2013년 9월 고1 수학 학력평가 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

이번 9월 모의평가는 21번 문항에서 켤레근의 성질을 함부로 적용한 학생들의 허를 찌르는 날카로움이 돋보였습니다. 전반적으로 고1 수학(상)의 핵심인 '이차함수와 방정식', '도형의 방정식', '집합과 명제'를 깊이 있게 다루면서도, 각 단원의 개념을 융합하여 문제 해결 능력을 측정하려는 의도가 명확합니다. 특히 18번, 28번과 같은 도형 문제는 복잡한 계산 이전에 기하학적 성질을 먼저 파악하는 능력을 요구했으며, 이는 향후 수능에서 기하 문제나 함수 그래프 해석 문제의 기본기가 되므로 반드시 훈련해야 합니다. 단순히 공식을 암기한 학생과 원리를 이해한 학생의 점수 차가 컸을 시험으로, 오답 분석을 통해 개념의 빈틈을 메우는 것이 중요합니다.

문항 분석

• 18번

  — 이 문제는 두 점을 지나는 직선, 평행 조건, 점과 직선 사이 거리 등 여러 개념을 융합한 좌표기하 문제입니다. 출제 의도는 기하학적 성질(이등변삼각형, 평행선)을 좌표와 식으로 얼마나 잘 변환하는지를 평가하는 것입니다. 많은 학생들이 점 P의 좌표를 (x, y)로 두고 무작정 연립방정식을 풀려다 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다. 결정적 실마리는 '점 A를 지나고 DC에 평행한 직선'과 '선분 BC의 연장선'의 교점이 P라는 사실을 이용해, 평행 조건(기울기가 같다)으로 직선의 방정식을 먼저 세우는 것입니다.
  

• 19번

  — 이차방정식의 '정수근' 문제는 근과 계수의 관계를 활용하여 '부정방정식' 형태로 바꾸는 것이 핵심입니다. 두 정수근을 α, β라 놓고 근과 계수의 관계를 쓰면 m이 소거되는 형태의 식을 만들 수 있습니다. 학생들이 흔히 저지르는 실수는 m을 소거한 뒤 (α-k)(β-l) = (정수) 꼴로 식을 변형하지 못하고 헤매는 것입니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 두 근의 합과 곱을 이용해 m에 대한 두 식을 세운 뒤, m을 소거하여 α와 β에 대한 관계식 `αβ - 2α - 2β = -1` 을 유도하는 것입니다. 여기서부터 정수해 찾기가 시작됩니다.
  

• 21번

  — 이 문항은 '켤레근의 성질'이 성립하기 위한 전제 조건을 정확히 아는지를 묻는 매우 수준 높은 문제입니다. 다항식 f(x)는 계수가 모두 유리수이므로, 무리수 근을 가지면 반드시 그 켤레근도 가집니다. 하지만 g(x)는 계수가 유리수라는 조건이 없으므로 켤레근의 성질을 함부로 적용하면 안 된다는 것이 이 문제의 가장 큰 함정입니다. 결정적 힌트는 (가) 조건에서 f(√b+1 - 2√b) = 0 이라는 것인데, `√b+1 - 2√b`를 이중근호 풀이를 통해 `√b - 1` (b>1 가정 시) 또는 `1-√b` (b<1 가정 시) 로 간단히 할 수 있는지, 혹은 이 자체를 하나의 근 α로 보고 f(x)의 유리수 계수 성질을 이용해 다른 근을 추론하는 것입니다.
  

• 26번

  — 집합과 부등식 영역의 결합 문제로, 수직선 위에서 각 집합의 범위를 시각적으로 파악하는 능력이 중요합니다. 출제 의도는 A∪B=R (실수 전체)와 A∩B의 조건을 동시에 만족하는 미지수 a, b의 범위를 찾는 것입니다. 학생들이 가장 많이 빠지는 함정은 A∪B=R 이라는 조건만 보고 B가 A의 여집합이라고 단정 짓는 것입니다. B는 A가 비어있는 구간을 '포함'하기만 하면 됩니다. 이 문제를 푸는 실마리는 먼저 집합 A의 해인 `x < -2 또는 x > 3`을 수직선에 표시하고, 이로 인해 생기는 공백인 `[-2, 3]` 구간을 집합 B가 어떻게 채워야 A∩B 조건까지 만족시킬 수 있을지 경우를 나누어 생각하는 것입니다.
  

• 28번

  — 규칙성을 갖는 도형의 좌표를 추론하는 문제입니다. 핵심은 정사각형들의 '넓이의 비'가 1:4:9라는 조건에서 '닮음비(길이의 비)'가 1:2:3이라는 사실을 이끌어내는 것입니다. 많은 학생들이 B4의 좌표 (30, 18)을 어떻게 활용해야 할지 막막해합니다. 이 문제의 결정적 실마리는 첫 번째 정사각형 OA1B1C1의 한 변의 길이를 k라고 설정하는 것입니다. 그러면 나머지 정사각형들의 한 변의 길이는 각각 2k, 3k, 4k가 되고, 이를 이용해 점 B4의 x좌표와 y좌표를 k에 대한 식으로 표현(`x = k+2k+3k+4k`, `y=4k`)하여 주어진 좌표 (30, 18)과 연립하면 k값을 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 문장으로 주어진 상황을 정확한 수학적 언어(방정식)로 번역하는 능력을 측정하는 문제입니다. '같은 속도'라는 조건이 핵심이며, 이는 '이동한 시간이 같으면 이동한 거리도 같다'는 사실을 의미합니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 (i)과 (ii)의 복잡한 상황을 식으로 옮기는 과정입니다. 이 문제 해결의 힌트는 A에서 B까지의 거리를 x, B에서 C까지의 거리를 y로 설정하고, 갑과 을의 움직임을 시간의 흐름에 따라 단계별로 분석하는 것입니다. 예를 들어 (ii)에서 '을이 a만큼 이동했을 때'와 '갑이 A에서 출발하여 이동한 거리'를 각각 x, y, a를 사용해 표현하고, 두 거리가 같다고 식을 세우는 것이 문제 해결의 돌파구가 됩니다.