2014년 3월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 3월 학력평가는 21번과 29번 자취 문제에서 많은 학생들이 길을 잃었을 겁니다. 중학교 도형 개념, 특히 피타고라스 정리와 원의 성질을 기반으로 하지만, 이를 낯선 상황에 적용하여 논리적으로 추론하는 능력을 집중적으로 측정하고 있어요. 단순히 공식을 암기한 학생과 원리를 깊이 이해한 학생의 격차가 크게 벌어지는 문항들이 후반부에 집중 배치된 만큼, 앞으로의 수능 수학 학습에서 도형 파트의 시각적 추론 능력이 얼마나 중요한지 명확히 보여주는 시험입니다.

문항 분석

• 15번

  — 직사각형을 접는 문제는 접기 전과 후의 길이가 같다는 기본 원리를 이용하는 것이 핵심입니다. 이 문제의 출제 의도는 피타고라스 정리를 두 번 이상 사용하여 미지수의 길이를 구하고, 최종적으로 직각삼각형의 내접원 넓이 공식(넓이 = 1/2 * 내접원 반지름 * 둘레)을 알고 있는지 확인하는 것입니다. 많은 학생들이 AE의 길이를 구하는 과정에서 막히거나, 내접원의 반지름을 구하는 공식을 떠올리지 못해 시간을 허비하는 패턴을 보입니다. 결정적 실마리는 선분 EC의 길이가 선분 AC의 길이와 같다는 점을 이용하여 먼저 AE의 길이를 피타고라스 정리로 구하는 것입니다.
  

• 18번

  — 원의 성질을 종합적으로 활용해야 하는, 까다로운 합답형(ㄱ,ㄴ,ㄷ) 문항입니다. 출제 의도는 원주각의 크기가 같으면 같은 호에 대한 원주각임을 역으로 추론하고, 이를 접선, 할선 등 다른 원의 성질과 결합할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들은 ∠CAP = ∠BCP 라는 조건에서 무엇을 떠올려야 할지 몰라 헤매는 경우가 많습니다. 이는 '접선과 현이 이루는 각'의 성질을 역으로 생각해야 풀리는 함정입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 직선 BC가 삼각형 APC의 외접원에 접한다는 사실(ㄱ)을 증명하는 것에서 시작됩니다. 이것이 증명되면 나머지 ㄴ, ㄷ은 자연스럽게 해결의 실마리를 찾을 수 있습니다.
  

• 21번

  — 고정된 도형 주위를 점이 일정한 각도를 유지하며 움직이는 전형적인 자취 문제로, 고1 학생들이 가장 어려워하는 유형 중 하나입니다. 이 문제의 핵심은 '∠BPF=60°'라는 조건이 무엇을 의미하는지 기하학적으로 해석하는 능력입니다. 점 P의 자취는 선분 BF를 현으로 하는 원의 일부(호)가 된다는 사실을 깨닫는 것이 문제 해결의 첫 단추입니다. 많은 학생들이 이 자취를 직선이나 다른 복잡한 곡선으로 오해하여 접근조차 못 하는 경우가 많습니다. 점 P가 정육각형의 각 꼭짓점을 지날 때마다 자취를 그리는 원의 중심과 반지름이 어떻게 변하는지를 추적하는 것이 관건입니다.
  

• 29번

  — 이 문제는 ∠APB의 각도 범위가 주어졌을 때 점 P가 존재할 수 있는 '영역'의 넓이를 구하는 문제입니다. 출제 의도는 원주각의 성질을 부등식에 적용하여 두 원 사이의 영역을 시각화하고 그 넓이를 계산할 수 있는지를 묻는 것입니다. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 ∠APB=90°인 자취(지름이 AB인 원)는 쉽게 찾지만, ∠APB=45°인 자취를 그리는 원의 중심과 반지름을 구하는 과정에서 어려움을 겪는다는 점입니다. 힌트는 원주각이 45°이면 중심각은 90°라는 사실을 이용해 원의 중심을 찾는 것입니다. 그 후, 두 부채꼴과 삼각형의 넓이를 이용해 영역의 넓이를 계산해야 합니다.
  

• 30번

  — 여러 개의 직육면체 블록을 쌓아 하나의 정육면체를 만드는 이 문제는 입체도형, 겉넓이, 그리고 정수론(최소공배수) 개념이 융합된 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 문제의 조건을 해석하여 정육면체의 한 변의 길이가 각 블록 모서리 길이 a, b, c의 '최소공배수'임을 추론하는 능력입니다. 대부분의 학생들은 720abc라는 겉넓이 정보와 a, b, c 사이의 관계를 어떻게 연결해야 할지 몰라 시작부터 막힙니다. 결정적 실마리는 만들어진 정육면체의 한 변의 길이를 L이라 할 때, 겉넓이는 6L²이고, L은 a, b, c의 최소공배수라는 관계식을 세우는 것입니다. 이로부터 가능한 (a,b,c)의 순서쌍을 찾고, 각 경우에 대한 블록 한 개의 겉넓이(2(ab+bc+ca))의 최댓값과 최솟값을 구해야 합니다.