 개형을 그리고 조건을 꼼꼼히 따지는 연습을 절대 소홀히 해서는 안 됩니다.

문항 분석

• 14번

  — 이차방정식의 두 근을 알파, 베타라고 할 때 h(n) = |α-β|로 정의된 새로운 수열의 극한을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 근의 공식을 이용하여 h(n)을 n에 대한 식으로 표현하고, 무리식이 포함된 수열의 극한을 계산할 수 있는지를 평가하는 것이죠. 많은 학생들이 h(n+1) - h(n)을 직접 계산하려다 복잡한 식에 갇히는 실수를 합니다. 결정적 실마리는 h(n)을 먼저 2√n으로 간단히 정리한 뒤, lim √n {h(n+1)-h(n)} 식에 대입하여 유리화하는 것입니다. 이 과정을 거치면 문제가 아주 깔끔하게 풀립니다.
  

• 15번

  — 전형적인 도형 활용 등비급수 문제입니다. 첫째항(S₁)과 공비(r)를 정확히 구하는 것이 관건이죠. 출제 의도는 기하학적 도형의 성질을 이용하여 넓이와 닮음비를 계산할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 공비를 구할 때, 길이의 비와 넓이의 비를 혼동하는 실수를 합니다. 공비는 닮음비(길이의 비)의 '제곱'이라는 점을 잊지 마세요. 이 문제 해결의 실마리는 첫 번째 정삼각형과 그에 내접하는 두 번째 원의 반지름 사이의 관계를 파악하는 것입니다. 정삼각형의 높이와 내심의 성질을 이용하면 닮음비를 쉽게 찾을 수 있습니다.
  

• 16번

  — 합성함수 (g∘f)(x)의 연속성을 묻는 문제입니다. 합성함수의 연속성은 내신과 수능 모두에서 단골로 출제되는 핵심 개념이죠. 이 문제의 핵심은 내부 함수 f(x)의 정의가 바뀌는 지점인 x=1에서 (g∘f)(x)의 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 일치하는지를 확인하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 단순히 x=1에서만 연속이면 된다고 생각하는 것입니다. 정확히는 g(y)라는 함수가 y=f(1)이라는 지점에서 연속인지, 그리고 x가 1로 갈 때 f(x)의 극한값(치역)에서 g(y)가 어떻게 동작하는지를 모두 따져봐야 합니다. 결정적 힌트는 'lim (x→1-) g(f(x)) = lim (x→1+) g(f(x)) = g(f(1))' 이라는 단 하나의 등식을 세우는 것에서부터 풀이가 시작된다는 점입니다.
  

• 17번

  — 방정식 f(x)=g(x)의 근의 종류(양근, 음근)를 판별하라는 문제입니다. 이 문제를 3차 방정식을 직접 풀려고 시도하면 절대 안 됩니다. 출제 의도는 '방정식의 실근은 두 함수의 교점의 x좌표'라는 핵심 개념을 활용하는 것이죠. f(x)-g(x)=h(x)라는 새로운 함수를 설정하고, h(x)=a 꼴로 변형하여 y=h(x)라는 고정된 3차 함수와 y=a라는 직선의 교점 관계로 문제를 재해석해야 합니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 '서로 다른 두 양의 실근'이라는 조건을 만족시키는 a의 범위를 찾을 때, 극댓값, 극솟값만 고려하고 y절편(x=0일 때의 함숫값)을 확인하지 않는 것입니다. y=h(x)의 그래프 개형을 정확히 그리고 y=a 직선을 위아래로 움직여가며 세 교점의 x좌표 부호가 어떻게 변하는지 관찰하는 것이 문제 해결의 열쇠입니다.
  

• 18번

  — 전형적인 프랙탈 도형의 무한등비급수 문제입니다. 첫째항(S₁)과 공비(r)만 정확히 구하면 되는, 어찌 보면 정해진 길을 걷는 문제죠. 하지만 여기서 학생들의 계산 실수가 많이 발생합니다. 첫째항 S₁은 직사각형 넓이에서 원의 일부 넓이를 빼서 구해야 하는데, 이 과정이 다소 번거롭습니다. 더 큰 함정은 공비(r)를 구할 때입니다. 닮음비를 찾기 위해 큰 원과 작은 원의 반지름의 길이 비를 구해야 하는데, 많은 학생들이 이 길이의 비를 그대로 공비로 착각합니다. 우리는 넓이의 합을 구하는 것이므로, 공비는 (길이의 비)²가 되어야 한다는 점을 절대 잊으면 안 됩니다.
  

• 19번

  — 두 개의 쌍곡선과 그 정의를 복합적으로 활용해야 하는, 기하학적 직관력이 중요한 문제입니다. 출제 의도는 쌍곡선의 정의, 즉 '두 초점으로부터의 거리의 차가 주축의 길이로 일정하다'는 것을 수식으로 표현하고 주어진 조건과 연립하여 해결할 수 있는지를 묻는 것입니다. 많은 학생들이 두 쌍곡선과 여러 점(P, Q, F, G 등) 사이의 관계를 정리하다 길을 잃습니다. 결정적인 실마리는 두 쌍곡선이 원점에 대해 대칭이고, 따라서 점 P와 점 Q 역시 원점 대칭 관계라는 것을 파악하는 것입니다. 이 사실을 이용하면 QG의 길이를 PF'의 길이로, QF의 길이를 PG'의 길이로 치환할 수 있게 되어 복잡했던 조건들이 쌍곡선의 정의와 완벽하게 연결됩니다.
  

• 21번

  — 함수가 역함수를 갖기 위한 조건을 묻는 문제입니다. 미분 가능한 함수가 역함수를 가지려면 함수가 '항상 증가'하거나 '항상 감소'해야 한다는 것이 핵심 개념입니다. 즉, 도함수 f'(x)가 모든 실수 x에 대해 항상 0 이상이거나(f'(x)≥0) 항상 0 이하(f'(x)≤0)여야 합니다. 이 문제의 함정은 f'(x)를 구한 뒤 부등식을 세우는 과정에 있습니다. f'(x)는 '지수함수 × 이차함수 + a' 꼴로 정리되는데, 이 부등식이 '모든 실수 x'에 대해 성립할 조건을 찾는 것이 최종 목표입니다. 힌트는 f'(x) ≥ 0을 a에 대해 정리하여 'a ≥ g(x)' 꼴로 만든 후, 모든 x에 대해 이 부등식이 성립하게 하는 a의 최솟값은 바로 g(x)의 '최댓값'이라는 사실을 이용하는 것입니다.
  

• 29번

  — 불연속함수와 이차함수의 곱이 모든 실수에서 연속이 될 조건을 묻는 문제입니다. 출제 의도는 '불연속 × 연속 = 연속'이 되기 위한 특별한 조건을 알고 있는지 확인하는 것입니다. 함수 f(t)는 직선 y=t와 그래프 y=|x²-2x|의 교점 개수이므로, 그래프의 모양이 변하는 지점, 즉 y=t가 극대점(1,1)을 지날 때와 x축(y=0)일 때 불연속이 됩니다. 따라서 f(t)는 t=0과 t=1에서 불연속이죠. 이 불연속점들을 연속함수인 g(t)가 '치료'해주어야 합니다. 결정적 힌트는 바로 이 지점입니다. f(t)가 불연속인 t=0, t=1에서 g(t)의 함숫값이 0이 되어야만, 즉 g(0)=0, g(1)=0이어야만 곱함수 f(t)g(t)가 연속이 될 수 있습니다. 이 조건을 이용하면 이차함수 g(t)를 바로 확정할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 로그의 성질과 이차함수적 표현을 복합적으로 활용하여 조건을 만족하는 자연수 순서쌍 (a, b)의 개수를 세는 최고난도 문항입니다. 이 문제는 주어진 조건 (가), (나)를 정확히 이해하고, a의 범위에 따라 달라지는 b의 상한선을 파악하는 것이 관건입니다. a가 n^k보다 작은 경우와 크거나 같은 경우로 나누어 b의 개수를 세는 식을 세워야 합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 이 복잡한 조건 하에서 개수가 300 이상이 되도록 하는 k값을 n=2, 3, 4일 때 각각 찾아내는 과정입니다. 특별한 꼼수보다는, n=2일 때부터 k=1, 2, 3...을 차례로 대입하며 개수의 누적 합을 끈기 있게 계산하여 f(2)를 구하고, 같은 과정을 n=3, n=4에 대해 반복하는 정공법이 요구됩니다. 계산 과정이 길고 복잡하므로 차분함과 꼼꼼함이 무엇보다 중요합니다.
  

• 기하 28번

  — 두 일차변환의 합성과 그 기하학적 의미를 파악하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. 행렬 f는 원점을 중심으로 한 회전변환, 행렬 g는 x축 방향으로의 축소 변환을 나타냅니다. 출제 의도는 행렬로 표현된 변환의 의미를 기하학적으로 해석하고, 변환된 점들의 좌표를 이용해 도형의 넓이를 계산할 수 있는지 평가하는 것입니다. 이 문제를 행렬의 곱셈으로만 접근하면 계산이 복잡해지고 실수할 가능성이 높습니다. 결정적 실마리는 C = (g∘f⁻¹)(B) 라는 식을 변형하는 것입니다. B=f(A)이므로, C = g(f⁻¹(f(A))) = g(A)가 됩니다. 즉, 점 C는 점 A를 변환 g에 의해 옮긴 점입니다. 이 관계를 파악하면 A, B, C 세 점의 좌표를 θ에 대한 식으로 간단히 표현할 수 있고, 넓이 계산이 훨씬 수월해집니다.
  

• 미적분 30번

  — 주어진 조건들을 만족하는 함수 f(x)를 추론하고, 그 함수의 정적분 값이 최대가 되는 경우를 찾는 최고난도 문항입니다. 이 문제의 핵심은 (나) 조건과 (다) 조건을 해석하는 능력에 있습니다. (나) 조건은 각 단위 구간 [k, k+1]에서 함수가 상수함수이거나 밑이 2인 지수함수 형태로 증가한다는 것을 의미합니다. (다) 조건의 '미분가능하지 않은 점이 2개'라는 것은 상수함수에서 지수함수로, 또는 지수함수에서 상수함수로 '갈아타는' 지점이 단 두 번만 존재한다는 결정적인 힌트입니다. 정적분 값을 최대로 만들려면 가능한 한 빨리, 그리고 오랫동안 함수가 지수적으로 증가해야 합니다. 따라서 함수는 f(0)=1에서 출발하여 특정 정수 k₁까지는 상수함수를 유지하다가, k₁에서 지수함수로 바뀌어 증가하고, 또 다른 정수 k₂에서 다시 상수함수로 바뀌는 개형을 가질 것이라고 추론하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.