2013년 06월 고3 수학 평가원 모의고사 기출문제 정답 해설 PDF 무료

주요 분석 문항

핵심 출제 개념

총평

2014학년도 6월 A형 시험은 30번 상용로그 지표/가수 문항의 존재감이 압도적이었을 겁니다. 해당 개념이 생소한 현역 수험생들에게는 매우 까다로운 문제였죠. 전반적으로 수열 파트에서 계산량과 추론 능력을 요구하는 문항(16, 28번)들이 변별력을 확보했고, 20번 지수함수 그래프 해석 문항처럼 기본적인 개념을 얼마나 깊이 있게 응용할 수 있는지를 묻는 문제들이 눈에 띕니다. 비록 교육과정에서 행렬, 지표/가수 등이 제외되었지만, 수열의 규칙성을 찾고(16번) 그래프의 관계를 해석하는(20번) 능력은 현재 수능에서도 여전히 수학적 사고력의 핵심이므로, 해당 문항들의 접근법은 반드시 익혀두어야 합니다.

문항 분석

• 16번

  — 3차 함수 위의 점과 직선 사이의 거리를 나타내는 함수 g(t)의 미분가능성을 묻는, 개념의 깊이를 확인하는 문제입니다. 많은 학생들이 '연속이면 미분가능하다'는 착각에 빠지거나, 절댓값 함수가 언제 미분 불가능한지를 놓치곤 합니다. 결정적 실마리는 거리 함수 g(t)가 미분 불가능한 지점은, 3차 함수 y=x³의 접선의 기울기가 주어진 직선의 기울기 1과 같아지는 지점에서 발생할 수 있다는 점을 간파하는 것입니다. 이 지점에서 거리 함수의 도함수가 불연속이 되는지 확인하는 것이 관건입니다.
  

• 18번

  — 전형적인 프랙탈 도형의 등비급수 문제입니다. 첫째항(S1)과 공비(r)를 정확히 구하는 것이 핵심이죠. 학생들은 주로 공비를 구할 때 닮음비를 잘못 설정하거나, 넓이의 비는 닮음비의 '제곱'이라는 사실을 잊는 실수를 합니다. 이 문제의 결정적 힌트는 큰 직각삼각형과 그 안에 내접하며 새로 생기는 작은 직각삼각형 사이의 닮음 관계를 이용하는 것입니다. 새로 그려지는 직사각형의 가로와 세로의 비가 1:2라는 조건을 이용해, 큰 삼각형의 변들과의 비례식을 세우면 작은 삼각형과의 닮음비를 구할 수 있고, 이를 제곱하여 넓이의 공비를 찾아내야 합니다.
  

• 20번

  — 주기함수와 무리방정식이 결합된, 그래프 해석 능력이 핵심인 문항입니다. 단순히 양변을 제곱해서 풀면 무연근이 발생하여 오답으로 직결되기 쉽습니다. √A = A-2 꼴로 정리한 뒤, 이 방정식의 실근이 A=4 뿐임을 먼저 파악하는 것이 첫 단추입니다. 결국 이 문제는 '주기함수 f(x)와 원점을 지나는 직선 y=mx+4의 교점 개수가 4개 이하가 되도록 하는 양수 m의 최솟값을 구하는 문제'로 재해석해야 합니다. 직선이 주기함수의 볼록한 부분에 접하는 순간이 경계가 됨을 직관적으로 파악해야 시간을 단축할 수 있습니다.
  

• 21번

  — 전형적인 도형과 삼각함수의 극한 문제로, 정확한 길이 표현이 성패를 좌우합니다. 많은 학생들이 PQ의 길이를 θ로 표현하는 과정에서 복잡한 보조선을 긋거나 잘못된 삼각비를 적용하여 시간을 낭비합니다. 이 문제의 핵심은 원 밖의 한 점 A에서 원 O'에 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질(AP=AQ)을 이용하는 것입니다. 삼각형 APO'가 직각삼각형임을 인지하고, 피타고라스 정리와 삼각비를 이용해 AP의 길이를 θ로 표현하면 PQ의 길이는 자연스럽게 유도됩니다. OO'의 길이가 2라는 점을 놓치지 마세요.
  

• 28번

  — 두 가지 다른 규칙과 주기성을 함께 갖는 수열의 합을 구하는 문제입니다. 출제 의도는 복합적인 조건들을 종합하여 수열의 반복되는 한 주기(cycle)의 항들을 모두 파악하고, 이를 이용해 주어진 항까지의 합을 효율적으로 계산하는 능력을 평가하는 것입니다. 가장 큰 함정은 (가) 조건 an+2 = an - 4를 주기성으로 착각하는 것입니다. 이 조건은 처음 몇 개의 항 사이의 관계만을 설명합니다. 진짜 주기성은 (나) 조건 an+6 = an 입니다. 이 문제 해결의 첫 단추는 (가)와 (나)를 연립하여 a1부터 a6까지의 값을 모두 구하는 것입니다. a1=7, a3=a1-4=3, a5=a3-4=-1. 그리고 a4=a2-4, a6=a4-4=a2-8. 이렇게 한 주기(6개 항)의 합이 3a2-3 임을 구한 뒤, 총 50개의 항은 6개짜리 주기가 8번 반복되고 2개의 항(a1, a2)이 남는다는 구조(50 = 6*8 + 2)를 파악해야 합니다. 이를 통해 S₅₀ = 8 * (a₁+..+a₆) + a₁ + a₂ = 258 이라는 방정식을 세워 a₂를 구할 수 있습니다.
  

• 30번

  — 상용로그의 지표와 가수를 좌표로 하는 두 점 사이의 거리에 대한 조건을 만족하는 순서쌍을 찾는, 고난도 추론 문제입니다. 이 문제의 핵심은 '지표는 정수, 가수는 0 이상 1 미만의 소수'라는 정의를 기하학적 조건과 결합하는 것입니다. 학생들이 가장 어려워하는 부분은 P_m(f(m), g(m)), P_n(f(n), g(n)) 사이의 거리 공식 (f(n)-f(m))² + (g(n)-g(m))² = 1 + (log2)² 에서 f(n)-f(m)과 g(n)-g(m)의 값을 특정하는 과정입니다. 결정적 실마리는 지표 f(m), f(n)이 정수라는 사실입니다. 따라서 (f(n)-f(m))²은 정수의 제곱이므로 0, 1, 4, ... 중 하나여야 합니다. 주어진 식을 만족하려면 (f(n)-f(m))²=1, 즉 f(n)-f(m)=1 이어야만 합니다 (m<n이므로). 이는 n이 m보다 자릿수가 하나 더 크다는 의미입니다. 동시에 (g(n)-g(m))² = (log2)² 이므로 g(n)-g(m) = ±log2가 됩니다. 이 두 가지 관계식을 log(n/m) = logn - logm = (f(n)-f(m)) + (g(n)-g(m)) 에 대입하면 n/m = 20 또는 n/m = 5 라는 결론을 얻을 수 있습니다. 이제 이 관계를 만족하며 자릿수 조건까지 만족하는 (m,n) 순서쌍을 100 미만 자연수 범위에서 찾으면 됩니다.
  

• 미적분 28번

  — 두 다항함수의 관계를 통해 분수부등식의 해를 추론하는 고난도 문항입니다. 출제 의도는 f(x)와 g(x)를 직접 구하는 것이 아니라, h(x) = f(x) - g(x-2)라는 새로운 함수를 설정하여 분석하는 것입니다. 학생들이 가장 많이 하는 실수는 분수부등식 f(x)/g(x-2) ≤ 1을 풀 때, 분모 g(x-2)를 부호 고려 없이 양변에 곱하는 것입니다. h(x)/g(x-2) ≤ 0 꼴로 변형한 뒤, h(x)와 g(x-2)의 부호가 반대가 되는 구간을 찾아야 합니다. 문제에 주어진 교점의 x좌표가 h(x)=0의 근이라는 사실과 g(x)의 근을 통해 g(x-2)의 근을 찾는 것이 문제 해결의 결정적 실마리입니다.
  

• 기하 29번

  — 포물선의 접선과 무게중심을 엮어 새로운 도형의 자취를 구하는 문제입니다. 포물선 위의 점 A를 (x₁, y₁)으로 설정하는 것은 기본이지만, 접선의 y절편과 무게중심 좌표를 문자로 표현하는 과정에서 계산이 복잡해지기 쉽습니다. 포물선 y²=4px 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선 y₁y = 2p(x+x₁)의 y절편이 (0, y₁/2)라는 공식을 암기하고 있었다면 시간을 크게 절약할 수 있습니다. 무게중심 B(x, y)의 좌표를 x₁, y₁으로 표현한 뒤, x = x₁/3, y = y₁/2 라는 관계식을 얻고, 이를 포물선의 방정식 y₁²=16x₁에 대입하여 x₁, y₁을 소거하는 것이 자취의 방정식을 구하는 정석적인 경로입니다.
  

• 미적분 30번

  — 정적분으로 정의된 넓이, 그리고 그 넓이 조건을 만족하는 점들이 그리는 자취(곡선 C)와 특정 점 사이의 최단 거리를 묻는 종합선물세트 같은 문제입니다. 넓이 k를 s와 t에 대한 식으로 표현하는 것부터가 첫 번째 관문입니다. 곡선 y=x²+x와 원점을 잇는 직선으로 둘러싸인 넓이가 ∫(x²+x - (t+1)x)dx = t³/6 이라는 것을 이용하면, k = (t³/6) - (s³/6) 라는 관계식을 깔끔하게 얻을 수 있습니다. 결국 이 문제는 st평면 위의 곡선 t³-s³=6k 위의 점 (s,t)와 점 (1,0) 사이의 최단 거리를 구하는 문제로 귀결됩니다. 기하학적으로, 최단 거리는 점 (1,0)에서 곡선 C에 그은 법선이 곡선과 만나는 점에서 발생한다는 사실을 이용해야 합니다.