2013년 11월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

30번 다항식 추론 문제에서 많은 학생들이 좌절했을 겁니다. 단순히 공식을 암기한 학생과 다항식의 구조적 특징을 꿰뚫어 보는 학생을 정확히 가려내는, 변별력을 확실히 갖춘 문항이었어요. 전반적으로 이차함수, 다항식, 합성함수 등 고1 수학의 핵심 대수 파트에 대한 깊이 있는 이해를 요구하는 문항들이 다수 포진해 있습니다. 특히 28번처럼 절댓값이 포함된 합성함수 그래프의 실근 개수를 따지는 유형은 수능에서도 변형되어 단골로 등장하는 고난도 주제이므로, 이번 기회에 그래프를 이용한 방정식 풀이법을 확실히 마스터해야 합니다.

문항 분석

• 18번

  — 원의 방정식과 직선의 위치 관계를 종합적으로 활용하는 문제입니다. 출제 의도는 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 다른 원과 만나는 교점의 좌표를 찾아내는 능력을 평가하는 것이죠. 학생들이 흔히 빠지는 함정은 (가)에서 점과 직선 사이의 거리 공식을 적용할 때 분모, 분자를 헷갈리거나, (나)에서 두 식을 연립하는 과정에서 계산 실수를 하는 것입니다. 이 문제의 결정적 실마리는 원의 접선이 접점을 지나는 반지름과 수직이라는 기하학적 성질을 이용하거나, 판별식 D=0을 이용해 m에 대한 관계식을 먼저 이끌어내는 것입니다.
  

• 21번

  — 구간별로 정의된 함수와 합성함수에 대한 개념을 정확히 이해하고 있는지를 묻는, 매우 중요한 유형입니다. 핵심은 g(x)의 치역이 f(x)의 정의역에 어떻게 대응되는지를 추적하는 것이죠. 특히 ㄴ, ㄷ 보기처럼 함수의 대칭성(우함수, 기함수)을 합성함수와 결합하여 판단하게 하는 부분이 까다롭습니다. 학생들은 보통 특정 값 몇 개만 대입해보고 성급하게 일반화하는 오류를 범하는데, 반드시 x와 -x를 대입하여 함수식이 어떻게 변하는지 논리적으로 따져봐야 합니다. 힌트는 g(x)가 우함수(y축 대칭)라는 사실을 먼저 파악하는 것입니다. 이 성질이 합성함수 (g∘f)(-x)의 형태에 어떤 영향을 미치는지 분석하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.
  

• 26번

  — 복소수의 거듭제곱에서 나타나는 주기성을 파악하는 문제입니다. z₁과 z₂를 보고 바로 극형식이나 복소평면을 떠올릴 수 있다면 가장 좋지만, 고1 과정에서는 직접 거듭제곱을 해보며 규칙을 찾는 것이 핵심입니다. z₁은 8제곱, z₂는 3제곱을 했을 때 간단한 실수가 된다는 것을 발견해야 합니다. 많은 학생들이 z₁ⁿ = z₂ⁿ 이라는 식을 보고 양변의 크기가 같다는 식으로 접근하려다 길을 잃곤 합니다. 이 문제의 실마리는 z₁과 z₂를 각각 거듭제곱하여 가장 먼저 1 또는 -1이 되는 최소의 자연수를 찾는 것입니다. 그 후 두 수의 주기에 대한 최소공배수 개념을 적용하면 n의 최솟값을 구할 수 있습니다.
  

• 28번

  — 이차함수와 절댓값, 그리고 합성함수 개념이 결합된 최고난도 문항입니다. 출제 의도는 방정식 f(|f(x)|)=0을 대수적 풀이가 아닌, 그래프를 이용한 해석으로 해결할 수 있는지를 평가하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 |f(x)| = t 라는 방정식을 풀 때, y=|f(x)| 그래프를 그리지 않고 f(x)=t 또는 f(x)=-t 로만 풀려다가 경우의 수를 놓치는 것입니다. 이 문제 해결의 결정적 힌트는 치환입니다. |f(x)|=t로 치환하여 먼저 f(t)=0을 만족하는 t의 값을 구하세요. 그 다음, 구한 t값들에 대해 y=|f(x)|의 그래프와 수평선 y=t가 만나는 교점의 개수가 바로 우리가 찾는 서로 다른 실근의 개수가 됩니다.
  

• 29번

  — 도형의 특징을 파악하고 변수를 설정하여 넓이를 식으로 표현한 뒤, 그 식의 최댓값을 구하는 기하+대수 통합 문제입니다. 핵심은 135°라는 특수각과 '농장 X의 넓이가 Y 넓이의 2배'라는 조건을 어떻게 활용하여 변수 사이의 관계식을 세우느냐에 있습니다. 많은 학생들이 사다리꼴 Y의 높이를 구하는 과정에서 보조선을 긋지 못해 헤매거나, 변수를 너무 많이 설정하여 복잡한 연립방정식의 늪에 빠집니다. 결정적 실마리는 철망의 총 길이가 150m로 일정하다는 점을 이용해 하나의 변수로 모든 길이를 표현하는 것입니다. 그 후 넓이 S를 그 변수에 대한 이차함수로 나타내면, 표준형으로 변환하여 최댓값을 쉽게 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 두 삼차다항식의 합과 차, 그리고 최대공약수에 대한 정보를 종합하여 원래 다항식을 추론하는 문제입니다. 이 문제의 핵심은 (다) 조건, 즉 p(x)와 q(x)의 최대공약수가 이차다항식이라는 점을 해석하는 능력입니다. A(x)=p(x)+q(x)와 B(x)=p(x)-q(x) 역시 p(x)와 q(x)의 최대공약수를 인수로 가질 수밖에 없다는 사실을 간파해야 합니다. 학생들은 보통 p(x), q(x)를 일반적인 삼차식으로 설정하고 계수비교법으로 풀려다가 계산의 미로에 갇히게 됩니다. 문제 해결의 첫 단추는 A(x)와 B(x)의 인수를 조건 (가), (나)를 통해 먼저 확정하고, 이 두 다항식의 공통인수가 바로 p(x)와 q(x)의 최대공약수임을 이용해 식의 구조를 짜는 것입니다.